бруса постоянна.
Исходя из этого положения, эпюра изгибающих мо ментов от сосредоточенной силы должна быть прямолин ной, а от внешних сил эпюра - будет иметь криволин ный характер.
Представим, что на участке АВ стержня длиной £ (рис.19.8,а) эпюра изгибающих моментов от внешней на грузки имеет криволинейное очертание Л£> , а эпюра моментов от единичных сил будет прямолинейной (см.р 19.8,6) и выражается уравнением jtf~Mo т^ЛТ-ЗГ ( I )
(черточки над моментами означают единичные моменты), а К - угловой коэффициент.
Подставим выражение ( I ) в интеграл (18.8),будем
где С- |
длина участка эпюры; |
CCtJSir |
статический момент элементарной площадки |
|
(заштрихованной на рис.19.8,а); |
j£cSlp- |
статический момент всей площадки эпюры |
|
от внешних сил Мр . |
А4о"+К"3£-Уа. - ордината в единичной эпюре моментов, расположенной под центром тяжести эпюры мо ментов от внешних сил.
|
|
|
5?р - |
площадь эпнэры . |
|
|
|
|
' |
изгиВакщм нанентоо |
4 |
|
|
|
|
am внешних сип. |
|
|
1 |
^ |
|
|
|
|
|
9МР |
|
|
\dsi 4 |
C(u,.m) |
Я |
х |
„ |
К |
doe. |
б |
|
|
|
|
|
|
|
X с |
|
|
ю
зм У
1
Рис.19.8
Учтя эти соображения, наша формула примет следу щий вид;
^в :=L--££r (21.8) - формула Верещагина.
Эха формула указывает, что перемещение любой точ ки прямого бруса в любом направлении от внешних сил равно произведению площади эпюры изгибающих моментов на ординату эпюры от единичных моментов, расположенную под центром тяжести эпюры моментов от внешних сил и ленному на жесткость бруса.
Основное достоинотво способа Верещагина выражаетоя в том, что он дает возможнооть определять перемещения сечениях балки не составляя уравнения моментов и без следующего интегрирования их произведений.
Этот способ применяется в том случае, когда одна из эпюр прямолинейна. В большинстве случаев ордината
^^берется от прямолинейной эпюры,т.е. если обе эпюры размещены по одну сторону от оси, то их произведение дет положительным и наоборот. Применение этого опоооба рассмотрим :ia конкретных примерах.
Пример 8.8
Определить прогиб и угол поворота на конце коноо
ной балки от действия равномерно распределенной нагруз ки (рис.20.8,а). Неоткооть балки £7=conSt t
Применить способ Верещагина.
Решение
Строим эпюру изгибающих моментов от заданной нагру ки (основная эпюра) ЭМр , изображенная на рис.20.8,б.
Затем с балки удаляют заданную нагрузку и приклад вают единичную силу (силу » I изображенную на рис.20,8,б если ищется линейное перемещение) в направлении прогиба в точке, где нужно найти прогиб (для нашего случая в точке К ).
Строится эпюра моментов от единичной силы (рис. 20.8,г).
Вычисляем площадь эпюры моментов от заданной нагру
ки, определяем положение центра тяжести площади эпюры от моментов, вычисляем ординаты эпюры от единичных си расположенные под центрами тяжести отдельных участков новной эпюры.
Для нашего случая площадь эпюры изгибающих момент от заданной нагрузки будет равна:
Составляется произведение площади моментов от осно ной эпюры на ординату единичной эпюры, деленное на ж кость балки и находится искомый прогиб в точке (р 20.8,а).
Пользуясь формулой Верещагина, имеем: р у
Для определения угла поворота в заданном сечении ( К ) прикладывают в этом месте единичный момент (ри 20.8,е) и затем вычисляют угол поворота по указанной
Здесь знак минус указывает, что эпюры моментов о заданной нагрузки и от единичных сил расположены по ные стороны от оси.
Пример 9.8
Определить горизонтальное перемещение конца стержня (в точке К ) . изображенного на рис.21.8,а. Жесткость стержня BU~ Сок&& . Применить способ Вере щагина.
Решение
Строим эпюру изгибающих моментов от заданной яагр
ки оо свободного конца стержня. На первом участке стержня эта эпюра моментов от заданной нагрузки огра чена параболой (ордината которой будет равна представленной на рис.21.8,б).
На втором участке стержня (АВ), как видно из ук занного рисунка, эпюра моментов будет ограничена прям угольником (высота которого будет равна ) .
На рис.21.8,б,в указаны площади и положение центров т жести эпюры по отдельным участкам.
Для нашего случая перемещение будет определяться по формуле Верещагина (21.8)
где Sip, - площадь эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки на первом участке стержня /Св (рис. 21.8,6). Она будет равна: ^ .j
У-с* - ордината эпюры от единичных сил, расположе ных под центром тяжести эпюры моментов от внешних с Из рисунка 21,8, б, в видно, что в-
площадь эшоры изгибающих моментов от задан ной нагрузки на втором участке стержня ВА, которая р
Подставим полученные значения в выражения „!), по лучим искомое перемещение сечения ( /С ) стержня:
здеоь знак минус указывает, что эпюры моментов от з ной нагрузки и от единичных сил расположены по разн стороны от оси стержня (рис.21.8, б, в).
Применение способа Верещагина требует вычисления площадей различных фигур с определением положения их центров тяжести. Поэтому, в таблице 1.8 приведены зна чения площадей и координаты центров тяжести наиболее пространенных фигур.
В том случае, когда нужно перемножить две эпюры, имеющие форму трапеции, то нет необходимости находить ложение центра тяжести площади одной из них. Тогда пают следующим образом: одну из эпюр разбивают на дв треугольника и соответственно умножают площадь каждого из них на ординаты под его центром тяжести из друг эпюры. С этой целью рассмотрим две трапеции, изображе на рис.22.8.
Для нашего случая будем иметь:
Из рисунка 22.8 видно: |
|
|
Подставляем значения ^ |
и |
в выражение (а), |
получим |
|
|
Эта формула позволяет умножить эпюры, имеющие вид "перекрученных трапеций". Следует учитывать, что произв дения ординат (имеющих одинаковые знаки) берутся со з ком плюс, а разные - минус. Рассмотрим несколько хара
тарных вариантов, приведенных на рио.23.8
