Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл (14,79Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 140

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 0.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Выберем

интервал Г

и открытое

множе

ство

U a R" так,

чтобы Г X

U а

V, г0 е

Г,

отображение ср

было

ограничено

на

Г X

суммируемой

функцией

r(t)

удовле

творяло условию Липшица по х (с некоторой константой

k >

0).

Пусть число 6 таково, что

замкнутый

шар радиуса

центром

в точке Хо принадлежит множеству U\ обозначим через

U0 шар

ра

диуса б с центром в точке

хо.

Выберем

число

е >

так,

чтобы

t 0 +

ek<\,

г (/) dt <

б,

г (0 dt<&

<о-е

и положим Т0 — |tt, t2\, где ta— е ^

t\<

ta< t2^

t0+ е, [fi. t2] с : Г.

Множества То и

t/0 — искомые. Действительно,

рассмотрим в

пространстве СП(Г0) множество

X = {х (•) s

Сп (Г0) 1 * (/) -

х, |< 26,

yt <=Г0).

Э то— замкнутое

подмножество пространства СП(Г0),

т. е. оно само

является полным метрическим пространством относительно расстоя

ния р ( х ( ) , {/(• ))=		II *(• ) — «/(•)Нс-					отображение Я2, ставящее
Зафиксируем z <= U0				и	рассмотрим
в соответствие каждому элементу х ( - ) ^ Х							вектор-функцию
	У (0 =	[ДгХ ( •)] (0 =				2 + \| ф (т, А-(т))			dx.
Тогда	при <s Та			J ф (т,		t,		J г (х) dx<6.

\[РгХ ( •)] «) -		2 \|=				х (т)) dx =<
т. е. Р2 отображает		множество X в себя. Далее,							если х, (• ) е X
и г2( ' ) е Х, то					J (ф (т, A i
Р(Дг1 (•), Р22( ‘ )) =			тах				(t )) — ф (t , x 2(t ))) dx
			/ €= Го
			f
	max		Г	k \|Aj (т) — x2 (т) \|rfr				efep (ai (•), x2(•)),
	( е Г ,		J
			*0
т. e.	отображение Pz — сжимающее. Согласно							принципу сжимаю
щих	отображений		существует			единственная			вектор-функция
хг (•) е X такая, что			Ргхг ( ’ ) =			хг (* )•

т. е. такая, что

Xz ( t ) = z + J Ф (т, хг (т)) dx.

Первое утверждение теоремы доказано.

68	0.		ВВЕДЕНИЕ.		ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Предположим				теперь,	что Zi е Uo и гг е		£/0. Тогда по доказан
ному xZi{t)		и xZi (t) определены на Т0 и принимают значения в U.
Имеем
Р (* * ,(').		(•)) =		Р (PzXZl (•). Pz xZi (•)) =
=	шах	о	г1_	z2 + {	(Ф (Т> «г, (т)) -	Ч>(т-		г2())) dt	<
	t^T	о
т. е.					<\| г, - z	2 \|+		е*р (xZi{ .),	xZi( ‘ )),
т. е.								■г2\|.
			р К ( - ) .		* * (• ))< ■ 1 - ek I		‘	■г2\|.

Поскольку ей < 1, отсюда следует второе утверждение. Теорема

доказана.	Пусть выполнены условия теоремы и xt(t),
С л е д с т в и е .	Пусть выполнены условия теоремы и xt(t),
Хг(t) — два решения	уравнения (1), определенные на одном и том

же отрезке [/о, ti}. Тогда, если хотя бы в одной точке этого отрезка

X\(t)

— хг((), то Х\(t) = x2(t)

во

всех точках отрезка [/о, fi].

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно проверить,

что

множество А

тех

точек

из [<о, И],

в которых

x i(t)= X 2 (t),

открыто

замкнуто

в Uo, И]. Замкнутость

множества

очевидна. Если

же

т е 4 ,

то в

силу

теоремы Xi(t)— X2 (t)

некоторой окрестности точки

т,

т. е. Д

открыто в [fo, fi], что и завершает доказательство.

множество

всех

Зафиксируем

точку (т, г)

и рассмотрим

пар

(Д, *(•)), где

Д — некоторый

интервал, содержащий

точку т,

a x(t) — решение

уравнения

(1),

определенное

на

Д и такое, что

x (x )= z .

В силу

теоремы

3 множество таких

пар

не

пусто

(если,

конечно, отображение <р удовлетворяет наложенным в теореме ус

ловиям), а согласно следствию всякие				две такие	пары	обладают
тем свойством,	что	Xi(l) = Хг(1) на	пересечении		П Дг	(которое
содержит точку	т	и, следовательно,	не	пусто).	Обозначим через

Т(т, г) объединение интервалов Д, входящих во все такие пары. Тогда на Т(г, г) определена вектор-функция t-*- x(t\x,z), обладаю

щая тем свойством, что для всякой пары			(Д, д:(-)) ограничение век
тор-функции х (-;х ,z) на Д	совпадает	с	*(•).	Поскольку	какдая
точка te T (x ,z ) содержится	хотя бы	в	одном	таком Д,	вектор-

функция t-+x(t-,x,z) есть решение уравнения (1). Она называется максимальным решением уравнения (1) с начальным условием

х(х) = 2 .

Для максимальных решений, как и в линейном случае, спра

ведлива очевидная формула
х (t; х, х (т; S, г)) = х (/; s, г).	(9)
Зафиксируем некоторый отрезок [?о, ti\ и положим
А = [г е= R" \|[/0, <j] с. Т (t0, z)}.

Тогда на множестве А (если оно не ние F: А -*■ Cn([to,ti\), ставящее в ограничение максимального решения

пусто) определено отображе соответствие каждому г е Л x(-\to,z) на [<o,/i].

§ 0.4.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	69
Т е о р е м а 4	(глобальная теорема существования	и непрерыв

ности). Пусть выполнены условия теоремы 3 и множество А не пусто. Тогда оно открыто и отображение F непрерывно на А.

Д о к а з а т е л ь с т во.

Пусть

г е

и последовательность {г8}

сходится

к г.

Для

доказательства

теоремы

нужно

проверить,

что,

с одной стороны, отрезок [to.ti] принадлежит множеству

T(to,zs),

если s достаточно велико, и с другой, что при s

оо

последова

тельность вектор-функций x(t\to,zs)

равномерно

сходится

x(t\ta,z)

на

[/о, <i].

Обозначим

через

верхнюю

грань

тех

t e R ,

для

каждого

из

которых

существует

такой

номер

s (t), что

Ро, т] с: Т(t0, zs)

при

s ^

s(x)

x(t\ to, zs)-+ x(t; to, z)

равномерно

на Но, т]. В силу теоремы_ 3

т >

to.

Для

доказательства

теоремы

достаточно проверить, что т >

Ц.

содержится

Предположим,

что

Тогда точка (т, х (v, t0, г))

в V.

По

теореме 3

существует такое

е > 0, что

[т — е, т + е] с:

с. Т (т, у)

при всех т и у,

удовлетворяющих неравенству |т — т |

и [ у — х (т; t0, z) |<

е. По

определению

числа т найдется такое т,

что

т — е < т г ^ т ,

р 0, т] с

Т (t0, zs)

при всех

больших

некото

рого s (т),

и х (t; tо,

zs) -> х (t; t0, z)

равномерно на [t0, т].

Поэтому

можно

указать номер So такой,

чтобы неравенство

I х (t,

t0. zs) — х (t;

t0. z) |< e

выполнялось

для всех s > s 0

и t e

[t,

т].

Но в этом случае в силу

выбора т,

ти е решения х (t\ т,

х (т;

<0, zs))

определены

на отрезке

[т — е, т +

в]

при s ^ sо и сходятся

на этом отрезке равномерно к

х (t;

т,

х (т; to, z)).

Однако в силу

(9)

х (t; т, х (т;

t0, zs)) =

x (t; t0, zs).

Мы получили таким образом, что при s ^

So максимальные решения

x(t;to,z„)

определены,

по

крайней

мере,_ на

Ро, т + е ]

(т. е.

(to, т +

в] с: T(t0, гв))

сходятся

на

[/о .т + е ]

равномерно

x(t;

to,z).

Полученный результат, однако,

противоречит

определе

нию т,

Теорема доказана.

выполнены

условия теоремы

и г0 е Л .

Т е о р е м а

Пусть

Обозначим

через

Xo(t)

ограничение

максимального

решения

x {t\to,Zo)

на

[<„, U]

и предположим,

что

отображение

х->-ф (t,x)

непрерывно дифференцируемо во всех точках некоторой окрестно

сти графика вектор-функции X o (t ) .					Тогда отображение F					дифферен
цируемо по Фреше в точке г0(-)					и	для	всякого z e R "				вектор-
функция [F'(zo)z](t)= y(i;to,z)				есть решение				линейного		дифферен
циального уравнения			У = Фх (t.		(0) У

с начальными условиями
			У (to) — г.
Докажем сначала один вспомогательный результат.									и	отображе
Л е м м а 2.		Пусть	V — область			в	R X R"
ние ф:	V -*■Rn	удовлетворяет		условиям,			указанным		в	теореме 3.
Пусть далее вектор-функция x(t) определена и								непрерывна на неко
тором	отрезке	Т и ее	график	принадлежит				области V.			Тогда в

70	0 ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

некоторой окрестности графика вектор-функции x(i) отображение <р ограничено суммируемой функцией и удовлетворяет условию Лип шица по х.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть т е Г . Тогда по определению су ществует такой интервал Д(т), содержащий точку т, и такая окрестность У ( т ) с R" точки х(т), что Д (т)Х У ( т ) с V, отображе ние Ф ограничено на Д (т )Х У (т ) суммируемой функцией r(t\ т) и удовлетворяет условию Липшица с константой k(x). Обозначим че рез G график вектор-фуикции х (/). Тогда G — компактное подмно жество области У и

		Gcz		( J	(Д (т) X	U (т)).
				т е	Г
Поэтому	можно	выбрать		конечное число точек Tj........xm из Г
так, чтобы				m
				m
		c<= U ( A(T/)X tf(T ,))-
				i=l
Положим,	далее,	Sf — {j 11 е			Д (тг-)},
	W = {(Л х) s V 11е= Т, х е U (т;). V ‘ е ^ } ,
		k =	max {k (Ti)........			k (тт )}.
		л(0	=	тах {г (/; Т(.)		\|( е З ',} .

Тогда W — окрестность множества G, 0 < k < оо, и функция r(i) суммируема на Т. Если ( O j e l f , то ( е Д ( т , ) , х <= Н(т,) при неко тором i и, значит,

|ф(/, .i)| < r (/; xi) < r ( t ) .

т. е. отображение ф ограничено на С другой стороны, если (t, x)<=W принадлежат всем множествам U(х рых t е Д(т,). Поэтому

W суммируемой функцией r(t). и (/, x')<=W, то точки х и х' j) с теми номерами t, при кото

|ф (<, х) — ф (/, (т;) |х — х’ К k |х — х' |,

т. е. отображение ф удовлетворяет на множестве № условию Лип

шица по х с константой k. Лемма доказана.
Д о к а з а т е л ь с т в о				т е о р е м ы		5. В силу леммы мы можем
выбрать	числа е >	0,	k >	0 и	суммируемую		на	[*о, <i] функцию
г(/) так,	чтобы	из	/ е	[/<>, <i],	[х — х0(0 \|<		е,	\|х' — Х о (0 1 < 8
вытекали бы неравенства
	\|ф (/, х) — ф (<, х ') К					k \|х — х' \|,
			I ф (<. х) \| < г (t).

Смотрите также файлы

Картирование шельфов сборник статей..pdf

Квитко, М. П. Кислородно-конвертерный процесс.pdf

КМА набирает высоту сборник статей, очерков об освоении Курской магнитной аномалии..pdf

Коган, З. А. Консервация и упаковка машиностроительной продукции.pdf

Козырев, А. П. Теория тепловых и гидродинамических процессов в атомных энергетических установках учеб. пособие.pdf

Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно