Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 119

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 0

1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

25

• С л е д с т в и е

2. Пусть L — замкнутое подпростран­

ство отделимого локально выпуклого линейного тополо­ гического пространства X. Тогда аннулятор подпро­ странства L содержит ненулевой элемент.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть х ф. L. Возьмем в ка­ честве множества А выпуклую окрестность точки х, не пересекающуюся с L, и применим теорему к А и L.

Если X — нормированное

пространство, то, выбирая

в качестве А шар

радиуса ||x|| с центром в точке х, по­

лучим из следствия

1

X — линейное

нормирован­

С л е д с т в и е

3.

Пусть

ное пространство. Тогда для

всякого

j ( e l ,

х ф 0 най­

дется функционал х* е X* такой, что

 

 

( х*,

х) = \\х||,

|х* |=

1.

 

Часто теореме Хана — Банаха придают форму тео­ ремы отделимости, во многих случаях более удобную для применений. Скажем, что линейный непрерывный функционал х* разделяет множества А и В, если для всех X G /4, у ^ В справедливо неравенство

(х\ х) < (х\ у).

 

Т е о р е м а о т д е л и м о с т и . Пусть

А и В — вы­

пуклые непересекающиеся множества в

линейном то­

пологическом пространстве X. Предположим, что int А ф 0 . Тогда на X существует ненулевой непрерыв­ ный линейный функционал х*, разделяющий множества А и В.

В § 3.1 мы вернемся к теоремам отделимости.

 

Л е м м а

о

б и о р т о г о н а л ь н о м

б а з и с е .

Пусть

X — отделимое

локально

выпуклое линейное

то­

пологическое

пространство

и

{хи . .. , хп} — конечный

набор линейно независимых элементов пространства X.

Тогда существуют такие элементы х X ' ,

г —

1, .

. п,

что (х'}, хг) =

6(.у,

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

1,

если

i — j,

 

 

 

 

 

 

^

I

0,

если

i ф /.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Обозначим

через

L,-

ли­

нейную

оболочку

векторов

Х\.........*,•_ь

дс4+ь .. ..

хп.

26 0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Подпространство Li конечномерно и, значит, замкнуто (поскольку X отделимо). Коль скоро векторы Х\, . . . , хп линейно независимы, Х{ ф Lt. Поэтому существует функционал у] <= X* такой, что (г/’ , хф Ф 0 и (г/*, xf) = 0

при j ф I. Положим х\ — (г/*, хф~1у]. Функционалы

х], . . . , х* — искомые.

0.1.4.Теорема Банаха об открытом отображении и обратном операторе. Пусть X и Y — банаховы простран­

ства и Л: X —* У — линейный непрерывный

оператор,

множество значений которого есть все Y, т. е.

1 тЛ = У .

Тогда образ всякого открытого подмножества простран­ ства X открыт в Y. В частности, если в дополнение к сформулированным условиям оператор А взаимно од­ нозначен, т. е. если К е г Л = {0}, то А — линейный гомео­ морфизм.

Мы будем пользоваться не столько этой теоремой, сколько следствиями из нее, которые сейчас докажем.

Л е м м а

о т р о й к е .

Пусть X,

Y и Z — банаховы

пространства

и A: X - * Y ,

М: X - + Z — линейные непре­

рывные операторы такие,

что 1тЛ =

У и КегЛсдКегМ .

Тогда существует такой линейный непрерывный опера­

тор N: У-*Z , что М = N °Л.

 

то и

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если Ах\ = Лх2 — у,

Мм = Мм, поскольку по

условию

Кег Л с Ker М.

По­

этому для всякого у е У

множество М(Л-1 (г/)) содер­

жит ровно один элемент.

Положим Nt/ = М(Л_1(г/)).

Линейность отображения N и равенство N °A = M оче­

видны. Наконец,

если U — открытое

подмножество

про­

странства Z, то

множество М~l(U)

открыто в X

из-за

непрерывности оператора М, а по теореме об открытом отображении и множество Л(М~’ (Д )) = 1Ч-1(Д) открыто

вУ. Поэтому оператор N непрерывен. Лемма доказана. Напомним, что если X и У— локально выпуклые

линейные топологические пространства и Л: X —> У— линейный непрерывный оператор, то сопряженный опе­ ратор Л*: Y*->X* определяется равенством (А*у*,х) =

— {у*. Ах) для всех у* е У * , х е

X.

Л е м м а о б

а н н у л я т о р е .

Пусть X и У — бана­

ховы пространства и А: X -> У — линейный непрерывный

оператор такой,

что 1 т Л = У. Тогда

(Кег Л)1 = 1 т Л*

§ 0.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

27

(г. е. аннулятор ядра равен множеству значений сопря­

женного оператора).

Если

д:* е

1ш А*, т. е.

если

Д о к а з а т е л ь с т в о .

х* = А*у* при некотором

у* е

У*, то

для любого

х е

еКегЛ справедливо равенство

{х\ х) = ( А’у*, х) = {у\ Ах) = 0,

откуда

следует, что

х* <= (Кег Л)х.

 

Пусть, наоборот,

х * е (КегЛ)1,

тогда

 

 

К е г Л с {х е 1 | (х * , х) = 0} = Кегх\

Мы

можем рассматривать

х* как

линейный оператор

из X

в

R. Тогда для Л: X

—►У и х*: X -> R выполнены

все условия леммы о тройке. Поэтому существует та­

кой линейный непрерывный

функционал

у* е

У*, что

{у*,Ах) — (х*,х)

для всякого

х.

Это значит,

что

х* —

=

А*у*, т. е. х* е

1шЛ*. Лемма доказана.

 

 

 

непре­

 

С л е д с т в и е .

Пусть

х\, . . . ,

х * — линейные

рывные функционалы на банаховом пространстве X. По­

ложим

 

X |(xj,

х) =

0,

i =

1, . . . ,

п].

 

.

 

L — [х е

 

 

Тогда аннулятор подпространства L совпадает с ли­

нейной оболочкой точек х], . . . .

х*.

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Без

 

ограничения

общности

можно считать, что функционалы

Xj , . . . ,

х’

 

линейно

независимы. Рассмотрим

оператор A: X —* Rn, ставящий

в

соответствие

каждому г е Х

вектор

Ах,

равный

((xj, х), . . . ,

(х*п, х}), и применим лемму.

 

 

 

 

 

Отметим,

что последнее предложение верно для про­

извольных отделимых локально выпуклых пространств.

0.1.5. Некоторые конкретные пространства.

1. П р о ­

с т р а н с т в о Сп(Т). Пусть Т — компактное

хаусдор-

фово пространство. Через Сп(Т) обозначается

банахово

пространство непрерывных отображений (вектор-функ­ ций) из Т в R" с нормой*)

||*(-)II = IU( *) Нс = maxi х (/) |.

( е Г

V»

*) Напомним, что \х\ —

28

0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Нормированная топология пространства Сп(Т) назы­ вается топологией равномерной сходимости.

Т е о р е м а Р и с е а. Всякий линейный непрерывный функционал х* на пространстве С( Т) — 0 ( Т ) можно единственным образом представить в виде

(х\ * ( • ) > = / х (t)dy,

т

где р — регулярная борелевская мера на Т. При этом

11*1= J rf! I* 1= 11* 1(7'),

г

где |р I = р+ + рг, а р+ и р - — положительная и отри­ цательная составляющие меры р.

Напомним, что подмножество А компактного хаусдорфова про­ странства Т называется борелевским, если оно получается из от­ крытых множеств с помощью не более чем счетного числа опера­ ций объединения, пересечения и перехода к дополнению. Совокуп­ ность всех борелевских подмножеств пространства Т обозначается 8Э(Г). Множество 38(7") содержит дополнения и счетные объеди­ нения и пересечения своих элементов. Действительная функция р(Л), определенная на 83(7"), называется борелевской мерой на Т,

если она

о-аддитивна, т. е.

если из Л . е Ш( Г ) , t = 1, 2,

Ai(]Aj = 0

при i ф j следует,

что

Р ( и лг) =

1=1

р (л;)-

\(=1 /

 

Если р — борелевская мера на Т,

то функции

р+ (А) = sup {р (В) |В с= A. B sS 8 (T )},

р- (Л) = - inf {р (В) |В а А, В е S3 (Г)}

называются положительной и отрицательной составляющими •ме­ ры р. Эти функции тоже являются борелевскими мерами на Т. При этом р = р+ — р~. Положительная борелевская мера |р| = р+ + р~

называется полной вариацией меры р.

Борелевская мера р назы­

вается регулярной, если для всякого

Л е Ш ( Г )

и всякого е >

0

можно указать такое замкнутое множество

В с

А

и такое

от­

крытое множество С тэ А, что |р |(Л \

В) < е,

|р |(С \

Л) < е.

не­

Пусть

р — борелевская мера на Т и а ( / ) — действительная

прерывная функция на Т. Тогда предел

 

 

 

 

 

 

ОО

 

 

 

 

 

Иш

Аер ({t Г |fce<a (<)<(* + О 8}) = j

a (/) dp

 

е-+0 ,

^ оо

 

 

т

 

 

существует и называется интегралом по мере р от функции a (0 « i

§ 0.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

29

Подобным образом описывается сопряженное с про­ странством Сп(Т): всякий линейный функционал на 0 (7 ') единственным образом представляется в виде

 

П

 

{х\ х (• )} = YJ J х1(0 dpi,

 

<=I Г

где pi,

pn — регулярные борелевские меры на Г;

при этом

 

В случае, когда Т — [70, i\], — 00 < < ti < °°. теореме Рисса можно придать такой вид. Именно, всякий линейный непрерывный функционал х* на пространстве

С” ([/0, 7i]) можно единственным

образом представить в

виде

п f,

 

(**, X( •)> = (а 1ж (*„)) +

J х1(t) <7рг (t),

 

(=1 it

где a e R '1, а р, (/), . . . , р„(7)— функции ограниченной вариации, непрерывные справа и обращающиеся в нуль

вточке t0. (Можно записать по-другому:

пf,

 

 

 

(х\ х (

•)) = > ]

j ^ ( 0 ^ ( 0 ,

 

 

 

 

 

г=1 /,

 

 

где

рt (t) — функции

ограниченной вариации, непрерыв­

ные

справа,

всюду

за исключением, быть

может, точ­

ки t0.)

При этом

 

 

 

 

 

 

 

IU*ll = |a| + (||llP /(- )p )/l

 

[соответственно |я* II = ^ 2 I

(* )

fJ J, где

через |р,- (•) |

обозначена полная вариация функции р,-(0-

2.

П р о с т р а н с т в о

C%([tQ,ti\). Это пространство

образовано

пг раз

непрерывно

дифференцируемыми

Смотрите также файлы