Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 190

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 3 3. СОПРЯЖЕННЫЕ ФУНКЦИИ

187

либо неравенство

/ < г

Идею дальнейшего доказательства и его основные

этапы

иллюстрирует рис.

12.

Допустим, что / ” (х0) <

< / (дс0)

 

в

некоторой

точке

 

x0edom f**.

Тогда

epif

как

 

непустое выпуклое и замкну­

 

тое множество

можно

сильно

 

отделить

от

точки

( f * (х0), х0)

 

ненулевым линейным функцио­

 

налом

(р,

у*) e

R X

X',

т.

е.

 

P f’ (х0) +

(у . ха) >

sup {

+

 

 

+ < /,

«/)l(a. */ )eepi/ } .

(2)

 

Тогда

р < 0 ,

так

как

иначе

 

верхняя грань справа равня­

 

лась бы

+ оо. Если р =

0,

то,

 

выбрав у] е

dom f

(dom f

Ф 0

в силу предложения 3),

получим для / > О

 

 

 

 

Г (У\ +

ty') =

sup

- f ty\

ty) — f(y)\y<= dom /} <

 

 

<

sup «г/;, y) — f{y)\y<= dom/} +

 

 

+ *sup {{y\ y)\yez dom f] =

= r(yl) + t sup {(y\ y) |у e= dom/},

и согласно (2)

/■'h ) > ( я \ + н / , х , } - r (»;+ t , / ) > ( y \ , x,) - r w +

+ *[<«/’ . *0) — sup {(г/*, у) \y <= d om /}]-* oo

при t —* oo, t . e. ATo^dom /**, вопреки предположению. Таким образом, случай р = 0 тоже исключается.

Остается случай р < 0. Поделив обе части неравен­ ства (2) на |р| и полагая х* = |p|~V, получим

<**. хо) — Г (х0) > sup {<*•, у) — а |(а, у) е= epi /} = /* (**),

т, е. гиперплоскость а = {х\ x ) — f'(x*) проходит выше точки (/“ (*0), л'о):

)>Г(*о) + Г(х')

188ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА

впротиворечии с неравенством Юнга — Фенхеля. Тео­ рема доказана.

Из теоремы сразу следует «двойственное» описание собственных замкнутых выпуклых функций.

Сл е д с т в и е 1. Всякая собственная выпуклая зам­ кнутая функция на X совпадает с верхней гранью се­ мейства всех не превосходящих ее непрерывных аффин­

ных функций.

По

теореме

Фенхеля — Моро

Д о к а з а т е л ь с т в о .

f(x) есть верхняя грань

семейства

аффинных функ­

ций вида

 

(x 'e d o m /* )

х —>(х*,х) — f* (Х1

и, тем более, всех не превосходящих ее непрерывных

аффинных функций.

 

____

 

 

 

С л е д с т в и е

2.

Если conv/ — собственная

функ­

ция,

то

 

 

 

____

 

 

 

 

 

 

 

/** = conv /.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Надграфик

epi/**— выпуклое

замкнутое

множество,

содержащее

ерi /

(поскольку

 

 

Поэтому

epi / cz conv(epi f) cz epi /**.

Это

зна­

чит,

что /

conv/ ^

/**. Из левого неравенства следует,

что

/* sg: (conv/)*

и,

следовательно,

/** ^ (conv/)** =

= conv/,

поскольку

 

conv/ — выпуклая

замкнутая

функция.

 

 

 

 

 

 

 

§ 3.4. Теоремы двойственности

Теоремы двойственности показывают, как связаны преобразования Юнга — Фенхеля функций, получаю­ щихся в результате тех или иных операций, с преобра­ зованиями Юнга — Фенхеля исходных функций. Ока­ зывается, что операции, описанные в п. 3.2.2, распа­ даются на пары двойственных операций.

Приведем сначала формулировки всех теорем двой­ ственности, а затем перейдем к доказательствам.

Т е о р е м а

1.

Пусть / ь

... ,

/„ — функции на X.

Тогда

 

 

 

 

(/,ф /2®

...

© /„ ) * = /;

+

/ ; + ••• + / ; ,

§

3.4. ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ

189

Если же fь ... ,

/ п — выпуклые собственные функции

и

их эффективные множества содержат общую точку, в которой все эти функции, за исключением, может быть, одной, непрерывны, то

(/1 +

/2 +

•••

+ f ny =

rl@ r2®

••• ®/*.

 

Более того, вэтом случае для всякого х '^ dom (/, +

.. .+/«)*

найдутся такие точки х* е

dom f],

i —

1.............

что

 

 

* * = * ; +

 

...

+

*;,

 

 

( / , +

••• +

ш

о =

а

д

+

••• + г п(хп)-

Т е о р е м а

2.

Пусть

........./„ — функции на X. Тогда

(conv (/,

л

f2 л . . .

л

/„))* = /;

V

fl V

• • • V

Гп,

(fi

v f2 v . . . v /„)*

<

conv (/;

л

л . . .

л

q .

Если же

fi, . . . .

fn— выпуклые

функции,

конечные на

всем пространстве X, и все они, за исключением, может

быть, одной, непрерывны, то

 

 

 

 

 

 

(f, V f2 V

• • • V /„ )’ =

c o n v (/;

Л

Г2 А . . .

А

/; ) .

Более того, в этом случае для всякого je 'e d o m

(f, V . . . V fnY

найдутся такие векторы х* е

d o m /*, j = 1,

. . . , п, и такие

неотрицательные числа ah

 

i =

1, . . . .

п,

сумма

которых

равна единице,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Л v . . .

 

*’ =

« ! < +

 

•••

+

<*„<,

 

 

 

V

fny (*•) =

а ,/; (*|) +

• • • + апГп«

) .

Т е о р е м а

3. Пусть Л: X —►F — линейный непрерыв­

ный оператор. Если

g — функция

на X и f — функция

на У, то

(Ag)* =

g*A’ ,

(/A )* < A * f.

 

 

 

 

 

 

 

 

Если же

f — выпуклая

функция,

непрерывная

в неко­

торой точке множества ImA, то

 

 

 

 

 

(fAy = A'f\

190

ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА

Более того, в этом случае для всякого х* е dom (/Л) * найдется такой вектор у* е У*, что

** = лу, (/л)*(х*)= ГУ).

Отметим, что в каждой из сформулированных тео­ рем первое утверждение носит безусловный характер, в то время как второе справедливо лишь при дополни­ тельных предположениях. Причина этого кроется в раз­ личной природе двойственных операций в каждой паре. Одна из них локальна (значение результирующей функ­ ции в каждой точке определяется только значениями исходных в соответствующей точке) и преобразует зам­ кнутые функции в замкнутые. Таковы сумма, верхняя грань и прообраз при линейном непрерывном отобра­ жении. Вторая операция нелокальна (значение резуль­ тирующей функции в- каждой точке зависит от всей совокупности значений исходных) и, вообще говоря, не сохраняет замкнутость.

Приведем примеры, показывающие, что условия, фигурирующие в заключительных частях теорем, существенны.

Пусть /1 и \г — функции на прямой, заданные равенствами

U(*) = IIх |— 1|, М = Ы •

Тогда

«<»>-{ 'Г»1-! »,

если |у I < 1,

если [ у |> 1;

если |г/1 -sST I,

если |у |> I;

{

1,

если

1x1^ 1,

o i l

,

L

,

 

2I х I —

1, если

|х I >

1;

(h + f2y (у) =

I*/1— 1.

если

Ы < 2 ,

оо, если |у |> 2.

 

 

 

С другой стороны,

 

 

У|< 1,

!

0,

если

Iу I—Уесли1<1 УК 2,

(

оо,

если

|у I > 2.

Таким образом, преобразование Юнга — Фенхеля суммы невыпуклых функций (функция fi не выпукла) может не совпадать с инфимальной конволюцией сопряженных функций, даже если исходные функ­ ции всюду непрерывны. Рассмотрим еще один пример, показываю-

Смотрите также файлы