Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

196

ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА

Пусть

КВ— выпуклый

конус, порожденный множеством

В. Тогда сот В а Кв-

Если

(1, х) е conv В,

то по тео­

реме

существует

г ^

п -f- 1 точек

(l,*i), ....

(1,хг) нз

В и г чисел ai >

0,

... ,

аг >

0 таких, что

(1, х) =

щ(1,

*,) +

. . .

+ а г(1, хг).

Но это равенство означает, что

«1 +

••• + «г = 1»

®1-^1 “Н•••“ЬЩХГ == X .

Теорема Каратеодорн доказана.

С л е д с т в и е

2.

Пусть

А — замкнутое

ограничен­

оболочка множества А замкнута, т. е.

conv Л =

conv Л.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

множество

S = { a =

(a,,

. . . .

а„+1)| а /> 0 ,

/ = 1 , . . . ,

п +

1, 2 а

г =

1) d R n+1

и отображение ф: Rn+lX

R't X

. . .

X

R” —^R".

которое

ft+I раз

каждому набору a =

(a,,

. . . .

a.1+1) e R n+1, xt <= R1*, ...

.... *n+le R '! ставит

в соответствие вектор

ф(а, х,.........*„+,) =

п+ 1

<=i «г*'-

е= R,

Г

х = 2 hXi, где

л, = 1.

i=i

i = \

§ 3.5. КОНЕЧНОМЕРНЫЙ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

197

ства А — х0,

где х0— произвольная

точка множества

А.

Действительно,

если

x = ^i Kixi,

xt е Л,

2 ^ i = l

и

х0е Л ,

то

точка

х — х0=

^ Я г(л;г— х0)

принадлежит

линейной оболочке

множества А — х0. Наоборот, если

х = 2 h

(*i — xQ),

где

xt е= А,

то

х + *0 = 2 h x t +

+ ( l — 2

А(-)х0 е

aff Л.

Если

А — выпуклое множество,

2

А Л =

о,

2 к

= о

1=1

1=1

следует, что Ai =

... = Хг — 0.

Приведенное

выше

рас­

суждение показывает, что точки xt, ... ,

хг аффинно не­

зависимы

тогда

и только

тогда, когда

векторы

Xk — xiy

k = 1, ...,

г, k ф i,

линейно

независимы для

всякого

фиксированного

номера

i, 1

sg: i

^ г.

Поэтому,

если

х и .. ., хт аффинно

независимы,

то

всякий

вектор

x e a f f { x b

... , хг}

единственным

образом

представ­

ляется как аффинная комбинация точек

... ,

хп т. е.

сами точки х и ... , Xk+\ — его вершинами.

сим­

П р е д л о ж е н и е

1.

Пусть

S

есть п-мерный

плекс в R". Тогда intS Ф 0 .

ограничения

общности

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Без

можно считать, что Х\ +

... + xn+i =

0 (где Х\.........хп—

вершины

симплекса 5 ). Пусть

x e R n, х ф 0,

и

А|, ...

. . .. Хп+ 1

— барицентрические координаты точки

х.

По­

ложим А, = max {| Ai |,

... ,

|A„+i|}.

Предположим,

что

1/е >

(/г + .1)Л -f- 1. Тогда

1 >

е >

0 и

п+ 1

п+I

е х =

(1 — е) •0 +

е х =

+

в*,,) Х{ = ^ щ х { е= S,

i=i

i=i

так как

+ . . .

+ а„+1= 1

и аг > 0

в силу выбора е.

Отсюда следует, что, если

{еь ... ,

е„} — стандартный

базис в R", то найдется такое

е > 0 ,

что

для

всех /

=

1, ....

п.

Поэтому и

conv {± ее/ \ j=

1......... n } c : S .

Но множество

conv {+ ее ; |/ =

1,

п] содержит

шар

радиуса

п г—

Предложение доказано.

е/ \ п .

Пусть A cz Rn.

Внутренность

множества А относи­

тельно

aff Л называется

относительной внутренностью

множества А и обозначается

пЛ.

Точки множества

ri А

Т е о р е м а

2. Пусть A a

R" — выпуклое множество.

Тогда ri А Ф 0

и aff (ri А) =

aff А.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим сначала, что

речии с предположением.

Итак, т = я + 1 , и в

силу

предложения 1 симплекс

5 с вершинами х и ... ,

хп+1

случае, когда dim Л = п.

без

ограничения общности

Пусть d im /l< ;« .

Тогда

можно считать, что

0 е Л ,

т.

е. aff Л есть

подпростран­

ство размерности г,

которое

мы

можем

отождествить

§ 3.5. КОНЕЧНОМЕРНЫЙ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

199

во

всякой точке x e r i ( d o m f )

и

f* — собственная

функция.

Пусть

dim(dom /) = k.

Выбе­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

рем

в ri(dom /) некоторый

/г-мерный

симплекс S

с вер­

шинами х\, ... , Xft+j. Тогда в силу выпуклости

функ­

ции / для всякой точки г е 5

справедливо неравенство

/(х )< ш а х {/(*,),

. . . ,

f(x k+,)}.

Если {(х о) = — оо

в некоторой

точке х0 и Х\ е ri (dom /),

то при некотором

е > 0

точка

хч =

Х\ + e(xt — х0) со­

держится в domf (так

как

х0е

dom f с= aff (dom f) ),

Тогда для всякого a e R

точка

(conv /) {х) = inf

a j (Xj) xt <= R",