Произведя соответствующее перемножение эпюры моментов от внешней нагрузки Мр на ординату эпюры от единич ной силы (расположенной под центром тяжести от внешне нагрузки) и деля это произведение на жесткость балки, находят искомое значение угла поворота сечения, т.е.:
£- £ • +
Таким образом, вычисление перемещений при изгибе по способу Верещагина сводится в основном к выполнению следующих операций:
1. Построить эпюры изгибающих моментов от внешних нагрузок.
2.Удалить с балки внешнюю нагрузку и приложить е ничную силу в той точке, где нужно вычислить прогиб.Е по условию задачи нужно определить угол поворота в з данном сечении, то в этом месте следует приложить ед ничный момент.
3.Построить эпюру моментов от единичных сил и м
мента.
4.Эпюру моментов от заданных внешних нагрузок ну но разбить на отдельные участки (где эпюра моментов единичных сил изменится по закону прямой и где момен инерции оечения имеет постоянное значение).
5.Определить площади эпюры моментов от внешней н грузки на отдельных участках, найти положение центра жести отдельных участков площади эпюры моментов.
6.Вычислить ординаты эпюры моментов единичных сил
имомента, расположенных под центром тяжести эпюры мо ментов от внешних нагрузок. Эти ординаты должны быть взяты из прямолинейной эпюры.
7.Найти произведение площадей участков эпюры мо ментов от нагрузки на ординаты единичных эпюр от сил момента, произвести суммирование этих произведений и
разделить на жесткость каждого участка балки (если б ка имеет переменное сечение).
Полученные результаты дадут величину искомого перемещения (прогиба и угла поворота) в заданном сече нии балки.
Следует отметить, что применение способа Вереща гина для определения перемещений в балках требует, чт бы жесткость сечений по всей ее длине или на отдел участках была постоянной. В том случае, если жесткост балки непрерывно меняется по длине, целесообразно поль зоваться формулой интеграла Мора, так как способ Вере гина не может быть поимениы.
§ 9.8. Статически неопределимые балки
Статически неопределимыми балками называются такие балки, у которых число опорных реакций больше числа уравнений статики, которые можно составить для данной задачи. Степень статической неопределимости равна чис лу неизвестных минус число уравнений статики.
На рис.27.8 показаны некоторые схемы статически неопределимых балок.
Для схемы балки (рис.27.8,а) общее число неизвест ных во всех опорах балки равно 5.
D
Рис.27.8,а
Степень статической неопределимости балки будет равна числу неизвестных минус число уравнений статики, т.е. 5 - 3 = 2 (т.е. балка дважды статически неопределима).
Для схемы балки (рис.27.8,б) статическая неопреде лимость балки будет равна: 6 - 3 = 3 (т.е. балка триж ды статически неопределима).
Рис.27.8,б
Для схемы балки (рис.27.8,в) статическая неопреде лимость балки соответственно определится: 6 - 3 = 3 (трижды статически неопределима).
Рио.27.8,в
Для схемы балки (рис.27.8,г) статическая неопреде
лимость балки будет определена из следующего выражения:
6 З 2
- ур.ст. " ^Р.шарн. " (Дважды статически неопре делимая балка, так как шарнир снимает одну лишнюю не известную).
Для решения статически неопределимых балок нужно составить число уравнений, дополняющих число уравнений статики до числа лишних неизвестных. Этих уравнений на
составить столько, сколько лишних неизвестных.
шарнир
Рис.27.8,г
Дополнительными уравнениями могут быть выбраны уравне ния прогибов или уравнения углов поворота. Тогда в вом случае неизвестными будут силы, а во втором сл неизвестными будут моменты.
Чтобы решить статически неопределимую балку нужно выбрать так называемую основную систему. Основной сис мой называется статически определимая система, которая получается из заданной (статически неопределимой) путе отбрасывания лишних неизвестных.
Ход решения статически неопределимых балок выяс ним на следующих примерах.
Пример 12.8
Определить реакции и построить эпюры изгибающих "оментов и поперечных сил для 2-х пролетной балки, н женной равномерно распределенной нагрузкой (рис.28.8,а)
Туч. йуч,7, .
жR
*7
е
Рис.28.8,а
Решение
Определяем степень статической неопределимости балки. Балка имеет одну шарнирко-неподвижную опору и две шарнирно-неподвижные опоры. Общее число неизвестны во всех опорах будет равно 4, а число уравнений ста для плоской системы сил можно составить 3. Степень с тической неопределимости будет равна 4 - 3 « I (т.е. балка один раз статически неопределима).
Возьмем за лишнюю неизвестную одну из подвижных шарнирных опор, например, среднюю опору С. Тогда лишне неизвестной будет сила X " Реакция этой опоры (рио. 28.8,6).
Рис.28.8,6
Для нахождения лишней неизвестной необходимо к уравне ниям, полученным из статики добавить уравнение, вытек щее из рассмотрения деформации балки. Это дополнитель уравнение должно выражать условие равенства нулю прог (в месте отброшенной опоры С) от действия равномерно пределенной нагрузки и искомой лишней неиавеотной X т.е.:
АР~Ах~0 ( I )
Находим соответствующие значения Л.р и Лх . Под действием равномерно распределенной нагрузки (рис.28.8,в прогиб в сечении над отброшенной опорой будет равен
up
Рис.28.8,в
Прогиб балки в этом же сечении от сосредоточен силы Л действующей снизу вверх (рис.28,8,г) будет
(здесь знак + потому, что направлен в сторону полож тельной оси ^ ) .
,0
\х
|
Рис.28.8,г |
|
Полученные |
значения подставим в уравнение ( I ) , п |
лучим: |
_ Л, „ I ^ |
. , Л. 1-3 |
Получив значение лишней неизвестной, дальнейший
расчет ведется как для статически неопределимой балк
х
нагруженной помимо внешней нагрузки и силой X С . Реакции на крайних опорах /? и В в силу сим-
метрии будут равны между собой, т.е.:
(показаны на рис.28.8,а).
Имея значения опорных реакций, можно построить эгооры изгибающих моментов и поперечных сил.
Балка имеет 2 участка (рис.28.8,а). Для первого участка балки имеем:
Находим характерные точки этой параболы
Третью точку, т.е. вершину параболы найдем по максимуму функции изгибающего момента:
с/ ОС /
Поперечная сила для этого участка находится по уравнению:
Для 2-го участка балки получим: |
г |
Поперечная сила для эхого участка выразитоя:
'По полученный значениям М< и б?ж строим эпюры изгибающих моментов и поперечных оил (рис.28.8, д,е)
Рис.28.8, д, е
Контрольные вопрооы
1. Какие перемещения определяются при изгибе балок?
2.Что такое прогиб оси и угол поворота сечения
балки?
3.Укажите основные способы определения перемещений
вбалках;
4.Как записывается основное дифференциальное урав нение изогнутой оси и как можно определить с помощь го уравнения прогиб и угол поворота сечения балки?
5.Как определяются постоянные интегрирования проотой балки и консоли?
6.В чем состоит сущность графоаналитического опособ как определяется угол поворота и прогиб о применением этого способа?
7.В чем состоит преимущество метода начальных па раметров в сравнении со способом непосредственного ин тегрирования?
8.Как записывается универсальное (обобщенное) урав нение изогнутой оси для вычисления прогиба и угла п рота сечения балки?
9.Как определяется потенциальная энергия при из
гибе?
10.В чем состоит сущность теорем Бетти и Максвел 11. Как вычисляются перемещения в балках о помощью
интеграла Мора?
12.В чем состоит сущность способа Верещагина? Пок зать на примере?
13.Какие балки называются статически неопределимыми
икак определяется их степень статической неопределимо ти?
