Файл: Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие.pdf

будет выведена из равновесия, то она будет совершать колебания вдоль оси ^ . Рассмотрим равновесие этой упругой системы при отклонении ее от положения равнове сия на величину у* .

Обозначим единичное перемещение упругой системы через сР •

Используя принцип Даламбера, можно установить, что равновесие указанной системы включает действие трех-сил, в том числе: веса груза Р, направленного вниз, силы инерции, направленной вверх (противоположно направлению ускорения) J p S ^ i f , где -уско

движения и восстанавливающей силы (упругой реакции пру­ жины) - , направленной вверх и изображенные

на рио.10.12.

Условие равновесия всех этих сил на ось J£ запи шется так: (у , о

ИЛИ

Обозначим:

где У~е„, " статическое перемещениеот груза Р.

4

Следовательно, уравнение (16.12) можно записать в таком виде:

(18.12)

Это уравнение означает дифференциальное уравнение

517

свободных колебаний системы с одной степенью свобод

В этом уравнении постоянными интегрирования будут ам туда колебаний „а" и начальная фаза

- перемещения груза Р. Построен график колебаний сог ласно уравнению (19.12) и имеет вид, представленный н рис.II.12.

Рис.II.12

Период колебаний определяется по формулам:

518

'^Ц;***' УУГ (20.12)

Частота колебаний определяется по следующей фор­ муле:

Из этой формулы следует, что определение частоты сво­ дится к вычислению статического перемещения системы под действием веса груза.

От круговой частоты (л)о можно перейти к числу колебаний По в секунду, выраженному в герцах, т.е.

Кроме свободных колебаний существуют вынужденные колебания. Вынужденными колебаниями системы называются колебания, которые совершает груз при непрерывном дей­ ствии на него периодически изменяющейся силы. В качео ве примера рассмотрим колебания невесомой пружины с п вешенным грузом Р, изображенной на рис.10.12. Допустим, что кроме постоянной силы Qо на груз будет дей­ ствовать периодически переменная возмущающая сила

Qgj. , вследствие чего возникнут вынужденные колеба­ ния системы, которые можно выразить уравнением:

c/t* / Я-О <Г /Г7

519

где tO - частота изменения нагрузки.

Обозначим т^ — ^ . Если будем рассматри­ вать колебания через большие интервалы времени с нач

ла их возникновения, то можно записать закон движения массы /г? при установившихся вынужденных колебан следующей форме:

Амплитуда вынужденных колебаний равна:

й-

Это выражение преобразуем выразим в следующем виде:

я-

откуда:

Из последнего выражения следует, что амплитуда вынужденных колебаний А выражает динамическое перемеще­ ние под действием периодически переменной возмущающей

кое перемещение системы, которое возникло бы от прил жения силы Q0 . Учитывая высказанные соображения, можно наше выражение переписать в таком виде:

520

Следовательно, чтобы определить динамическое на­ пряжение в упругой системы, обусловленных ее вынужден ми колебаниями, нужно вычислить напряжения от статиче

Для нахождения полных напряжений в упругой системе ол дует прибавить к динамическим напряжениям также напря­ жения от статически действующей силы Р .

Необходимо отметить, что амплитуда вынужденных ко­ лебаний зависит не только от жесткости системы и ин сивности нагрузки, но и отношения частот 1*2-

521

ние резонанса), т.е. когда частота СО возмущающей силы совпадает с частотой колебаний упругой системы. Наличие этого явления создает большую опасность для

конструкции или сооружения. В связи с этим, при расче те конструкции при действии на нее периодически измен щейся возмущающей силы возникает необходимость*в обеспе­ чении значительного различия между частотой СОо соб­

Требуется определить амплитуду вынужденных крлебаний и максимальные динамические напряжения в балке. Собствен­ ный вес балки не учитывать.

Решение

Определяем статический прогиб от сил ;

522