Файл: Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие.pdf

удара заменяется статически действующей силой, кото­ рая может вызвать подобное перемещение.

Пользуясь указанными допущениями, произведен рас­ чет удара. С этой целью рассмотрим упругую систему (р 7.12) и допустим, что на ее падает груз весом Р без начальной окорости о высоты А .

Р

^1 |_

А;

эпюра статичшм прогибай

Рис.7.12

Определим скорость падения этого груза перед ударом, которая будет равна: {&jph~* ' В Ре8УЛЬ1а*в УДар

система будет деформироваться и точка удара переместитс по направлению падения груза на расстояние . Условим ся, что перемещение при ударе будем очитать совпадающим

508

Эта работа выражает кинетическую энергию, которая пере­ ходит в потенциальную энергию деформации системы. До­ пустим, что (Р - перемещение точки удара от единич­ ной силы. Известно, что эффект деформации балки от у ра можно заменить статически действующей силой, котор при овоем действии вызывает такое же перемещение. Исх дя из этого положения запишем: _ i ^ " = / ^ ^

Известно, что потенциальная энергия равна:

e»$*~ib-f£ (,.И)

Приравнивая полученные выражения, будем иметь:

Произведя соответствующие преобразования, получим:

отсюда находим искомое перемещение системы в точке уд ра

Так как находим наибольшее перемещение, то перед корнем в последнем выражении поставим знак плюс.

509

Заметим, что R<P-</cr>- • т.е. будет равно перемещению от статического действия груза Р. Приняв это во внимание, можно переписать наше выражение в с дующем виде:

Из этого уравнения видно, что выражение в скобках является дополнительным членом, который указывает нато, что эффект удара превосходит результат действия гр

за, приложенного статически. Это выражение бу;эм в даль­

Л

нейшем называть динамическим коэффициентом и обозначим

Известно, что внутренние усилия и напряжения прямо пропорциональны перемещениям. Из этого следует, что про изведение динамического коэффициента на любое усилие, напряжение или перемещение, обусловленное статическим действием груза можно соответственно приравнять усили­ ям, напряжениям, или перемещениям, вызванным ударом, т.е.

Расомотрим частные случаи изменения динамического коэффициента о высотой падзния груза fx .

Так, при fa = 0 из формулы (8.12)получаем:

kf-f+'/f+o' =Z (13.12)

510

Таким образом, при ударном действии нагрузки де­ формации системы и напряжений в ней будут вдвое боль ше, чем при статическом действии указанной нагрузки.

На середину стальной двутавровой балки 20а, лежа­ щей на 2-х опорах, длиною 4- м, падает груз Р = 200 кг

высоты 1\ » 10 см (рио.8.12). Цемент инерции сече­

4

ния 2370 ом;

Решение

Находим статический прогиб при действии груза Р оередине пролета балкиизпо известной формуле; т.е.

Так как J^CM намного меньше высоты падения /у , то динамический коэффициент определяется по упро щенной формуле (14.12)

Это значит, что эффект падающего груза превышае результат его статического действия более, чем в 19 раз.

Определяем статическое напряжение от груза Р. Дл рассматриваемого случая наибольший изгибающий момент будет достигать в середине пролета балки:

Наибольшее нормальное напряжение равно:

Определяем наибольшее динамическое напряжение в момент удара:

& = JC. • Z35--8% ЗЭ ~ 16ЛЗ

Указанный метод расчета на действие удара не у тывает массы конструкции, подвергающейся удару. В свя зи с этим, формулы (8.12) и (14.12) дают завышенную величину динамического коэффициента. С целью учета массы конструкции считают ее сосредоточенной в точке

перед ударом. В этом случае количество движения пе­ ред ударом будет выражаться произведением, т.е./w^".

512

Из принятых допущений следует, что после удара массы Уг\ и А/ получают общую скорость \/ и тотчао после удара количество движения может быть выражено произве­

откуда

ут + м

Вычислим кинетическую энергию системы после удара,

Но без учета массы^конструкции кинетическая энер­ гия была равна t22Ji. • Из сравнения двух по-

следних уравнений вытекает, что с учетом массы констр ции значение кинетической энергии отличается величиной

Подставив это значение в формулу. (8.12), получим уточненное выражение динамического коэффициента:

В действительности масса конструкции не сосредото­ чена в точке удара, а является распределенной по всем

513

объему тела. В этом случае ее заменяют эквивалентной сосредоточенной массой, вычисленной согласно закона сохранения энергии. Установлено, что значение эквивалетной массы зависит от конструкции. Как видно из ф лы (15.12) динамический коэффициент уменьшается с увели чением массы конструкции.

Опытным путем установлено, что не все материалы держивают ударную нагрузку. Способность материала оказ вать сопротивление удару называется ударной вязкостью. Так, ударная вязкооть некоторых марок сталей подсчитывается на основании данных экспериментов на специальн машинах - маятниковых копрах.

§ 4.12. Колебания упругих систем о одной степенью свободы

Исследование вопроса о колебаниях упругих систем и определения соответствующих динамических напряжений занимает важное место в инженерных расчетах.

Известны случаи, когда в условиях эксплуатации з верточных машин в кондитерском производстве, машины с круговым поступательным движением плоских сит (рассева в мукомольном производстве отдельные элементы этих ма­ лин получают значительные колебания. Напряжения, вызы­ ваемые этими колебаниями, могут достигать весьма боль ших величин.

Наличие этих напряжений, которые меняются периоди чески как по величине, так и по направлению приводя поломкам машин.

Различают свободные (собственные) и вынужденные колебания. Свободными колебаниями называются такие кол бания, которые происходят при отсутствии внешней силы их вызвавшей. Иначе - это колебания, происходящие под действием сил упругости самой системы. В качестве пр

514

.pa рассмотрим колебания упругой системы с одной сте­ пенью свободы. Под одной степенью свободы понимают такой случай, при которой движение упругой системы бу­ дет определяться только одной координатой. Примером мо­

как показано на рис.9.12. Амплитудой колебаний называет­ ся наибольшее отклонение CL сечения системы от поло­ жения равновесия.

Упругую систему с одной степенью свободы также по­ лучим, если возьмем невесомую пружину с подвешенным гру-

515

зоц (рис.10.12). Допустим, что груз Р выведен из с

длина пружины, при которой груз будет занимать рав весное положение и пружина будет находиться в сост статического равновесия. Представим, что если пружин

516