Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 123
Скачиваний: 0
30 |
0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ |
|||
отображениями отрезка |70, t{\ |
в R". |
Норма в простран |
||
стве |
Cm задается |
равенством |
|
|
|
II л: (• )II = |
IU( •) |„ = |
max |
| (•) |„. |
|
|
ьт |
|
° |
Покажем, что всякий линейный непрерывный функ ционал х* на пространстве С"([^0, ^i]) можно единствен
ным образом |
представить в виде |
П t! |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
{х,, х ( - ) ) |
= |
(а\х (/0)) + |
(61 X (to)) + |
У] J X1(/) dpt (t), |
||
|
|
|
|
|
i=1Ц |
|
где й е Rn, |
|
|
Rn, a |
•••, рn(t) — функции огра |
||
ниченной вариации, непрерывные справа. |
|
|||||
В самом деле, рассмотрим отображение |
d: С \->Сп, |
|||||
ставящее |
в |
|
соответствие каждой вектор-функции |
|||
x( - ) <=C" |
ее |
производную |
Ясно, |
что опера |
||
тор d линеен и непрерывен, а множество его значений совпадает со всем пространством С" (Im d — Cn), т. е. он удовлетворяет условиям леммы об аннуляторе. На конец, ядро оператора d совпадает со множеством тож
дественно постоянных вектор-функций. Пусть х* е (С”)\ Обозначим через а* значение функционала х* на век тор-функции, i-я компонента которой тождественно рав на единице, а остальные тождественно равны нулю. Рассмотрим функционал х*, определенный формулой
|
« . |
*(•)> = <*’ . *(•)> — (а|*(*0)), |
||
где а — (а1г . . . , |
ап). Очевидно, х\ е (K.er d)L. По лемме |
|||
об аннуляторе существует |
функционал у* е (Сп)* такой, |
|||
что x* = |
d*y*, т. е. |
такой, |
что для всех х ( - ) е С " спра |
|
ведливо |
равенство |
|
|
|
|
|
<*;, |
х ( •)) = < /. *(•)>. |
|
из которого в силу |
теоремы Рисса следует существо |
|||
вание вектора |
b е |
R" и непрерывных справа функций |
||
ограниченной вариации pt (t), . . . , |
p„(/) |
таких, что |
п |
Ц |
(0dPi (О, |
[х\, X(•)>■- (МX(д)+ 2 J |
||
§ 0.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ |
31 |
откуда
п t,
<**, *(• )> = (а \х (t0)) + (Ь |к (Q) + ]£ |
J хг W ^ |
W- |
|
|
i = i |
t„ |
|
Единственность этого представления проверяется не |
|||
посредственно. |
|
|
|
3. |
П р о с т р а н с т в а L" ([г'о, fi]). При 1 ^ |
р < оо сим |
|
волом Lp([t0,ti]) обозначается банахово пространство измеримых по Лебегу отображений отрезка [f0>^i] в R", для которых интеграл
J |х (t) f dt
*0
конечен. Норма в пространстве Lp([to, ^i]) задается ра
венством
, и
11*(-)11 = 11*(-)Нр = М \x(t)fdt
|
\*0 |
|
Через Llo ([/0, |
Л]) обозначается банахово |
простран |
ство измеримых |
отображений отрезка [/0, *i] |
в R", огра |
ниченных на некотором множестве полной меры. Норма
в пространстве |
L£,(|^o, |
^i]) задается равенством |
|
II х (•) |= |
|* (•) L = sup vrai |х (t) I, |
||
где |
|
|
f0<f ^ t\ |
|
|
|
|
sup vrai a (t) = |
inf { |
sup |
p (t) |p (t) — a (t) почти всюду}. |
В дальнейшем мы вместо supvraia(f) пишем обычно
просто |
sup ос (f). |
|
При 1 ^ р < о о пространство, сопряженное с Lnp([to, / 1]), |
||
отождествимо с |
LP'([to, t\\), где 1 /р + 1 /р '= 1 ; иначе |
|
говоря, |
всякий |
линейный непрерывный функционал х* |
на пространстве Lp единственным образом можно пред
ставить в виде
11
(**» X ( •)) = J (у (t)\x (t)) dt,
h
32 |
0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ |
|
|||
где у (•) е LnP'. |
При этом |
|
|
|
|
|
|
И *1=НЫ -)11Р~ |
|
|
|
При |
р — 2 |
пространство L2([/0, М ) |
превращается |
||
в гильбертово пространство, если задать скалярное про |
|||||
изведение следующим образом: |
|
|
|
||
|
( * ( • ) ! * / ( • ) ) = { ( * |
(01*/(О)**'- |
|
|
|
4. |
П р о с т р а н с т в а |
Wp,m([to, |
0])- |
Символом |
|
Wp, m([to, 0]) обозначается банахово пространство абсо лютно непрерывных вместе со своими производными до порядка m — 1 включительно отображений отрезка [70, /,]
вRre, m-я производная которых принадлежит Lnp. Норма
вW'p, m может быть задана многими эквивалентными способами. Например,
771—I
11*(-)И=2 l*(i,(/o)l + ll*(m,(-)IU
i=0
или
m
ll*(-)ll= Sll*U)(-)llp.
1=0
Всякий линейный непрерывный функционал х* на
пространстве Wp, m{[to, / 1]) ( 1 ^ р < <х>) можно единствен' ным образом представить в виде
771—I
<**. *(•)>=S |
lxii) |
+ 5 {у {t) {x{m) {t)) dt> |
|
i=0 |
|
U |
|
где a je R " , . . . , am-\ e |
R", a y ( •) e |
(1/p + l/p'~l) . |
|
Доказательство этого факта строится по той жа |
|||
схеме, что и для функционалов на С". |
|
||
При р = 2 пространство |
W2 . m([Аь 0]) превращается |
||
в гильбертово пространство, если задать скалярное про* изведение следующим образом:
m—1 |
<i |
(*(■), 0 (•)) = X {Х{1)^ 1yW |
+ { (ХШ{t) 1У(т) W) |
* i= 0 |
U |
§ 0.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
33 |
Подобным же образом можно ввести пространства Ст{Т), Lp{T), Wp,m(T), где Т —- ограниченная (в случае
пространства Cm— замкнутая) область в /г-мерном ли нейном пространстве.
"§ 0.2. Дифференциальное |
исчисление |
0.2.1. Первая вариация и производные Гато и Фреше. |
|
Пусть X и Y — линейные |
топологические пространства, |
U — окрестность точки j e |
l и F: U -*Y . Допустим, что |
для любого вектора h ^ X |
существует предел |
lim Г 1(F (х + th) — F (х)) = бF (х, /г).
о
Тогда отображение h-*-8F(x,h) называется первой ва риацией отображения F в точке х. Если первая вариа ция— линейное непрерывное отображение, т. е. если су ществует линейный непрерывный оператор А: Х - * У та кой, что Ah = bF(x,h), то оператор А называется произ водной, или дифференциалом Гато отображения F в точ ке х и обозначается F'T{x) или просто F'(x), если это
не вызывает недоразумений. Про само отображение F в этом случае говорят, что оно дифференцируемо по Гато в точке х. Другими словами, отображение F диф ференцируемо по Гато в точке х в том и только том слу чае, когда существует линейный непрерывный оператор A: X —* Y такой, что для всякого / t e X :
F (х + th) — F (х) + tAh + o (t).
Пусть X и Y — банаховы пространства и F — отобра жение окрестности U точки х е ! в Y. Говорят, что ото бражение F дифференцируемо по Фреше, или сильно дифференцируемо в точке х, если существует такой ли нейный непрерывный оператор A: X —*Y, что
F(x + h) = F ( x ) + A h + r(h),
где
|г (h) llr •|h ||j‘ -> 0 при II h |х -> 0.
Сам оператор А называется при этом производной, или
дифференциалом Фреше отображения F ^ точке х и
2 А. Д . Иоффе, В. М. Тихомиров