Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 209
Скачиваний: 0
|
§ 4.5. СУБДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ |
229 |
||
но, но не превосходит по модулю единицы при х ( - ) = |
0. |
|||
Таким образом, если х( •) Ф 0, то |
|
|
||
д||*(011. = Ы - ) е = С | | | у ( . ) | | » = 1 , |
|
|
||
|
y{t) = |
I х (t) \~lx(t) |
при x(t)=/= О}. |
|
В частности, норма в Li |
дифференцируема по Гато |
в |
||
тех и только тех точках х ( - ), У которых мера множества |
||||
{t е (Y0, ^i]|x(0 = 0} равна нулю. |
|
|
||
2. |
С у б д и ф ф е р е н ц и а л н о р м ы в С(Т). На |
|||
помним |
(см. § 0.1), что пространство, |
сопряженное |
с |
|
С(Т), образовано всеми регулярными борелевскими ме рами на Т и норма в этом пространстве задается равен ством
|р. ||= | d\ р |.
т
Таким образом, если х ( - ) ^ С (Т) и х( ■) Ф 0, то субдиф ференциал д||х(-)||с образован теми и только теми ме рами, которые удовлетворяют соотношениям
J <*|Ц1=1, |
(2) |
т |
|
J X (0 rfp = IIJC(•) ||. |
(3) |
т |
|
Положим
7? = {*€=ГИ *)=||г(.)||},
Тх — {t ^ Т \х (t) — — 1|х ( ■) ||}.
Множества Т* и ГГ, очевидно, замкнуты.
Говорят, что борелевская мера р сосредоточена на замкнутом множестве А, если | р | (Б )= 0 для всякого борелевского множества В, не пересекающегося с А.
Мы покажем сейчас, что мера р удовлетворяет усло виям (2) и (3) тогда и только тогда, когда
J rffi+ + J dV-~ = 1,
гг
мера р+ сосредоточена на Г£, а мера р~ — на ГГ.
230 |
ГЛ. 4. ЛОКАЛЬНЫЙ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ |
Написанное выше соотношение равносильно равен ству (2). Поэтому нужно проверить лишь последнее утверждение. Имеем
|х (•) II = [ х (t) d]x — J x(t) d\i+ — J х (/) dy.~ <
T |
T |
T |
< I U |
( - ) l l { ^ + + |
I U ( - ) l l J rfi*- — II JC( - )H- |
|
T |
T |
Таким образом, при |
выполнении условий |
(2) и (3) |
И*(-) |
И J d\i+ = | x(i) ф +, |
(4) |
Гт
(5)
Если существует борелевское множество В, не имеющее
общих точек с Tt и такое', что |р.+ |(В) — р+ (В) > 0, то
I х(0Ф+</ |х(0№+< J ||х(-)№++
т |
|
т |
|
|
г+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
+ |
J I U ( - ) № + = l l* (- )l l| ф + . |
||||
|
|
|
|
Т \ Т + |
|
|
т |
|
|
|
|
|
4 |
х |
|
|
|
Но |
это |
противоречит |
равенству в (4). Так |
же |
прове |
|||
ряется и соотношение |
(5). |
|
|
|
|
|||
|
3. |
С у б д и ф ф е р е н ц и а л |
н о р м ы |
в |
L »([/0, /1]). |
|||
Пространство |
L»([^o, / 1]) сопряжено с Li ([to, / 1]). С дру |
|||||||
гой |
стороны, |
пространство, сопряженное с |
|
/i]), |
||||
не |
совпадает |
с |
/,]), |
однако |
последнее |
изометри |
||
чески вкладывается в (Т^([^0, Л ])). Нас будет |
интере |
|||||||
совать следующий вопрос. Пусть x(-)^Llo. В каком случае субдифференциал d||x(-)IL содержит элементы
из |
Li и как |
описать эти элементы? Если у (•) е |
||
е |
д\\х(•) IU П Li, |
то в соответствии с (1) |
||
б |у (/)\dt = |
1, |
J1 |
(у ( t ) \х (/)) dt = |л: (•) IL = sup| х (/) |. |
|
U |
о |
* |
§ |
4.5. СУБДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЯ |
231 |
Легко понять, |
что эти соотношения справедливы |
тог |
да и только тогда, когда выполняются следующие
условия: |
||*(.) И*,} имеет |
|
а) |
множество 71* = {f е Г| |*(/) |= |
|
положительную меру; |
на Тх и y(t) = |
|
б) |
sign y(t) — sign *(/) почти всюду |
|
— О почти всюду вне Тх, |
|
|
В) || У ( 0 \ d t= l.
to
4.S.2. Субдифференциал функции f (х( - )) = maxx(t).
Пусть Т — компактное хаусдорфово пространство. Рас смотрим в пространстве С (Г) функцию
/(* (• )) = max* (О- (е=Г
Эта функция, как легко видеть, выпукла и однородна. Субдифференциал df (0) образован теми регулярными мерами на Т, которые удовлетворяют условию
max* (/)!> x(t)d[if |
для всех |
х ( ') е С ( Г ) . |
|
(еГ |
f |
|
|
Отсюда следует, что
j d\i= 1
т
и что мера ц неотрицательна. Действительно, в силу (6)
(t) d\i~^ — max (— * (0) = min x (t).
t ^ T |
te=T |
Поэтому, если x (t) > 0 для всех / е Г . т о и J * (0 d\i > 0. |
|
|
т |
Очевидно, что и наоборот, при выполнении этих усло вий соотношение (6) справедливо. Итак, субдифферен циал функции f в нуле мы вычислили. Если теперь
*(•)¥= 0, то (см. пример 3 из § 4.2)
а/(*(.)) =
232 |
ГЛ. 4. ЛОКАЛЬНЫЙ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ |
Дословное повторение рассуждений, использованных нами при вычислении субдифференциала нормы в про странстве С(Т), позволяет сделать следующий вывод: субдифференциал функции f в точке *(•), отличной от нуля, образован неотрицательными борелевскими ме рами на Т, имеющими единичную норму и сосредото ченными на множестве
|
|
|
Tx = {t<=T\x(t)==f(x( •))}. |
|
|
||||
4.5.3. |
Субдифференциал |
функции |
g ( *(• )) = |
||||||
— шах <р (t, х (*)). Пусть, как |
и |
выше, |
Т — компактное |
||||||
|
/ |
|
пространство |
и cp(t,x): 7'XRn - >R — функ |
|||||
хаусдорфово |
|||||||||
ция |
на Т X |
R". непрерывная по совокупности перемен |
|||||||
ных |
и |
непрерывно дифференцируемая |
по х |
при всяком |
|||||
/ е Г . |
Рассмотрим на Сп(Т) |
функцию |
|
|
|
||||
|
|
|
g (.*(•)) = |
max ф(/, X(t)). |
|
|
|||
|
|
|
|
te=T |
|
|
|
|
|
Мы покажем сейчас, что |
субдифференциал |
функции g |
|||||||
в точке х(-) |
содержит те и только те |
линейные |
функ |
||||||
ционалы х*, |
которые допускают |
представление |
|
||||||
|
|
(х\ г (■)) — J (ф« (t, х (/)) 12 (/)) d\i, |
|
||||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
где |
ц — регулярная неотрицательная борелевская |
мера |
|||||||
на Т, имеющая единичную норму и сосредоточенная на множестве Тх — [t <= Г|ф(/, x (i) ) = g(x( •))}.
Рассмотрим отображение |
G: Сп(Т )-+ С (Т ), опреде |
ленное соотношением |
|
[G (*(•))] (О = |
ф(*. *(/)), |
и функцию f на С(Т), заданную формулой
f ( y ( - ) ) = maxy(t). t<=T
Отображение G дифференцируемо по Фреше и
[G' ( * ( . ) ) 2 (• )] (/) = (фл ((, х (/)) |2 (/))
(см. пример 5 в § 0.2). С другой стороны, f — выпуклая функция на С(Т) и f { z ( - ) ) < ||z(-)ll> т . е. f непрерывна. Таким образом, для вычисления субдифференциала