Файл: Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие.pdf

малыше напряжения в опасном сечении будут выражатьоя

Иэ указанного уравнения определяется расчетная пло щадь поперечного сечения убруса, которая будет равна:

Пример 3.2.

Поотроихь эпюры продольных сил, нормальных напряже­ ний и перемещений^стального ступенчатого стержня, изоб­ раженного на рис.12.2.

Решение

Применяем метод сечений для определения внутренних сил, С этой целью мысленно разрезаем стержень по сече ниям I - I и 2-2 как изображено на рис.12.2. Из условия равновесия отсеченной части (ниже сучения I - I ) :

Рассмотрим равновесие отсеченной части (ниже се­ чения 2-2):

По полученным значениям отроим в выбранном масшта бе эпюру продольных оил как показано на рис.12.2. За переходим к вычислению напряжений* Для оечения I - I по-

55

л у ч и м : £ « . - ^ 1 = щр>=/ ^ o g y i .

и для сечения 2-2 ииееи:

Найденные числовые значения напряжений дают воз­ можность в определенном масштабе построить эпюру нор­ мальных напряжений, изображенную на рис.12.2. Как видно изэпюры, наибольшие напряжения имеются в сечении 2-2,

которое будет являться опасным сечением.

Вычислим перемещения каждого поперечного сечения стержня, т.е. для нашего случая найдем перемещения сече­ ния В-.В и А-А (перемещение сечения С-С равно нулю). Усло­ вимся считать перемещение сечения вниз положительным, вверх - отрицательным. Для нашего случая перемещения всех указанных сечений будут положительными, так как пе­ ремещение их происходит вниз.

Для оечеиия В-В перемещение стержня будет равно:

Перемещение сечения А-А будет выражаться алгебраи­ ческой суммой перемещения сечения В-В и удлинения стерж­ ня от силы Р2, т.е. получим:

По найденным числовым значениям строим в выбранном масштабе эпюру перемещений, показанную на рис.12.2.

Из эпюры видно, что наибольшее перемещение имеет торцевое сечение, а в месте закрепления стержня оно будет равно нулю.

Следует отметить, что на указанных эпюрах не по­ ставлены знаки, так найденные значения ( А/ , б* % Л )

57

В этом случав при удлинении сила ¥ переместится вмест о концом стержня по своему направлению на д£ и со­ вершит работу. Если деформация является упругой, то эта работа будет сохраняться стержнем в виде скрытой потенциальной энергии. Она может быть возвращена стер нем полностью при удалении с него нагрузки, что вызо сокращение размеров стержня до первоначальной длины.

Будем считать, что сила приложена к стержню стат ческим способом, т.е. постепенно и медлило возрастает от нуля до своего наибольшего значения. Одновременно ростом силы пропорционально растет деформация (рис. 13.2). Как видно из этого рисунка часть площади диаг мы ОАВ до предела упругости будет выражать работу уп гой деформации. Определим величину этой работы.

Упругая работа на элементарном перемещении с/д£ (ом.заштрихованную полоску) будет равна:

Но согласно формулы ( I I . 2 )

Подставим значение Р в выражение (а), будем

иметь: А?у»р. г.

н

у —е— * ~£

Подставим в уравнение (б) значение Л £• . При этом получим формулу потенциальной энергии

59

Графически эту работу можно представить площадью треугольника ОАВ на диаграмме растяжения (рис.13.2), построенной в координатах Р и д £ .

Для того, чтобы получить удельную упругую работу т.е. работу в единице объема образца, нужно всю раб разделить на объем ( i^—f^E ) , в результате чего получим удельную потенциальную энергию:

/7

tf- Zh-t сг -ьс; (18.2) Если отложим на оси ординат напряжения (У" , а

на оси абсцисс - относительные удлинения <f ( рис. 14.2), то можно графически выразить удельную потен­ циальную энергию.

Рис.14.2

Нетрудно заметить, что графически удельную упру­ гую работу можно представить в виде площади треуго ника диаграммы растяжения, построенной в координатах б" и а .

60

§ 8.2. Три рода задач на растяжение, сжатие. Понятие о запасах прочности. Выбор

допускаемых напряжений

Для оценки прочности проектируемой детали важно знать величину напряжений, возникающих в поперечном сечении конструкций. С этой целью пользуются расчетным уравнением на прочность при растяжении (сжатии), кото­ рое записывается в следующем виде:

должно превышать (или в крайнем случае быть равным) допускаемого напряжения.

2. Определяют размеры поперечного сечения по изве­

Для обеспечения безопасной работы конструкции не­

1

обходимо, чтобы напряжения, возникающие в конструкции,' были бы ниже предельных напряжений, свойственных данно­ му материалу и условиям работы конструкции. В этом сл

61

чае необходимо выбрать безопасное или так называемое допускаемое напряжение.

Допускаемым напряжением называется наибольшее на­ пряжение, при котором обеопечивается длительная работа конструкции без риска ее разрушения.

Допускаемые напряжения составляют некоторую долю от предельных напряжений.

Число /Z показывающее во сколько раз допускаемое напряжение меньше предельного напряжения называется за пасом прочности или коэффициентом запаса прочности-.

В случае пластичного материала за исходное предел ное напряжение принимается предел текучести, т.е.

(22.2)

Для хрупкого материала в качестве исходного пре­ дельного напряжения берется предел прочности, т.е.

(23.2)

§ 9.2. Расчет статически-неопределимых систем, работающих на растяжение (сжатие)

Статически неопределимыми системами называются си­ стемы, в которых число неизвестных сил больше числа уравнений статики, которые можно составить для данной системы. Для решения этих систем необходимо составлен уравнений, дополняющих число уравнений отатики до чис неизвестных. Эти уравнения условно называются уравне­ ниями перемещений.

В качестве примера рассмотрим статически неопреде­ лимую систему, изображен.-ую на рис.15.2.

62

сывания лишнего закрепления. С этой целью отбрасываем одну из заделок, например, правую и заменим.ее дейст­

Величину J( подбираем так, чтобы.было соблюдено сле­ дующее соотношение: &.g = 0 (так как в этом сечении брус жестко заделан), где Ag - суммарное перемещение сечения В от действия всех сил (Р, 2Р,*^ ) . Используя принцип независимости действия сил, можно записать ука занное равенство в следующем виде:

где ASpудлинение участка АС и равно:

64