нусам по уравнению (10.81), так как члены с синусами равны нулю. В результате получаем:
Ф ,,(«Д /) = ^ |
|
т — I |
|
Фо + |
2 У, |
f P i C O S ^ i ^ - j + |
|
|
|
i = |
1 |
|
+ |
<p„.cos |
[ ■ ~ L ) |
(10.90) |
Используя соотношения, приведенные в гл. 4, из уравнения (10.90) можно получить одностороннюю спектральную плотность мощности
Gxx (яД/).
Значения Фкг (дД/) и Gxx (nAf) должны быть рассчитаны только для т + 1 отдельных дискретных частот, равных
/ = nfjm (п = 0, 1,2, ..., т). |
(10.91) |
При этом получим ml2 независимых спектральных оценок, так как значения, отстоящие на 2f j m друг от друга, будут коррелированы. Для этих частот спектральная плотность мощности равна
ш—1
фхх (nfjm) = — Фо + 2 У |
cp;cos---- h (— l)ncpn |
, (10.92) |
i = |
m |
|
1 |
|
где индекс n — номер гармоники.
Предварительную оценку можно сгладить разного рода фильт рацией. Удобно использовать для сглаживания автокорреляцион
ной функции метод Хеннинга. Для этого окна Хеннинга |
|
D(/A) = - i- ^ l |
+ cos-^-j, (г = |
0, 1, 2, .... m); |
(10.93) |
|
|
D (г'Д) = 0, (г > т) |
|
умножаются на автокорреляционную функцию. |
уравнений |
Поскольку D (0) = |
1 и |
D (тА) = 0, |
комбинация |
(10.93) и (10.92) дает |
|
|
|
|
|
ФВп = |
Ф ( 4 / я ) = |
|
|
|
|
т—1 |
|
|
(10.94) |
2 |
ф**0 + |
2 |
(1 “i- cos — |
COS |
|
|
|
т |
|
г= 1
Вдругих случаях сглаживание может быть произведено в час тотной области, где соответствующие соотношения имеют вид:
Ф0 = 0,50 Ф0 + 0,50 Фх; |
(10.95) |
Ф„ = 0,25 Фп_х + |
0,50 Фп+ 0,25 Фп+1; |
(10.96) |
Фт = 0,50 Фт _х + |
0,50 Фт . |
(10.97) |
Из соотношений между односторонней и двусторонней спектраль ными плотностями очевидно,что аналогичные соотношения для оце нок односторонней спектральной плотности мощности будут иметь вид:
&„ = |
0,50 G0 + 0,50 Gt; |
(10.98) |
Gn = |
0,25 Gn_! + 0,50 Gn•+ 0,25 Gn+1; |
' (10.99) |
Gin = 0,50Gm_1 + 0,50Gm. |
((10.100) |
Сглаживание предварительных оценок необходимо, |
так как пе |
риодограмма, определяемая уравнением (10.94), основана на диск ретной автокорреляционной функции, являющейся частным слу
чаем уравнения (10.85), в котором обе |
переменные одинаковы. |
Хотя |
оценка отдельного значения |
(пА) достаточно точна, |
оценка |
всех точек автокорреляционной |
функции одновременно |
не является хорошей.
Если предварительные значения спектральной плотности изме рены прямыми полосовыми методами, то сглаживание Хеннинга по уравнениям (10.95)—(10.100) может оказаться излишним. В этих случаях необходимость сглаживания зависит непосредственно от используемого метода.
Взаимная спектральная плотность. Ввиду отсутствия симметрии у взаимной корреляционной функции анализ взаимной спектральной плотности более сложен. Как и в гл. 4, рассмотрим вещественную
Сху (/) |
и мнимую |
Qxy (/) составляющие |
взаимной |
спектраль |
ной плотности, описываемые уравнениями (4.118) и (4.119): |
|
|
Сху (/) = |
2 |
J 1фХ!/ (т ) + |
ф„я (т)] cos 2лfг dr, |
(10.101) |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
Qxy (/) = |
2 |
j [ф зд (т) — ФУх(Т)] sin 2л[г dr, |
(10.102) |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
где |
ц>ху (г) и .ф,/ге (т) — взаимные |
корреляционные функции для |
т ^ |
0. |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gxy ([) = Сху (/) - |
]Qxy (f) = |
2Фху (f) = |
|
|
|
= | Gxy (/) | exp [j 0,y (f)], |
(/ > |
0); |
(10.103) |
|
|
|
I Gxy (f) | = |
[Clu (/) + |
Qly (/)] ‘/_2; |
(10.104) |
|
|
0Kj/ (/) = arctg ( ~ Q xy (f)/Cxe (/))• |
(Ю.Ю5) |
Используя правило трапеций для интегрирования (10.101) и (10.102) (если срж!/ (г) и ср,/х (т) представлены конечным числом N дискретных равноудаленных значений), получаем:
Сху (nAf) = |
|
|
|
|
|
m—1 |
сржг, (гA) cos ( |
) + |
|
фжг/ (0) + |
2 |
У |
|
|
|
|
|
|
t |
= I |
\ / с |
/ |
+ Ф*„ (/гаД) cos ( |
/с |
) + ф (0) + |
|
m—1 |
|
|
|
|
) |
' 'Г у х |
|
|
|
|
|
|
|
|
nmn&f |
|
+ 2 2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
%x (mb)cQs ^ |
|
= -f- ( Ф*у (0 ) + |
Ф»*(0 ) + |
COS ^ |
|
|
j [фж„ (mA) + ф„*(mA)] + |
+ 2 cos |
( ^ |
) |
{ |
Д |
[Фяу(1Д )+ ф ^(/Д )]}). |
(10.106) |
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сяу(лд/) |
= |
А |
sin ^ A A |
[фя1г (mA) — Фуя(тД )Н - |
|
|
|
|
|
/ С |
|
|
|
|
|
+ 2 sin А А |
|
Д |
[фзд (/А) - ФУ, (/А)] |
(10.107) |
Э ти величины нуж но оценить только для гармонических частот уравнения (10.91):
Сп — СХу (nfJ m) — — ^Ф.су (0) + |
Уух (0) + (— 1)" [ф*7/ (пгА) + |
+ Фуя (шА)1 + 2 cos A | " д |
[Фзд (/А) + ф, я (tA)]J j , |
(10.108) |
Qn = Q x y ( n f c l m ) = - Y ^ s m ^ { Д |
[фяу(хД )-ф вя(/Д)]}^. |
(10.109) |
Как и для спектральной плотности мощности, необходимо сгла дить вещественную и мнимую компоненты, применив сглаживание Хеннинга. В частотной области выражения, использованные для т -j- 1 гармонических частот, имеют вид:
С0 = 0,5 С0 + 0,5 Сц |
(10.110) |
Qo= 0,5Qo+ 0,5Qi; |
(10.111) |
Сп —0,25 Сп_х + 0,5СП+ 0,25Сп+1; |
(10.112) |
Qn = O ^ Q ^ + 0,5Qn + 0,25Qn+1; |
(10.113) |
Cm = 0,5Cm_1 + 0,5Cm; |
(10.114) |
Qm = 0,5Qm_1 + 0,5Qm. |
(10.115) |
Двустороннюю спектральную плотность можно также оценить
с помощью соотношений: |
|
|
®xy(f) = Gxv(f)l2 = [Cxy(f) - jQxu(f)]/2, |
( f > 0) |
(10.116) |
и |
|
|
% x (f) = ®xy(-f)==Guxm = [Cyx(f) - jQ!lxm i2 , |
( f > 0). |
(10.117) |
§10.8. Передаточные функции
ифункции когерентности
Передаточная функция может быть оценена либо из спектраль ной плотности мощности, либо из взаимной спектральной плотности входного х (t) и выходного у (t) сигналов. Соотношения, приведен ные в гл. 4, имеют вид
I н (п\= |
[Ф,М1(»/ф, , т * = |
(п / о ,, (п11/2 |
IН (f)I = |
| Фху (П\1ФХХ (!) = |
|
| оху (!) IIGXX (!) = |
= (Ch(f) + Q%(f)]G4Gxx(f), |
|
6 (!) —arctg |
(!)ICxy (f)}. |
Для дискретных гармонических частот
! = nfj/n |
(п — 0, 1, 2, ..., т) |
и предыдущие соотношения приобретают вид:
I Нп | = | Н (nfc/m) | = (Фуу (пА!)1Фхх (nAf)] >/* =
= [GVB(n A f)/G M (nAf)]W2
(10.118)
(10.119)
( 10. 120)
"(10. 121)
( 10. 122)
|Я П| - |
1Н (nfjm) | = | Фху (nAf) | /Фхх (nAf)) = | Gxy (nAf)\IGxx (nAf) = |
|
= [Cly (nAf) + Q%y(nAf)]/Gxx (nAf), |
(10.123) |
|
= 6 (n!c/m) = arctg [—Qxy (nAf)/Cxy (nAf)]. |
(10.124) |
Функция когерентности находится из выражения |
|
|
у'*« (/) = IФ ,, (»12/Ф ,, (!) Фуу (!) = I GXy (!)№хх (!) Gyy (f) = . |
|
= (Cly(!) + Qiy (f))/Gxx (!) Gyy (f). |
(10.125) |
Для дискретных гармонических частот она равна |
|
?п = |
у% (nAf) = (Cly (nAf) + Qly (iiAf)]/Gxx (nAf) Gyy (nAf). |
(10.126) |
