Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Роль субдиффереициалов в выпуклом анализе подобна роли про­

изводных в классическом анализе. Если функция f дифференцируема

по Гато

в некоторой точке, то легко показать (и это будет показано

в гл. 4),

что ее субдифференциал в этой точке содержит единствен­

<5II х Л— { x * g

X* |!|х’ ||= 1, (х*. х) = |х ||}.

Действительно,

если

(х\ х) =

||х||, ||х*||=1,

то

||г||^

^ (х*, г) для всякого

z <= X и,

значит,

II 2 II — ||Х||>(Х*, 2 — X),

т. е. х*ед||х||. Наоборот, если х*еЗ||х||, то

— IIJcII =

110II — ||х||Хх*,-0— .х> =

— (х\ х),

IIх||=

||2хII — ||х||Хх‘ , 2х — х} — (х*, х>,

откуда ||х||= (х*, х)

ц для

всяких

г е 1 ,

Я >

0

|Яг +

х||-||х||>(х*, Яг),

т. е.

2 +

I — ^ II х | (х , г ),

откуда при Я -> оо

следует,

что

II2 1|^

(х* г)

для всех 2 е Х ,

т .

е.

||х*||< 1 .

Но поскольку

{х*,х) =

— ||х||, необходимо,

чтобы ||х*|| =

Е

Субдифференциал индикаторной функции 6(х|Л) не

пуст в любой

точке

х е ф

ибо,

если

х е Л ,

то 0 е

ед 6 (х | Л ). Вообще же по определению

<56(х|Л) =

(х * е = Г | ( х \ г - х ) < 0 ,

У г е Л ) .

$ 0.3. ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

59

сом множества А в точке х

и обозначается N(x\A).

В частности, если А — L есть подпространство, то

d6(x\L) = N(x\L) =

Lt .

Субдифференциал функции (X =

R)

—

I — х2,

если

|х | 1,

/(*) =

оо,

если

|*|>1,

в точке х — 1 пуст. Однако,

если функция f непрерывна в точке х,

то ее субдифференциал в этой точке не пуст

(см. § 4.2).

x - * f ( x , у) и y - + f ( x , y ) .

и f2—

0.3.3. Теорема М оро— Рокафеллара. Пусть f i

выпуклые собственные функции на X. Тогда

д (fi + /2) (х) df{ (х) + <Э/2 (х).

(1)

д (f1 +

/2) (х) =

dh (х) + df2 (х)

(2)

для всех х.

что

d/Дх) и df2(x) суть множества в X*

Напомним,

и выражение

dfi (х) -)- df2(х)

означает алгебраическую

мы двух дифференцируемых функций.

(1) сразу

следует

Д о к а з а т е л ь с т в о . Включение

из определения субдифференциала.

Докажем

второе

суммы x* = xj + x*, где x , e d f , ( x ) ,

x'2^ d f 2(x).

Допустим для определенности, что функция Д непре­

рывна в точке х0, принадлежащей

dom /2. Тогда внут­

ренность множества e p i / i c R X ^ ,

очевидно, не пуста.

(В самом деле, по заданному е > 0

мы можем выбрать

60

0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

такую

окрестность U точки х0,

что

|/i(z) — fi(x0) |< е

для всякого z ^ U . Но тогда множество

{(a, z ) e R X I | c i > ) :i (£о) +

в, z е= U}

открыто и содержится в epi/i.)

Рассмотрим в R X ^

два множества (рис. 1)

С,

={{ а, z ) € E R X X [ a ^ f l (x + z ) - f l (*)},

Поэтому С] выпукло и int Ci = 0 .

Выпуклость второго

множества тоже непосредственно

следует из выпукло­

сти функции /2- Наконец,

множества

Ci

и

С2

не

пересекаются,

ибо

ина­

че в некоторой точке z

выполнялось бы неравен­

ство

(х\ z) — f2(x + z) +

+ f2 ( x ) > f i ( * + z ) — fi (х),

противоречащее

предпо­

Рис.

1.

ложению

о

том,

что

По теореме

отделимости

х* <=d(/i +

/2) (*)•

можно

множества С, и

С2

налом,

т. е. существуют такие р е

R и

е

X*, что либо

Р=Х=0,

либо х\ ф 0 и

sup

(Ра +

(х\, z}) <

inf

(ра +

(х*, z)).

(3)

( a .z ) e C i

(a, z)(=C 2

Очевидно, P ^

0, так как при p >

0 верхняя грань в (3)

равнялась бы

+ ° о ,

а нижняя грань равнялась бы — оо.

Кроме того, р ф 0,

ибо при р = 0

неравенство (3)

при­

нимает вид

sup

(xl, z) ^

inf

(*ь

г).

zsdomft—х

zedomfj-*