Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

§ 5.1. ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ

239

l=i1

< 6

| | х -*/ | | + 2 | а / - а ;|

1.

(8)

П о л о ж и м

/=1

С (Л) = sup

УII in f

\ ||а: + 21

А (х,

а)

уфо

i=i

Из определения оператора Л и из условия

(6)

следует,

что 1 г п Л = У.

Кроме

того, оператор Л, очевидно,

не­

прерывен. Поэтому в силу леммы 3 из § 0.2 С (Л) <

оо.

Тогда, если б - С ( Л ) <

У2, то согласно

(8), отображение

теоремы Люстерника из § 0.2.

(5)

вектор

(х,а), где

Заметим

теперь,

что

в силу

й = (cti, . .. ,

ctm), принадлежит ядру оператора А. По­

этому при 6 - С ( А ) <

Уг по обобщенной теореме Люстер­

ника (см. §

0.2)

существуют числа

t > 0,

К > 0 и ото­

бражения

t~*(x(t), a(t))

-

о т р е з к а [0,

/] в

X X

R "1

та к и е ,

ч т о

Ф (*. +

t f +

х(0, /а + а(0) =

0

(9)

при всех

t е [0, ?]

и

т

/сцф (jc. + a, ta) ii.

и* (О U+

S i

а /(0 к

Из последнего неравенства в силу (5)

и (8)

следует,

что

т

1 И 0 И +

2 | а , ( 0 К

/=i

<

/С11 ф (*. +

tx, ta) — Ф (*.,

0) -

tA (х,

а) |<

1 1 * 1 1 + 2 а , ) .

( Ю )

Поэтому, в частности,

х (/)->• 0

и а (/)->- 0 при f-> 0 .

что

Далее, в силу

(7)

существует такое число с > 0,

при всех

i = 0.........k

выполняются неравенства

Vi (*.. и,-, х) + S

ау (fi (х„ и,) — ft (х„

и.)) <

— 4с.

(11)

Из-за регулярной

локальной

выпуклости

функций

x - > f i ( х,

u j можно указать

такое число а > 0,

что при

всех 0 ^ / ^ а , ||х — х||^а

и / =

0, . . . , п справедливы

неравенства

V(*

+ tx>«О < ft (* . ы.) +

1(f'i( * .

*) + с)-

(12)

Предположим теперь,

что

6 >

0

было рыбрано таким

образом, чтобы,

кроме неравенства 6 •С (А) <

1/2,

оно

удовлетворяло трем следующим условиям:

/Сб( P I I +

2

« /) <

min (а,, . . . , ат,

а),

(13)

+

/С62)

||JE||+

S

а, ) < с .

(14)

/=I

КЬ 111*11+2 й/)

max

I fi{xt, at) — fi(xt, ut)\ < c .

(15)

'

/=i 7o<i<«

l</< m

§

5.1. ЛОКАЛЬНО

ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ

241

Из (10) и (13) сразу следует,

что taj + а/ (0 > 0

при

всех t <= (0, *],

так что

Ф(х,

ta-\- а (t)) — F(х, v (х,

ta +

а (/))),

откуда,

полагая

x(t) = X' +

tx +

x (/),

й (/) =

v(x (t),

ta + а (/)),

получаем в силу

(9)

F(x(t),u(t)) =

0.

(16)

С другой

стороны,

из

второго

неравенства в усло­

вии б г )

следует,

что

при 1 е [ 0 ,

/]

и всех

1 — 0,

п

Й (0 Х Ы *(0 . «0 +

т

+

2

+

а у ( 0 ) (fi {х( 0 , « ; )

—

ft ( * ( 0 ,

« . ) ) +

/= 1

+

б

(||

+

х

( 0 1| +

2

( / а / +

а ,

( / ) ) ) .

(1 7 )

Согласно (10)

и (13)

*-1 ||л:(/) 11<сг. Поэтому

в силу

(12)

при 0 < t ^ min (t,

а )

ft(■х (t),

и ) <

f, (*..

м.) + * (ft(х

*) + с).

(18)

2 (ta{ +

a, (t)) (ft (х (t), й/) —ft (х (t), и,)) =

т

= t 2 а

j(ft(x„

« ; ) — fl(X„

« . ) ) +

J = 1

т

+

2 « /

(0 (/< (*.,

й,) — ft (х„

и.)) +

т

/=1

+

2

(taj + ajitytfiixit), йj) ft (х„ й,) —

/=!