Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

§ 4.1). С другой стороны, как следует из определения, субдиффереициалом могут, вообще говоря, обладать не только выпуклые функции. Естественно попытаться описать тот класс функций, локальное поведение которых полностью характеризуется их субдифферен­ циалом.

Пусть, как обычно, X — отделимое локально выпук­ лое линейное топологическое пространство. Скажем, что функция f, определенная на X, локально выпукла в точке х, если ее производная по направлениям в этой точке существует и выпукла. Пусть У— другое отдели­ мое локально выпуклое линейное топологическое про­ странство и G: X —>•У. Скажем, что отображение G диф­ ференцируемо по направлению х в точке х0, если суще­ ствует предел

Мы будем говорить, что отображение G равномерно дифференцируемо по направлению х в точке х0, если для всякой окрестности нуля У с У найдется окрестность U с= X точки х и число ко > 0 такие, что

0 (*о + Ю - G (хо) _ Q r (v.Q) x ) ^ v>

лишь только г е ( / и 0 < 1 , < ^ | . (Заметим, кстати, что отображение G: X —►У, имеющее в точке х0 первую ва­ риацию бG(x0;x), дифференцируемо в этой точке по всем направлениям и G '( x o , x ) = 6G(xo\x).)

Если отображение G равномерно дифференцируемо по каждому направлению в точке Хо, то, какова бы ни была фиксированная точка х, для всякой окрест­

дифференцируемо по всем направлениям в точке х0, то производная отображения G по направлениям есть не­ прерывное отображение X в У, ...

кально выпукла и равномерно дифференцируема по всем направлениям в этой точке. Таким образом, про­ изводная по направлениям в точке х функции, регуляр­ но локально выпуклой в этой точке, — непрерывная вы­ пуклая функция.

Мы покажем сейчас, что класс регулярно локально выпуклых функций достаточно широк. Он включает, в частности, непрерывные выпуклые функции и функции, дифференцируемые по Фреше.

П р е д л о ж е н и е 1. Выпуклая функция f регулярно локально выпукла в точке Хо тогда и только тогда, ког­ да она непрерывна в этой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если функция f регулярно локально выпукла в точке х0, то, полагая в определении равномерной дифференцируемости х = 0, получаем, что

/непрерывна в точке х0. Пусть, наоборот, f непрерывна

вточке Хо. Поскольку f — выпуклая функция, нам до­ статочно проверить, что она равномерно дифференци­ руема по любому направлению. Другими словами, нам

непрерывна в точке х0, то она непрерывна и в некоторой ее окрестности U0 (теорема 1, § 3.2). Выберем число Ял

точки х, что

f Up + K0z) — f(xо + Я0х)

Ко

для всех z g= U. Без ограничения общности можно счи­ тать, что множество U симметрично относительно точки

х, т. е. что вместе с каждой точкой z оно содержит и точку у — 2х — z, так что х = '/2(г/ -j- z), иначе можно вместо U взять (U — х) Г) (— U + х) + х. Если z е £/, О < Я < Яо, то

руемо по каждому направлению в этой точке. В част­ ности, если f — функция, определенная на банаховом пространстве X и дифференцируемая по Фреше в точке х, то она регулярно локально выпукла в этой точке.

Доказательство следует сразу из определений.

4.4.2. Основные теоремы о локально выпуклых функциях. Мы покажем сейчас, что класс локально вы­ пуклых функций устойчив относительно тех же локаль­ ных операций, что и класс выпуклых функций. Поэтому

во всех теоремах о субдифференциалах непрерывные выпуклые функции можно заменять на регулярно ло­ кально выпуклые.

и, следовательно,

<3 (/i + fz) (х) = dfi (х) + df2(х).

Доказательство теоремы сразу следует из опреде­ лений и из теоремы 1 § 4.2.

Т е о р е м а 2. Пусть отображение G: X - + Y равно­ мерно дифференцируемо по направлению х\ в точке х0.

Тогда функция f равномерно дифференцируема по на­ правлению х( в точке х0 и

/ ' (х0: Х\) = ё'(Уо, Уi) = g'(G (x0), G'(x0; х,)).

В частности, если в точке х0 отображение G дифферен­ цируемо по Фреше, а функция g регулярно локально выпукла в точке уо = G(xо), то функция f регулярно ло­ кально выпукла в точке Хо,

видно, является следствием первой и теоремы 2 из § 4.2. Пусть выполнены условия первой части теоремы. Тогда