Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 99
Скачиваний: 0
ного на рис. 2.2, где данные, по-видимому, выделяют прямую, не смотря на большое количество разбросов, х и у являются частично зависимыми или частично коррелированными.
Воспользуемся методом наименьших квадратов для определения по данным точкам прямой:
Ур = а + Ьх, |
(2.55) |
где ур — предсказываемое значение у, а и Ь — постоянные пересе чения и наклона прямой соответственно.
Среднеквадратическую ошибку es можно определить как: |
|
es = Е 1{у— Уpf] = Е {[у — (а + bx)f). |
(2.56) |
Рис. 2.2. Диаграмма рассеяния для случайных пе ременных X и у.
Дифференцирование по а и b и приравнивание результатов
нулю дает выражения: |
|
|
||
dejda |
= — 2Е (у) + 2а + 2ЬЕ (х) = 0, |
(2.57) |
||
dejdb = |
— 2Е (ху) + 2аЕ |
(х) + 2ЬЕ (хй) — 0, |
(2.58) |
|
откуда |
|
|
|
|
ь _ £ (ху) —Е (х) Е (у) |
Е {ху)—Е (х) Е (у) |
(2.59) |
||
|
£ (*■ )-[£ (*)]* |
|
||
|
|
|
||
д _ Е (ХУ) Е ( х ) — Е (у) Е (л:3) _ |
Е {ху) Е (х)—Е (у) Е (х2) |
(2.60) |
||
{Е (х2) - [ Е (х)Р) Е (х) |
°2Е(х) |
|||
|
||||
Уравнение (2.55) использовалось для получения линии регрес сии у от х. Столь же обоснованно рассмотреть линию регрессии х от у путем подгонки точек к прямой
хр = а' + Ь'у, |
(2.61) |
26
где хр — предсказываемая величина и а' и Ь' являются соответст венно пересечением оси х и наклоном (по отношению к оси у). Кон станты а' и Ь' определяются из уравнений:
и> Е( ху ) —Е(х)Е(у) |
(2.62) |
|
|
||
, Е (ху) Е (у) —Е (х) Е (у2) |
(2.63) |
|
<у*Е(У) |
||
|
Если х и у полностью коррелированы, регрессии, полученные при подгонке прямой х от у и у от х, должны быть идентичными, т. е. две линии на рис. 2.2 должны совпадать. Отсюда получаются отно шения:
а = — а'/Ь' , или ав |
= |
— а' , |
(2.64) |
b — Mb' , или bb' |
= |
1. |
(2.65) |
Нормированный коэффициент корреляции. Если х и у не пол ностью коррелированы, можно определить степень корреляции по отклонению от уравнения (2.65). Нормированный коэффициент кор реляции определяется как корень квадратный из произведения двух коэффициентов наклона Ь и Ь'\
п - |
[66']1/2 _ ( |
МУ)—Е (х)Е (^)]2 11/ 2 |
ГЕ (ху)—Е (х) Е( у)) |
(2.66) |
|||
‘ |
I |
al al |
J |
1 |
ох ау |
Г |
|
|
Используя неравенство Шварца, можно показать, что |
|
|||||
|
|
\Е ( х у )\^ \Е ( х )\ |
| £(</)!• |
|
|
(2.67) |
|
В случае, когда х и у некоррелированны (линейно независимы), слу чайные переменные
Е (ху) = Е (х) Е (у) |
(2.68) |
и, следовательно, р = 0. Из этих уравнений видно, что абсолют ное значение нормированного коэффициента корреляции меняется от нуля для некоррелированных переменных до единицы для пол ностью коррелированных переменных, т. е.
0 < | р | < 1 . |
(2.69) |
Ковариационная функция. Определим ковариацию Сху между х и у как числитель уравнения (2.66):
Сху = Е (ху) — Е (х) Е (у). |
(2.70) |
Алгебраические преобразования уравнения (2.70) дают
оо |
оо |
|
= £[(* — И-*)(0— M = J |
§ (х— |
\iy)p(x,y)dxdy. (2.71) |
27
В частном случае для одной переменной, когда х = |
у, |
Cxx = E [ ( x - [ixf] = G l |
(2.72) |
Понятия линейно независимые переменные и некоррелирован ные переменные не идентичны. Независимые случайные перемен ные некоррелированны. Обратное утверждение, т. е. что некор релированные переменные независимы, не справедливо в общем случае, так как при Сху и рху равных нулю переменные х и у могут быть связаны нелинейной зависимостью.
В общем случае средние значения отдельных случайных пере менных х и у не остаются постоянными во времени и должны опре деляться в различные моменты времени. В моменты tx и t2, где tx — t,
a t2 = t + |
т, ковариация х (к) и у (i2) равна: |
|
|
|
Сху (к, к) = СхУ(/, Н -т) = СхУ(т) = |
|
|
|
= £{[х(/) — ця (/)] [yU + k — Иу^ + т)]}. |
(2.73) |
|
Подобные |
выражения могут |
быть написаны для Схх (/, |
t + т) и |
Суу (t, / + |
т). В том случае, |
когда т = 0, уравнение (2.73) |
перехо |
дит в уравнение (2.72). |
|
|
|
Корреляционные функции. Взаимная корреляционная функция |
|||
определяется как |
|
|
|
|
Флу (т) = |
Е [х (/) у (/ + т)]. |
(2.74) |
Сравнение уравнений (2.74) и (2.73) показывает, что ковариация является частным случаем взаимнокорреляционных функций, из которых вычитаются средние значения. Для стационарных процес сов уравнение (2.73) записывается
СХу (т) = Е [х (t) у (г + т)] — |
= флг/ (т) — ЦхЦу. (2.75) |
Для одной переменной, когда х = у , получаем автокорреляционную функцию
фжд: СО = Е [х (t) X (t + т)]. |
(2.76) |
Корреляционные функции выражаются через функции плотности совместной вероятности как
|
оо |
оо |
|
|
Ф*у(0 = |
5 |
5 |
х(к)У(к)р[х(к)у(к)]йхс1у. |
(2.77) |
— ОО — оо |
|
|||
Для частного случая, |
при т = 0: |
|
||
Фжу (0) |
= Е [х (0 у (/)], |
(2.78) |
||
4>хх (0) |
= |
Е {1х (О]2} = Ф2. |
(2.79) |
|
28
С помощью неравенства Шварца можно показать, что
Ф*У (т) I2 < |
фжя(0) фуу (0), |
(2.80) |
С ,у(т)|2< |
0 ^ (0 ) С„в (0) |
(2.81) |
|ф«е(т)К ф **(0)='Ф 1. |
(2.82) |
|
|С г.,( т )|< С ,,(0 ) = а1. |
(2.83) |
|
Используя уравнение (2.66), переопределим нормированную взаим нокорреляционную функцию (нормированную взаимноковариацион ную функцию) как
______ Сху (т )_______ |
(2.84) |
Рхи (т) = [С^ (0) Суг/ (О)]1/ 2 ’ |
которая удовлетворяет условию
|р * „ (т )|< 1 . |
(2.85) |
Функция рху (т) показывает степень линейной зависимости между x(t) и y(t) при изменении времени на т.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Evans R. D. The Atomic Nuclear. McGraw-Hill Book Company, Inc., N. Y., 1955.
2.Jahnke E., Emde F. Table of Functions, 4th ed., Dover Publications, N.' Y., 1945. (См. Янке E., Эмде Ф. Таблицы функций с формулами и кривыми.
Изд. 3-е. Пер. с англ. М., Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959.)
3.Bendat J. S., Piersol A. G. Measurement and Analysis of Random Data. John Wiley and Sons, Inc., N. Y., 1966. (См. Бендат Дж., Пирсол А. Из мерение и анализ случайных процессов. Пер. с англ. М.,«Мир», 1971.)
ГЛАВА 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ДИСКРЕТНЫЕ МЕТОДЫ
В РЕАКТОРНЫХ СИСТЕМАХ
§ 3.1. Введение
Методы измерения шумов могут быть разделены в основном на микроскопические методы (которые основываются на стати стике изменения числа нейтронов) и макроскопические методы (ко торые основаны на изучении интегрального поведения системы). В этой главе будут рассматриваться микроскопические методы, включающие вероятность регистрации нейтронов, отклонение плот ности вероятности от распределения Гаусса или Пуассона, отно шение дисперсии к среднему распределению временных интервалов между отсчетами и другие подобные явления.
Большинство статистических методов было развито для крити ческих реакторов нулевой мощности. В последних работах предла гаются некоторые методы, которые могут быть распространены на энергетические реакторы и подкритические системы. Некоторые методы наиболее пригодны для тепловых реакторов, другие — для быстрых реакторов. Иногда определяющим фактором в выборе ме тодики является имеющееся в наличии оборудование.
Природа цепной реакции ядерных процессов в реакторе обуслов ливает отклонение детектируемых отсчетов от нормального распре деления, поскольку отдельные отсчеты зависят от других нейтро нов в цепочке. Следовательно, статистические характеристики ре зультата счета зависят от динамических характеристик ядерной системы.
Имеется несколько экспериментальных методов, основанных на счете нейтронов, при которых по эффективности детектора и росси- альфа-константе распада мгновенных нейтронов, определяемой ниже, может быть найдена мощность реактора. Одним из первых экспериментальных методов, разработанных для этой цели, был метод росси-альфа [1], состоящий в измерении условной вероятно сти отсчета в интервале времени А при времени t вслед за отсчетом при t — 0. Относительная дисперсия счета нейтронов, регистрируе мых в определенном временном интервале, была изучена Фейнманом и др. [2]. Другой метод определения р// — метод нулевой вероят ности, предложенный Могильнером и Золотухиным [3], заключает ся в измерении вероятности отсутствия счета в определенном вре-
30
менном интервале. Все эти методы рассмотрены в работе [4] и пред ставлены в сокращенной форме в этой главе.
Исследование Бабала [5J показывает, что все эти методы легко могут быть получены из теории Колмогорова о ветвящихся процессах [6]. Курант и Валлейс[7] изучали флуктуации числа ней тронов в реакторе, используя уравнение Фоккера — Планка, полу ченное на основании вероятностно-балансного рассмотрения, и вы вели формулу для дисперсии счета нейтронов. Пал [8] использовал метод первого соударения для вывода уравнений нулевой вероят ности, дисперсии и корреляционной функции, которые имеют не посредственное "отношение к условной вероятности классического росси-альфа-эксперимента.
В этой главе предполагается, что реакторная система описы вается моделью с сосредоточенными параметрами, если это не ого варивается особо. Такое предположение обычно считается обосно ванным при исследовании динамики реактора, если характерные физические-размеры активной зоны не превышают нескольких длин миграции.
В критических с нулевой мощностью или слегка подкритических реакторных системах одним из наиболее важных параметров яв ляется константа спада мгновенных нейтронов, известная как кон станта* росси-альфа и определяемая
„ 1—А (1—Р) . . . 1-А р |
_ Р - р |
. |
(3 А |
|
I |
I |
А ’ |
. |
' |
где все символы имеют значения, обычно используемые в теории ре акторов [9, 10].
Для системы критической на запаздывающих нейтронах это урав
нение переходит в |
|
|
|
|
а с = |
|
р// = |
р/А, |
(3.2) |
поскольку в этом случае / и |
Л равны. Отсюда можно выразить а |
|||
через а с: |
|
|
|
|
® = х ( 1 _ 'р ) = |
а |
4 1 |
- | - ) = а с [1 “ р{аолл)1’ |
(3-3> |
где р (долл) — реактивность, выраженная в долларах.
§ 3.2. Вероятностное распределение нейтронов деления
Основной причиной статистических флуктуаций числа нейтро нов в большинстве реакторных систем нулевой мощности является различие в числе нейтронов, образующихся при каждом делении. Выход нейтронов на деление определяется вероятностными про-
Первоначально константа Росси определялась как отрицательная ве личина, однако представленное определение сейчас более употребительно.
31