Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл (14,79Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 137

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

62 0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§ 0.4. Дифференциальные уравнения

Нам придется иметь дело с обыкновенными дифференциальными

уравнениями вида	ср (t, х),	(1)
* =	ср (t, х),	(1)
где ср — отображение некоторой	области V c R X R "	в простран

ство Rn. Как правило, мы не будем предполагать отображение ф не прерывным по совокупности переменных, как это обычно делается в большинстве руководств по теории дифференциальных уравнений. Поэтому все утверждения в. этом параграфе сопровождаются пол ными доказательствами.

Решением уравнения (1) мы будем называть всякую определен ную и абсолютно непрерывную на некотором интервале Т векторфункцию x(t), если ее график принадлежит области определения К отображения ф и если почти при всех t выполняется соотношение

х(0 = ф (t, x(t)).

0.4.1.Линейные уравнения. Начнем с изучения линейных

уравнений	(2)
х — A (t) х + a (t),

где <->А (t) — отображение отрезка [<0, ^i] в пространство 3? (Rre, Rre)

линейных операторов из R" в					Rre,	a	a (t): [?0, U\			R” — вектор-
функция.	Отображение			t-> A (t)	называется измеримым, если для
всякого	i e R "		вектор-функция		t^ -A (t)x измерима,					и суммируе
мым, если,		кроме того, суммируема действительная								функция t ->
—> \|\|Л(ОН1, где через \|•\|обозначена норма в пространстве 3S (R”, R”),
(Для суммируемости отображения						t -> Л (t) необходимо и доста.
точно, чтобы были суммируемы действительные функции (Л (t)											\|еД
i, j = 1,	...,	п,	где {еи .. . , еп) — некоторый базис						в Rre.)
Л е м м а		1.	Предположим, что отображение t^ -A (t) и вектор-
функция a(t)		суммируемы на отрезке						Тогда	для всякой		век
тор-функции г( ■) е Сп([^о. ^i]) и					всякого т е			[fo.^i]	существует одна
и только одна вектор-функция х(-) е						Cn([fo,^i]) такая,				что для всех
t е= [t0, ti]				t
			x V ) = z	(t) + J [A (s) x (s) +				a (s)] ds.			(3)
				x
Д о к а з а т е л ь с т в о . Оператор						Q:
						t
x ( - ) - > [ Q x ( - ) ] ( t ) = z ( t )					+	\|	[A (s) x (s) +		a (s)] ds
					x
отображает пространство Cn ( [rfo, ^i])							в себя. Положим
с (0 =		\|\|A (Oil.		C (t) = Jt	c (s) ds,			c 0 = C (/,) - C (<0).

§ 0.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

Име'ем

|[q*i (-)h o - [ q*2(-)] (o k

| с (s) I Х\(s) — х2(s) I ds

<\ С (01 Щх,

(• ) - х 2 (- )||_ ;

(ОНО-№***(ОНО К

[Qx2(•)] (01

J С (s) |[Q : {•)] (s) —

< I U l ( 0 — лг2 ( 0 IIc • J c(s)C (s)

= 'hc2 (0 их, ( 0

- *2 ( Ollc;

I [Qm2fi (•)] ( 0

— lQmx2(•)] (01 <1

Ic (ОГ *1 (0-

(•)llc < cm Идс, (■)-**(•)llc.

t . e.

\\Qmxl ( - ) - Q mx2 (.)\\c < - ± - \ \ X i { - ) - x 2(-)\\c .

Ho c™jm\ < 1

при

достаточно большом

m, т. e. m-я степень ото

бражения

Q — сжимающая. Требуемый

результат следует теперь

из принципа сжимающих отображений.

и вектор-функция

Т е о р е м а

Пусть

отображение

a(t) удовлетворяют условиям,

указанным в формулировке леммы 1.

Тогда для

всяких

z e R” ,

т е

[t0, 0]

на

отрезке

[0 ,0]

существует

единственное решение x(t)

уравнения

(2)

такое,

что х(т) = г.

Д о к а з а т е л ь с т в о

следует

из леммы

если

положить

z(i)s=z.

С л е д с т в и е .

Рассмотрим отображение

( [^о>М) ->

-> L” ( [/0, 0 ]) .

определенное формулой

\Рх (•)] (0 =х (0 —Ф(/, х (/))•

Лредположим, что в некоторой окрестности графика вектор-функции

ха(•) <= Wfi ( [?0, 0 ])	отображение	(t, х)-*- ср(/, х)	удовлетворяет
условиям, указанным в	примере 9 из	§ 0.2. Тогда	отображение Р.

регулярно в точке Хо(•).

Д о к а з а т е л ь с т в о . В примере 9 из § 0.2 было показано, что отображение F дифференцируемо по Фреше в точке Хо(-) и что его

производная в этой точке есть линейный оператор из №[*] в L lt дей ствующий по формуле

IF' (*o(-))*(‘)HO=iW-A(0*(0.

64	0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

где Л (0 = фх(*. *о(0)- По теореме 1 уравнение

х — A(t) х — y{t)

имеет решение (принадлежащее по определению IF" J при всяком

[/0. 0] )> а это и означает регулярность отображения F.

Решение уравнения

(2), удовлетворяющее в

точке

условию

х(х) = z ,

будет в дальнейшем обозначаться через

x(i\x,z).

Из

оп

ределения и из теоремы 1 сразу следует равенство

х (Р, х, х (т; s, z)) =

х (t\

s, z),

(4)

справедливое для всех t, х, s из [О, 0],

z s R".

что а(/) =

Предположим, что уравнение (2)

однородно, т. е.

Тогда, очевидно, для всех z, zlt г2 из Rn, A e R ,

x (/;

т,

Xz) — Xx (t\ t, z),

x (t; t, Z\ + z 2) = x

(t\ x, zi) +

x (t; r, z2).

Другими словами, отображение z -> x{t\X,z)

линейно, т. e. для каж

дых t, х из [<о, ti] существует однозначно определенный линейный

оператор R(t,x): Rn -*-R" такой, что

x(t\x,z)— R{t,x)z. При этом

R(t,t) = 1

(тождественный

оператор)

для

всякого t е

[tQ, /,]. Ото

бражение

(t, т) ->-R(t, т)

называется

резольвентой

однородного

уравнения

x =

A (t)x .

(5)

П р е д л о ж е н и е

Пусть R(t,x) — резольвента уравнения (5).

Тогда

отображение

t~+R(t, т)

является решением

дифференциаль

а)

ного матричного уравнения

(6)

с начальными условиями R(т) =

б) для всяких t, т, s

из IU, ti] справедливо равенство

R (/, х) R (т, а) =

R (t, s).

В частности, R(t,x) R(т, t) =

/, т. е.

R~l (t,x) =

R (x,t);

в) если Q (t, т) — резольвента однородного уравнения

г/ =—

л* (/)гл

(О

то

R~l (0 т) = Q' (t, т).

Уравнение (7) называется обычно сопряженным с уравне нием (5).

	§ 0.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ						65
Д о к а з а т е л ь с т в о ,			а)	По определению	для	всякого z e R ”
R(t, т) z = z +		J Л (s) R (s, т) 2 ds = \|^7 + J			Л (s) R (s, t) dsj		г,
откуда	следует,	что		t
				t
		R(t, т) =	7 + J Л (s) R (s, t) ds.
				X
б)	Согласно	равенству	(4)	для всякого z e R *
R (7, s) z = x (7; s, z) — x (7;			т, x (t; s , z )) =
откуда			=	R (7, t) a (t; s , z ) =		R (7, t) R (t,	s ) z
откуда		R (7, s) =		R (7, t ) R (t, s).
		R (7, s) =		R (7, t ) R (t, s).

в) Пусть Q (7, t ) — резольвента уравнения (7). Тогда по дока занному Q (7, т) удовлетворяет дифференциальному уравнению

1 Q - - A - W Q

и начальным условиям Q (т, т) = 7. Имеем

4t (QtR) = ( w Q1 R + Q * ( w R) = -

Q ' A R + Q ' A R ■= °'

t. e.

Q’ (7, x) 7? (7, t ) =

const

для

всех

7 ^

[70. ^i].

Q*(t, t) R (t, t) = 7.

Следовательно,

Q* (7, r) R (7, t)

t. e.

R~l (7, t) = Q* (7, т).

Предложение доказано.

Вернемся к неоднородному уравнению (2).

леммы 1

и R(t,x)

Т е о р е м а

2. Пусть

выполнены

условия

резольвента однородного уравнения (5). Тогда

х (7;

т, z) =

R (7,

т) z +

7? (7,

т)

R (т,

s) a (s) ds.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Будем искать х (7;

т,

z) в виде

х (7; т, z) =

R (7,

т) у (7),

(8)

где y{t)

абсолютно непрерывна и у ( х )= г . Имеем в силу предло

жения 1

х (7; т, г) =

{^ -7 ?

(7, x)j у (7) + 7? (7, т) у (7) =

= A (t)R (t,

x )y (t )+ R (t ,

т) у (7)

3 А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров

66	0.	ВВЕДЕНИЕ.	ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
откуда			R (/, т)у (t) = a(0,
т, е.			R (/, т)у (t) = a(0,
т, е.		г+ J* R~X(s, т) a (s) ds = z + tJR (т, s) a (s) ds.
у (i)	=	г+ J* R~X(s, т) a (s) ds = z + tJR (т, s) a (s) ds.
		T	T

Подставляя полученные выражения в (8), получаем требуемый ре зультат.

0.4.2. Существование решений и их зависимость от начальных условий. Обратимся к уравнению (1). Пусть ф — отображение неко торой области V в пространстве R X R " в R". Скажем, что отобра жение ф ограничено на множестве Q c V функцией r(t), если

\|ф (/,	х) \|< г (/) при (/,		х) е Q.
Если для каждой точки	(т, х ) е	V найдется интервал Г, т е		Г,	такой,
что Г X W с V и отображение		t-+<p(t,x)	измеримо на	Т,	то мы
скажем, что отображение ф измеримо по L

Говорят, что отображение ф удовлетворяет условию Липшица по х на множестве Й с Г, если для всех t, х, х' таких, что (/,

и (t,x') е £3, справедливо неравенство

|ф (/, х) — ф {t, х') |^ k |х — х' |, k > 0.

Отображение ф называется локально липшицевым по х, если каждая точка области V может быть окружена окрестностью, в которой ото бражение ф ограничено суммируемой функцией и удовлетворяет усло вию Липшица по х.

Предположим теперь, что измеримое множество Д с R и об ласть l / c R n таковы, что произведение Д X U принадлежит области определения V отображения ф. Говорят, что ф удовлетворяет усло

вию Каратеодори на		Д X	U, если			при	каждом ( е А	отображение
х-»-ф(<,х)	непрерывно на		U,	а	при		каждом	отображение
х)	измеримо	на Д.	В	гл.	9	будет показано, что		при выпол

нении условия Каратеодори отображение ф суперпозиционно изме


римо, т. е.	всякая вектор-функция /-»-ф(<, x(t)) измерима на									Д,
если только	t^>-x{t) — измеримое отображение множества Д в									R'*.
Если отображение ф измеримо по ( и локально липшицево по х,
то, очевидно, для каждой			точки ((,j ) e F можно указать интер
вал Г, содержащий t и окрестность U точки						х таким		образом,		что
Т X V с V 1 отображение			ф удовлетворяет			условиям		Каратеодори
на Ту, U. Поэтому, если вектор-функция x(t)							непрерывна и ее гра
фик лежит в области V, то			вектор-функция /-■ ф(<, (/))						измерима.
Т е о р е м а		3 (локальная теорема		существования				и	непрерыв
ности). Пусть в области			V a R X	R"	определено			отбрскжение
ФН, х): V	Rn, измеримое по t и локально липшицево по х. Тогда
для всякой	точки (<0,х о )е		Г можно указать отрезок То, содержа
щий внутри себя t0, и окрестность Ua точки х0							такие, что: То X U0с
с : V и для	всякого z e U о на отрезке				То существует			ровно одно
решение xz(t) уравнения (1) с начальными							условиями		xt(to)— z.
При этом,	если	z е Vo и	Zh-+z при k-+oo,				то xzа (t)		- » хг	{t)

равномерно на Го.

Смотрите также файлы

Картирование шельфов сборник статей..pdf

Квитко, М. П. Кислородно-конвертерный процесс.pdf

КМА набирает высоту сборник статей, очерков об освоении Курской магнитной аномалии..pdf

Коган, З. А. Консервация и упаковка машиностроительной продукции.pdf

Козырев, А. П. Теория тепловых и гидродинамических процессов в атомных энергетических установках учеб. пособие.pdf

Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно