Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf

§ 10.9. Выбор параметров реакторных исследований

Одно из основных ограничений большинства цифровых про­ грамм взаимной корреляции состоит в том, что число точек, для которых должна быть вычислена функция взаимной корреляции, не превышает некоторого числа, например 2000. Кроме того, объем экспериментальных данных, получаемых из некоторых реактор­ ных экспериментов, ограничен несколькими минутами для данной серии условий. С точки зрения получения наилучших результатов, как правило, желательно использовать максимальное число дан­ ных и проводить их анализ из самого длительного опыта. Конечно, должны быть учтены и другие условия, например частотное содер­ жание сигнала, интересующий интервал частот, требуемое разре­ шение и т. д.

Рассмотрим опыт длительностью 50 сек, результаты которого преобразуются в цифровую форму со скоростью 40 выборок в се­ кунду (т. е. всего 2000 точек). Наибольшая частота, которая может быть представлена в сигнале, равна 1/2 скорости выборки fs, т. е. 20 выборкам в секунду. Это означает, что входные данные должны быть отфильтрованы, чтобы удалить все частотные компоненты, более высокие, чем 20 гц. Единственной альтернативой такой филь­ трации является цифровая фильтрация данных после перевода их в цифровую форму для исключения наложения частот. Последняя процедура является дорогостоящей в смысле затрат машинного времени, но она позволяет в определенных случаях избежать необ­ ходимости повторного цифрового преобразования.

Скорость выборки автоматически устанавливает временное при­ ращение А для корреляционной функции. Следовательно, следу­ ющий шаг — определение количества задержек, которые должны быть использованы в процессе корреляции, так как число задержек прямо пропорционально разрешению и обратно пропорционально точности или доверительному уровню результата. Выбор числа задержек также влияет на обращение Фурье, применяемое для рас­ чета взаимной и спектральной плотностей и передаточной функции, так как определяет интервал между частотными компонентами. Поскольку число приращений частоты равно числу задержек пг, приращение частоты Af равно обратной величине произведения удвоенного временного приращения и количества задержек т, т. е.

ит = 100, то, согласно уравнению (10.127), Af = 0,2 гц. Таким оказывается приращение частоты (или разрешение) для вычислений взаимной спектральной плотности и плотности мощности, а также

ипередаточной функции. Для 100 приращений (по 0,1 гц каждое) максимальная расчетная частота равна 20 гц, что, очевидно, равно максимальной частоте, которая может/быть исследована при ско­ рости 40 выборок в секунду,

3 04

Функция рассчитывается для каждого экспериментального зна­ чения передаточной функции. Из-за нелинейности исследуемой системы, повышенного уровня шумов в записях входного и выход­ ного сигналов или из-за слишком малой амплитуды yly (со) от­ личается от единицы и достоверность соответствующих экспери­ ментальных точек переходных характеристик снижается. Однако при наличии, многочисленных входов система становится очень сложной, и может оказаться возможным получение высококаче­ ственных данных, даже если функция когерентности между двумя переменными, определенная уравнением (10.128), имеет небольшие значения.

Соотношение между функцией когерентности и точностью или качеством амплитуды Н (/) и фазового угла 0 (/) передаточной функ­ ции можно получить из выражений, определенных Гудменом [9]. С хорошим приближением он показал, что P -вероятность того, что выполняются соотношения

является истинным значением); к— число статистических степеней свободы; е — заданная мера погрешности и у%у — функция коге­ рентности между двумя переменными х и у.

Рассмотрим 40-секундный отрезок записи при 50 выборках в секунду, что дает 2000 выборок. Если использовать предположе­ ние Бендата и Пирсола [8], что т ^ 0,1 N , количество задержек в последующей корреляции и расчетах спектральной плотности должно составлять 200. Число статистических степеней свободы,

где N — общее число точек, а т — число задержек. Для 1000 за­ держек число статистических степеней свободы k = 20. Уравнение (10.131) показывает, что эта величина низка и, следовательно, точ­ ность. мала. Нетрудно видеть, что для достижения разумной точ­ ности при этих условиях необходимо иметь значение функции ко­ герентности максимально близким к единице.

Для улучшения ситуации число статистических степеней свободы должно быть увеличено. Из уравнения (10.132) видно, что этого

308

можно достигнуть только увеличением числа выборок или умень­ шением числа задержек. Поскольку указанное число выборок уже равно максимальному числу, которое может быть обработано, единственной возможностью является уменьшение числа задержек. Рассмотрим пример, для которого число задержек уменьшено с 200 до 100, до 50 и затем до 25, что увеличивает число статистических степеней свободы соответственно с 20 до 40, до 80 и затем до 160. Уравнение (10.131) показывает, что для того, чтобы с 90%-ной до­ стоверностью погрешность была меньше, чем постоянная е, равная 0,1, необходимо иметь функции когерентности, равные примерно

до 0,117, до 0,080, до 0,057. Улучшение качества данных ухудшает разрешение, а также уменьшает число точек на кривой переда­ точной функции.

Можно провести ряд исследований, связывающих функцию ко­ герентности с числом задержек, которое должно быть использовано, чтобы достичь заданной точности; возможно, здесь нужно провести некоторую оптимизацию. Однако функцию когерентности нельзя определить, пока не известны все спектральные плотности, и в ре­ зультате нельзя определить заранее, сколько задержек должно быть использовано. Как правило, число задержек составляет от 5 до 10% общего числа выборок. Очевидно, может сложиться ситуация, при которой указанное соотношение не будет лучшим, и данные следует обработать еще раз с учетом результатов, полученных в первом приближении. Для циклических данных, суммированных по не­ скольким циклам, число задержек может быть равно числу выборок данных в цикле.

Функция когерентности в основном определяется первоначаль­ ными данными и слабо зависит от выбранного числа задержек. Следовательно, если измерение выполнено, то ничем нельзя уве­ личить количество содержащейся в нем информации или уменьшить число посторонних флуктуаций, т. е. увеличить отношение сигнал/ шум. В лучшем случае можно надеяться, что удастся упростить обработку данных наиболее благоприятным образом, возможным при имеющихся обстоятельствах.

§ 10.10. Быстрое преобразование Фурье

Преобразования рядов Фурье. В классическом, или прямом, методе оценки преобразований Фурье, описываемом уравнениями (10.83) или (10.84), должно быть сделано приблизительно N2 вы­ числительных операций. Существует другой метод, называемый быстрым преобразованием Фурье, который недавно был предложен в работе [10] и обобщен в работах [111 — [13]. В действительности метод был впервые предложен в 1942 г. [14] для решения некото­

307'

рых задач рассеяния рентгеновского Излучения. Этот метод осуще­ ствляет преобразование Фурье, выполняя N log2 N математичес­ ких операций. Метод использует рекурсивную формулу, кото­ рая определяет преобразование Фурье через несколько более коротких преобразовании. Обычно более короткие преобразования содержат только два или четыре члена ряда, так что эти операции могут быть сделаны только сложением и вычитанием. При рассмот­ рении большого числа экспериментальных точек экономия машин­ ного времени оказывается значительной. Отношение числа опе­ раций, выполняемых в двух методах, равно:

Например, для N, равного 4096 экспериментальным точкам, R рав­ но 341,3. Следовательно, быстрое преобразование Фурье сокращает истинное арифметическое время счета примерно в 340 раз. С учетом всех операций полное время в этом примере может уменьшиться примерно в 100 раз. Этот фактор, определяющий уменьшение за­ траченных усилий, обусловлен использованием арифметических операций.

Дискретные преобразования Фурье. Под дискретным преобразо­ ванием Фурье понимается преобразование временных последова­ тельностей, свойства которого близки к преобразованию Фурье непрерывной переменной, которая представлена в дискретной форме в виде временной последовательности. Преобразование про­ изводится по своим правилам и обладает очень полезным свойством обратимости преобразования, которое аналогично свойствам ин­ тегрального преобразования Фурье. Преобразование определяет спектр временных последовательностей, и перемножение преобразо­ вания двух временных последовательностей соответствует процессу свертки временных последовательностей.

В работе [15] были указаны следующие полезные свойства дис­ кретного преобразования Фурье.

1. Свертка обратного дискретного преобразования Фурье про­ изведения двух дискретных преобразований Фурье есть периоди­ ческая средняя свертка двух первоначальных временных после­ довательностей.

2. Дискретное преобразование Фурье временной последова­ тельности, циклически сдвинутой на А, есть дискретное преобразо­

есть сумма дискретных преобразований Фурье этих двух функций. Кокран и др. [11 ] отметили, что метод может быть применен для:

1)расчета спектральной плотности мощности и автокорреля­ ционных функций дискретных данных;

2)моделирования фильтров;

3)распознавания образов с использованием двумерной формы

дискретного преобразования Фурье;

3 0 8