Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 154
Скачиваний: 0
Г л а в а 2
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА В ЗАДАЧАХ КЛАССИЧЕСКОГО ВАРИАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ И ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
В §§ 2.3, 2.5 с использованием теорем |
1 и 3 |
из гл. 1 |
дается |
вывод уравнений Эйлера — Лагранжа для |
задачи |
Лагранжа |
клас |
сического вариационного исчисления и принципа максимума Понтрягина для задач оптимального управления; § 2.2 и п. 2.4.2 посвя щены независимому от гл. 1 элементарному выводу важнейших необходимых условий минимума для простейших классов задач вариационного исчисления и оптимального управления.
§2.1. Постановки задач
2.1.1.Функционалы, ограничения, граничные усло вия. Мы будем рассматривать лишь одномерные задачи, когда независимое переменное t, называемое иногда
временем, |
принадлежит |
некоторому отрезку [^0, Ы. |
|||
— оо ^ t0 < |
t\ ^ |
оо. В задачах, с которыми |
приходится |
||
иметь дело, как правило, участвуют две группы перемен |
|||||
ных: х = (х1, ..., |
хп) и и = (и1, ..., |
иг). Переменные х |
|||
называются |
фазовыми, переменные |
и — управлениями. |
|||
В задачах, |
относящихся |
к классическому |
вариацион |
||
ному исчислению или оптимальному управлению, при |
|
|
сутствуют три элемента: функционал, ограничения на |
|
|
фазовые координаты и управления и граничные условия, |
|
|
накладываемые на фазовые координаты на концах рас |
|
|
сматриваемого в задаче отрезка времени. На самом |
|
|
деле не всегда разумно устанавливать разделение на |
|
|
ограничения и граничные условия, но в большом числе |
|
|
случаев это разделение выглядит естественно и оказы |
|
|
вается удобным. |
трех видов. Интеграль |
|
Функционалы встречаются |
|
|
ные функционалы имеют такую форму: |
|
|
Vx (*< •),«(•))J=fit, |
x(t), x(t), u{t))dt, |
(1 |
*0 |
|
|
102 |
ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ |
|
где |
f: R X R" X R'1X Rr—> R; функция f |
называется |
интегрантом. |
|
|
|
Функционалы, зависящие от конечных значений фа |
|
зовых координат, т. е. функционалы вида |
|
|
|
У 2 (х (•)) = ф (/с. х (t0), tu х (/,)), |
(2) |
где ф: R X Rn X R X Rrt -> R, называются терминальными.
Наконец, встречаются функционалы смешанного вида
З'з(*(•). и(-)) = 5гЛх(-), М - )) + З Д ( - ) ) , (3)
где 3\ — интегральное, а — терминальное слагаемое. Ограничения, с которыми мы столкнемся, будут дво якого рода. Это — либо функциональные соотношения,
выражаемые равенствами и неравенствами:
G, (/, х (t), х (0, и (0) = 0,1
G2(t, x(t), x(t), u (t))^ 0 , J |
( ) |
где Gp R X ^ 'X ^ X R " -> R ft', t == 1> 2, либо нефунк циональные соотношения, например:
u(t)< =U czR r, |
yt |
Л c: [f,, |
t2]. |
(5) |
|
Функциональные |
ограничения |
вида (4), |
не зависящие |
||
от производных и управлений, т. е. соотношения |
|
||||
g l(t,x(t)) = 0, |
g2(t .x (t))< 0 , |
(6) |
|||
будем называть фазовыми ограничениями. |
|
||||
Ограничения типа |
|
|
|
(7) |
|
|
x(t) = q>(t, |
x(t), u(t)), |
|
||
где qp: R X R™X |
Rr -* R", |
называются |
ограничениями |
||
в разрешенной форме. |
|
|
|
|
|
Уравнением (7) описываются многие управляемые |
|||||
объекты. Отсюда |
и названия — фазовые |
координаты и |
|||
управления. Если |
управление |
задано, то уравнение |
(7) |
||
становится обыкновенным дифференциальным уравне нием относительно х. Всякое его решение, соответствую щее управлению «(■ ), называется фазовой траекторией, а пара (х(-), и( - )), связанная уравнением (7), назы вается управляемым процессом.
Граничные условия задаются выделением в прост ранстве R X Rn X R X Rn некоторого множества Г, ко
§ 2.1. ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ |
103 |
торому должны принадлежать концы траектории, т. е.
точка (t0,x (to ),ti,x {ti)). Часто встречаются такие |
гра |
ничные условия: |
за |
— закрепленные, когда значения траектории |
креплены на обоих концах отрезка [/0, Ч] (при этом сам отрезок предполагается фиксированным): x{to) — Xo, X(ti)=Xy,
— свободный правый или левый конец, когда соот ветствующий конец отрезка |7о, Ч] предполагается фик сированным, но на нем условия на фазовую траекто рию отсутствуют;
— периодические, когда отрезок [/0, Ч] фиксирован и фазовая траектория принимает равные значения на концах: x (to )= x(h).
2.1.2.Задачи классического вариационного исчисле
ния и оптимального управления. |
Общая постановка: |
|||
У(х(-), |
« ( - ) ) —> inf (sup); |
(8) |
||
G, (t, x (t), x (0, и (t)) = |
0, |
G2 (t, x (t), x (t), и (0) ^ 0, |
(9) |
|
u{t)ezU(t), |
|
(10) |
||
(*o. x (tb)> |
ti, x(ti)) |
e= Г |
(11) |
|
охватывает большинство задач оптимального управле ния и вариационного исчисления. (Отрезок [/0, Ы не пред полагается закрепленным. Если же он фиксируется, то соответствующую задачу называют задачей с закреплен ным временем.)
Если функционал (8) является интегральным, задача '(8) — (11) называется задачей Лагранжа-, если функцио нал — терминальный, то она называется задачей Майе ра и, наконец, если функционал — смешанный, то соот ветствующая задача называется задачей Больца.
Все три постановки являются в значительной мере равносиль ными. Если, например, задан интегральный функционал, то, введя новую координату хп+1 и пополнив систему (9) уравнением
хп+1— / = |
0 |
с граничным условием * п+1( / о ) = 0 , |
мы задачу о минимизации |
функционала |
|
9 1= | felt
Н
104 |
|
ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ |
1 |
|||
сведем к минимизации терминального функционала |
|
|||||
|
|
Z 2 = |
xn + l(t,). |
|
|
|
Наоборот, |
если требуется |
минимизировать |
терминальный функ |
|||
ционал Э г |
= |
ф(А, x(U)), скажем, |
при фиксированных значениях |
|||
to и x(tо) |
(тогда без ограничения |
общности |
можно считать, что |
|||
фНо, x(to)) = |
0), то, предполагая, что функция |
ф |
дифференцируе |
|||
ма, можно положить |
|
|
|
|
||
и мы получим, что
^2 = ф (<1, *(/,))
Особенности задач классического вариационного ис числения состоят в следующем. Во-первых, в задачах классического вариационного исчисления все функции, входящие в описание задачи, предполагаются гладкими,
по меньшей мере — непрерывно дифференцируемыми.
С другой стороны, там отсутствуют нефункциональные ограничения вида (10). (Эти обстоятельства позволяют относить задачи вариационного исчисления к числу гладких задач, о которых речь шла в п. 1.1.1.) В зада чах же оптимального управления нефункциональные ограничения играют весьма существенную роль. Само по себе множество U(t), задающее ограничение (10), может иметь самую разнообразную природу, например, оно может быть дискретным множеством. Это делает не естественным рассмотрение в задачах оптимального управления гладких и даже непрерывных управлений,
авместе с этим и допущение о гладкости отображений G\, G2 в (9) и т. д. по управлениям и. Так что стандарт ные допущения в задачах вариационного исчисления —
непрерывная дифференцируемость по всем переменным,
ав. задачах оптимального управления— непрерывность по совокупности переменных и гладкость по перемен ным t u x . Задачи оптимального управления будут реду цированы к гладко-выпуклым задачам, о которых речь
шла в п. 1.1.3.
Приведем несколько примеров частных задач, ук ладывающихся в общую схему.