Это может быть при изгибе и кручении.
Различные результаты при расчетах могут быть по лучены также и при разномерном распределении напряже ний в статически неопределимых системах. Применение указанных расчетов рассмотрим на нижеприведенных при мерах.
§ 2.14. Кручение вала круглого поперечного сечения
Как известно, при кручении B&ia круглого попереч ного сечения распределение касатзльных напряжений в ег поперечном сечении происходит по линейному закону, т.е пропорциональны расстояниям точек сечения от оси вала. Наибольшие касательные напряжения возникают в наиболее удаленных точках от оси, т.е. на поверхности вала (пр
Р= Z ) будут равны:
Эпюра этих напряжений изос.ажена на рис.2.14.
Пусть наибольшие касательаыа напряжения при некотором
|
|
|
значении крутящего момента frfr =. &r-W |
достиг |
нут предела текучести Z"r |
(рис.2.14,б). При дальней |
шем увеличении крутящего момента касательные напряже ния, равные пределу текучести fr , будут возникать не только на поверхности вала, но и во внутренних, нее напряженных точках поперечного сечения, как это казано на рис.2.14,в. В этом случае вал может еще с ранить спосооность воспринимать возрастающий крутящий моминт, соответствующий полному использованию несущей способности вала. Предельное состояние материала на ступит тогда, когда во всех точках поперечного сечен вала напряжения достигнут предела текучести (pi«c.2.I4, Это состояние будет соответствовать величине предельно крутящего момента. Определим -величину этого момента. С этой целью выделим в поперечном сечении элементарную
|
|
|
|
площадку в форме кольца шириной |
, находящейся на |
расстоянии JP от цеатда вала (рис.2.14,г). |
Как видно из рисунка, |
элементарная площадка буде |
равна c/F^ -ЯУу^-с/р |
. |
Хогда величина действую |
щей силы на эту площадку будет выражаться следующим
Уравнением Хт |
^J> |
Момент этой силы относительно оси вала составит: |
Тт'Я-У-р*djd |
. В этом случае предельный крутя»- |
щии момент будет равен сумме всех элементарных момен тов внутренних сил, т.е.
JTc/3
~7ТГ (5.14)
574
Обозначим через |
|
|
|
|
|
/X |
* г'""У |
(6.14) - пластический мо |
мент сопротивлелия при кручении. |
|
|
Тогда nose выражение можно переписать в следующем |
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
МП•рпр = £Г' |
|
|
< W ) |
|
В случае расчета по допускаемым напряжениям поль |
зуемся полярным моментом сопротивления: |
|
|
|
|
WP |
/6 |
|
|
|
Зная значения Mtp |
и М7 |
• находим отношение |
зтих величин: |
|
|
|
|
Мпр |
WpfiiL Xd\ |
Ж£- |
f^L |
^ X |
|
7j?s |
|
wp-^fi' |
16 |
азы* |
3 |
(8Л,} |
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
"*Р~ |
3 |
|
(9.14) |
|
|
|
|
|
Полученное числовое значение показывает, что рас чет по продольному крутящему моменту дает возможность увеличить величину допускаемого крутящего момента на 33ft, т.е. скручиваемый вал круглого поперечного сечения обладает скрыгш запасом прочности.
Установлено, что у скручиваемого вала кольцевого поперечного сечения распределение напряжений в упругой стадии приближается к равномерному. В связи о этим, ра чет по предельному крутящему моменту этого сечения пр водит к меньшему значению скрытого запаса прочности (близкого к единице).
Необходимо отметить, что раочет по допускаемому напряжению и по предельному состоянию дают различные результаты как в статически определимых, так и в с тически неопределимых системах.
Пример I . I 4
Вычислить коэффициент запаса прочности стального стержня круглого поперечного сечения, жестко закреп ленного с обоих концов и нагруженного скручивающим ментом М (рис.S.14,а).
а) м*
Рис.3.14
Задачу будем решать двумя способами. I . Расчет по допускаемому напряжению.
Рассматриваемая задача является статически неопр делимой, так как в этой системе имеем два неизвес реактивных момента в заделках ( Ма и / % ) , а со-
ставить можно лишь одно уравнение равновесия, т.е.
Для решения этой задачи используем метод сил. Б этом случае условие деформации записывается в следую
щем виде:
t ^ — с,
с
следовательно:
Mfi-L Мв'21
3
откуда получим, что Ма**2Ма ( )
Подставка значение А^? в наше уравнение ( I ) , б дем иметь:
2Ме -tMe = или ЗМ& - М .откуда М£ =j М
и-£'^-М = ^М . Полученные значения реактив
ных моментов указывают, что Мд больше Ме . Следов тельно, наибольшие касательные напряжения будут на уч ке "С", которые будут определены по следующей формул
|
М |
|
Стаж~~Щ>~ 3 |
Ss£ |
(10.14) |
Коэффициент запаса прочности при расчете по до |
каемому напряжению определяется следующей формулой: |
Пт~Гн^х~ зги |
~ 32М |
(п.14) |
=*•О
(а)
2.Расчет по предельному состоянию.
Бэтом случае при дальнейшем увеличении скручиваю щего момента М наибольшие касательные напряжения на участке "С" достигнут предела текучести и в последующ зона текучэсти будет приближаться к оси стержня. Реа тивный момент А//у достигнет своего предельного зн ния лкшь тогда, когда зона текучести распространится все поперечное сечение стержня. По формуле (7.14) он
равен: |
^ |
|
|
'ft Яр |
|
|
п~ |
7fd3 |
|
Mffnp- Lr |
(12.14) |
Слезет отметить, что состояние участка "С" не б дет являться предельным для всего стержня.
Предельное состояние всего стержня будет характе ризоваться в том случаэ, когда кроме момента МПр б дут действовать предельные моменты Мпр » приложен по концам этого стертая, изображенные на рис.(3.14,б) Составим услозие равнозесия выделенной части стержня
(сечениями I - I и П-П), которое запишется в следующем
влде: ZMz ~0; -Мдлр~Me upМпр
Мпр*Мй*р+Мьнр
Заметим, что реактивный момент Мв яри достиже нии своего предельного значения, будет равен:
или это можно выразить так: . г
М&нр= t-r tz
Следовательно, выражение (а) можно записать в таком
