Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf

4) расчета взаимных спектральных плотностей (включая веще­ ственную и мнимую компоненты) и функций взаимной ковариации

икорреляции;

5)разложения свернутых функций.

Дискретная форма преобразования Фурье в комплексной экспоненциальной (а не тригонометрической) форме имеет вид

и X; — г-я выборка из временной последовательности, содержащей

Nвыборок. Индекс п представляет собой гармонику преобразования. Обратное дискретное преобразование Фурье имеет очень про­

стую форму:

N п=о

Следовательно, процедура вычисления преобразования уравнения (10.134) может быть использована для расчета его обратного преоб­ разования по уравнению (10.135) простым переобозначением А п и Х и введением масштабного коэффициента 1Ш и изменением знака

упоказателя экспоненты.

Вбыстром преобразовании Фурье производится последователь­

ное объединение постепенно возрастающих весовых сумм выборок данных, умноженных на коэффициенты А п и Хг. Подробности рас­ четной процедуры приведены в [10—13].

Свертка. Метод быстрого преобразования Фурье также чрезвы­ чайно удобен при свертке двух временных последовательностей.

где знак * означает свертку. Прямой расчет свертки во временной области -требует N арифметических операций на каждую точку. Однако если вместо умножения двух временных последователь­ ностей рассчитать преобразование Фурье х (£А) и у (1А) методом быстрого преобразования Фурье, перемножить их в частотной области и затем обратить по Фурье результат снова во временную область, можно достичь значительной экономии машинного вре­ мени. Математически это можно выразить так:

где F и F-1 представляют прямое и обратное дискретные преоб­ разования Фурье. Эта процедура аналогична использованию ло­ гарифмов для выполнения умножения.

309

Корреляционные функции и спектральные плотности. Взаим­ ная корреляционная функция, частным случаем которой являете» автокорреляционная функция, подобна выражению свертки, да­ ваемому уравнением (10.136), за исключением того, что знак члена запаздывания изменен на обратный:

(10.138).

и спектральная плотность равна преобразованию Фурье:

Другой возможностью определения взаимной спектральной плот­ ности является использование дискретной формы, уравнения (4.75),. т. е.

где F* означает сопряженное дискретное преобразование ФурьеЭти операции выполняются гораздо проще методом быстрого преоб­ разования Фурье, чем с помощью уравнений (10.138) и (10.139), Корреляционная функция получается из уравнения

и взаимной спектральной плотности применимы к автокорреляци­ онной функции и спектральной плотности мощности, если предпо­

Цифровая фильтрация. Цифровая фильтрация временных по­ следовательностей представлена в § 10.4 как процесс свертки между временными последовательностями и дискретными весовыми функ­

310

где М — количество временных приращений в половине h(iA). Сле­ довательно, цифровую фильтрацию можно провести, используя уравнение (10.137):

y(iA) = h(iA)*x(iA)=F-*1{F[h(iA)]F[x{iA)]}. (10.143)

Фильтр может иметь любые характеристики, рассмотренные в-§ 10.4 и представленные соответствующим образом функцией /i(t'A).

Экономия времени при использовании быстрого преобразования Фурье. Временные преимущества быстрого преобразования Фурье перед прямым преобразованием определены Кокраном и др. [11] и представлены в табл. 10.1, где N — число выборок во временной последовательности. Таблица дает количество использованных умножений и относительный выигрыш для быстрого преобразова­ ния Фурье' временных последовательностей с 8192 выборками,

Вработе [И ] не рассмотрена.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Balcomb J. D. Los Alamos Scientific Laboratory, personal communica­ tion, 1964.

5.Marshall Space Flight Center. RAVAN. Digital Computer Code for Random Vibration Analysis, 1962.

311