ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 136
Скачиваний: 1
записана как
У - ГР]
Q
то
X Y ._ APYBQ
" LCP + DQ '
Пример. Феллер [4, стр. 355; перевод— стр. 383] приводит спе циальный пример матрицы вероятностей перехода Р = { р ;;}, где рг;-— вероятность перехода из состояния г в состояние /. Матрица Р в этом примере может быть разбита следующим образом:
' А 0 0
р=- 0 в 0
. U г Уг т _
В общем случае можно показать, что
~ Ап 0 0
Р" - 0 Вп 0
V* Vn J'n
где
и п = и гА"-1 + Т и п-1 и V ^ V ^ - ' + T V ^ .
Такое преобразование позволяет подсчитать Рп, возводя в соответст вующую степень ее подматрицы.
6. ПРИЛОЖЕНИЕ
КОВАРИАЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ
Матрицы, элементы которых представляют собой дисперсии и ко вариации ряда случайных переменных, важны для статистического ана лиза. При рассмотрении таких матриц будут затронуты многие вопросы, обсужденные в этой главе.
Предположим, мы имеем дело с двумя случайными переменными хг и х2, чьи средние арифметические равны соответственно рх и р2. Обозначая математическое ожидание символом Е, получим Е (лу) = pt
и Е (х2) = р2-
Пусть
Х\ |
и р = |
|
тогда
Pi’
V =L.ет—1
Е (х) = Е |
Pi = р. |
_*^2 . |
. ^2. |
6 4
Транспонирование результата дает
1Е (х)Г = Е (х) = р '.
Рассмотрим теперь дисперсии, определяемые как
<А = Е (х х — рх)2 и а\ = Е (х 2 — р2)2, |
(14) |
и ковариации, получаемые следующим образом1:
|
а12 = Е {(х х — |
М'х)(ЛГ2 — Рг) }• |
|
||||
Результаты |
могут |
быть представлены в |
виде следующей |
матрицы, |
|||
|
|
|
v = |
el |
сг121 |
’ |
|
|
|
|
|
012 |
°l J |
|
|
которая вданном случае равна |
|
|
|
||||
V- |
\E (Xi — Pi)2 |
|
|
Е {хх |
fXj) (х2 \i2) __ |
|
|
Е (Xi — рх) (х2 |
р2) |
Е ( х 2 — }ч У |
|
||||
|
|
||||||
|
*1— 1*1 |
[Xj |
х2-~-р2] =--£[х —р] [х —р]\ |
||||
|
|
*1 |
|||||
|
* 2 |
Ш |
|
|
|
|
|
Это выражение можно переписать: |
|
|
|
||||
V = |
Е [х — рПх' — \i'\ |
— Е [х —■Е (х)Ях' — Е (х')1. |
(15) |
||||
Окончательный результат может служить матричным аналогом определения дисперсии одной переменной (см. (14)). Он распростра няется на любое число переменных, включенных в вектор х. Предпо ложим, что х1( х2, ..., хп представляют п случайных переменных со
средними рх, |
р2, ..., рп, дисперсиями of, |
...» о2 и ковариациями |
||
а12, а13, ..., а1п, а23, ..., ст2п, |
..., |
an- h п. Если |
случайные переменные |
|
представлены |
вектором х' = |
[хх |
х2 ... хп], а |
их средние — вектором |
р/ == [рх р2 |
pj> то Е (х') = |
р' и Е (х) == |
р. Дисперсии и кова |
|
риации в матричной форме могут быть записаны следующим образом:
^12 • • °1П
сг2 ■е2п
Var (х) --- V =-----
и2 *’
°2п *■■eh ..
Эта матрица симметрическая: V' — V. Ее диагональный член, нахо дящийся в строке г, представляет собой дисперсию переменной хг,
1Фигурные скобки в этом выражении указывают на то, что операция вычис ления математического ожидания относится ко всему произведению целиком. В целях упрощения эти скобки далее будут опускаться.
3 Зак, 425 |
6 5 |
а ее t'/'-й член (г Ф /) характеризует ковариацию хг и Xj. Данная матри ца известна как ковариационная матрица элементов вектора х. Из ос новных определений дисперсии и ковариации, а именно
|
|
|
G? = |
Е (Xi — рг)2 |
|
|
И |
O ^ j |
Е (X j |
Р гН -Т / |
Р у ) |
i ф ^ /', |
|
следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = Е (х — р)(х' — р')- |
(16) |
||
Если соответствующие средние равны нулю (р = |
0), то, следовательно, |
|||||
|
|
|
V = |
Е (хх'). |
|
(17) |
К таким формам часто прибегают в многомерном анализе: с их помощью можно наиболее эффективным образом сократить записи. С этой точки зрения удобны и матричные обозначения в тех случаях, когда рассмат ривается некоторое линейное преобразование у = Тх и требуется опре делить ковариационную матрицу элементов вектора у. Вектор средних значений переменных равен:
Е (у) = Е (Тх) = ТЕ (х) = Гр,
причем
Е (у') = (Гр)' = р 'Г .
По аналогии с (15) ковариационная матрица переменных у равна:
Var (у) = Е [у — Е (у)][уг — Е (у')].
Подставляя у — Тх |
и Е (у) = Гр и их транспонированные величины |
в полученное выше |
выражение, находим |
Var (у) = |
Е [Тх — ГрНх'Г — р 'Г ] |
= |
|
= ЕТ [х — рНх' — р ']Г |
= ТЕ [х — р][х' — р']Г', |
||
и на основе (16): |
|
|
|
|
Var (у) = |
T V T . |
|
Полученный результат |
|
|
|
Var (у) |
= Var (Тх) = TVar (х)Г' |
(18) |
|
будет ковариационной матрицей любой системы линейных комбинаций у = Тх. Он применим к любому числу линейных комбинаций с любым числом переменных.
Если у представляет собой одну переменную,,т. е. является простой линейной функцией переменных х, мы имеем дело с частным случаем приведенных рассуждений. Тогда Г соответствует вектору-строке V
66
и var (у) = t'Vt — тоже скалярная величина1. Поскольку var (у) представляет собой дисперсию, то ее значения всегда неотрицательны,
и, следовательно, это |
же относится и к t'Vt, отсюда V—положитель |
но полуопределенная |
симметрическая матрица. Это справедливо для |
любой ковариационной матрицы.
Пример. Полезным примером таких преобразований может служить операция, которую часто называют нормализацией или приведением к стандартной шкале. Рассмотрим следующий случай: даны переменные хг и х2 со средними рх и р2, дисперсиями of и of и ковариацией о12. Прежде всего примем
У1 "*i —H-i "
У=
_У2. *^2 1^2
Тогда
Е(у) = Е (х — р) = О
ис помощью (17) получим:
Var (у) = Е (уу') = Е {х—щ) (х' — р') = Var (х) |
-= V |
of |
°l2 |
||||||||
°12 |
<*a |
||||||||||
Пусть теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
— |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т = |
<ji |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
0 |
|
|
|
(Xi — Hi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Oi |
|
|
* 1 |
P i |
01 |
|
|
|
|
|
|
0 |
— |
|
X 2 — |
2 |
( х 2 — ц 2) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
02 |
|
|
|
02 |
|
|
|
Тогда г представляет |
собой вектор нормализованных переменных х. |
||||||||||
Из выражения (18) следует |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
О |
|
_1_ |
О |
||
|
|
|
|
|
|
О |
|
||||
Var (2) = Т Var (у) V - TVT’ |
|
|
o f |
|
|
||||||
|
|
012 |
О; |
О |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
а2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
о 12 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Ох |
02 |
Т |
р! |
|
|
||
|
|
|
|
Ol2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Р |
U ’ |
|
|
||
|
|
|
|
щ а2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1К ром е того , |
есл и х |
— |
с к а л я р н а я |
в еличина , то t т а к ж е ск а л я р н а я |
вели ч и на и |
||||||
var (у) = var (tx) |
= t \ a r |
(x) t |
= /2var |
(x). |
|
|
|
|
|
||
3 |
67 |
причем символ р = ~~~ означает коэффициент корреляции между
и х2; иными словами, ковариационная матрица нормализованных коэффициентов равна корреляционной матрице. Заметим, что пере менные Zi и z2 имеют средние, равные нулю, и дисперсии, равные еди нице. В связи с этим их называют нормализованными или стандарти зированными.
Упражнения
1. Допустим, что х и у — это векторы-столбцы размера п-Х 1, а А и В — матрицы размера п X п. Какие из приведенных выражений являются неопре делимыми? Ограничимся теперь теми выражениями, которые можно определить; к какому виду они относятся (билинейные формы, квадратичные формы или линейные преобразования)?
а) у = Ах, |
|
б) х’ = у’В ', |
|
|
|||
в) ху'= А ’В, |
|
г) х'Ау, |
|
|
|
||
д) х’Вх, |
|
е) у'А'Ву, |
|
|
|
||
ж) у В х , |
|
з) ху' = В', |
|
|
|
||
и) у’В’Ах, |
|
к) |
у + |
| 40 |
|
АВ 'х при п = 2. |
|
2. Пусть в упражнении |
1 |
|
|
|
|
||
А = |
1 |
Г , |
в = |
3 |
6' , |
X — г |
и у = '3' |
|
2 |
1 |
|
4 |
8 |
2 |
4 |
Проверьте справедливость тех уравнений, которые можно определить; подсчитайте величину остальных определимых выражений.
3.Пусть
X = '*Г , у= "уГ х2_ Да.
а матрицы А и В — те же, что и в упражнении 2. Выполнив умножение, выпи шите выражения а, б, г, д, е, и из упражнения 1.
4.Пусть
|
|
|
|
|
|
|
” |
г |
|
г |
|
|
|
3 6 |
1 |
0 |
3 |
2 |
’ 1 |
. у= |
|
|
|
|
.2 1. , в = 0 — 1 — 1 |
. д: = |
|
—1 |
||||
|
|
|
1_ |
1 ? |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Покажите, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
'3 |
—2 7 |
8 " _ |
|
|
|
|
|
|
А 'В = |
|
13J’ ■ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
6 — 1 17 |
|
|
|
|
|
|
||
б) |
|
|
6 8 " |
6 — 8 |
10 |
20" = А В + А 'В : |
|
|||
[ А + А '\ В = 8 2 . В = |
8 — 2 |
22 |
18. |
|
|
|
||||
в) |
влед |
ВВ' |
равен |
следу |
В'В, |
т. е. |
17; |
|
|
|
г) х В'Вх = 5 — (Вх)' Вх\
д) у 'А 'А у = 10 =-■= (Ау)’ Ау.
68
5. |
П о к а ж и т е , что |
п р и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/1/6 |
1/1/3 |
|
1/1/2' |
. </ = |
'//] |
ИЛ' -- -Г2 |
|||
|
В — — 2/1/6 |
1/1/3 |
|
0 |
-1/3. |
|||||
|
. 1/1/6 1/1/3 —1/1/2. |
|
|
_*3„ |
||||||
а) В'В =■-- В В' = /; |
|
|
|
х = х\ |
+ х\ |
г х\ |
(рассчитайте с помощью |
|||
б) х'В 'Вх —- (В*)' |
Вх — х’ {В’В) |
|||||||||
указанных трех способов); |
|
х3у 3. |
|
|
|
|
||||
в) |
х 'В ’Ву == ххуг + х2у2 г |
|
|
|
|
|||||
6 . |
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ |
3 |
0 |
3 |
2 |
|
— 1 |
0 |
8 |
3 |
|
л = |
0 — 1 5 0 |
и В — 0 — 2 —7 —1 |
|||||||
|
— |
1 |
6 |
0 |
8 |
|
— 1 |
3 |
0 |
2 |
найдите А А ', В В ', АВ' и В Л ', кроме того, проверьте справедливость того, что
(А + В ) (Л + В)' = (Л + В) ( Л '+ В ') = Л Л ' + В Л '-|-Л В '-|-В В '= Л Л , +
150 —27 46~ + (Л В ')' + Л В ' + В В '= | —27 • 1 4 —37
46 —37 185
7.Покажите, что сумма следующих матриц
'3 |
8 |
8 " |
" 1 |
—1 |
3 ' |
8 |
7 —1 + |
— 1 |
2 |
4 |
|
_4 |
- 1 |
2 |
3 |
4 |
6 _ |
1редставляет собой симметрическую матрицу.
8 . Пусть
Л |
0 |
3~ |
" |
3 |
Л = 2 |
—1 |
0 |
и 8 = |
—4 |
0 |
4 |
1 |
_— 2 |
|
а) Расчлените Л и В следующим образом:
3 Г
2 — 1
|
О |
О |
Лц Л12
_Л21 л22
to
_В21
В12
В22
где Л21 и В21 имеют одинаковые размеры — 1 X 2 .
б) Подсчитайте Л В двумя способами (без расчленения на подматрицы и с рас членением), продемонстрировав тем самым правомерность умножения расчле ненных матриц.
в) Подсчитайте А В ', показав, что |
|
£/ _ |
В21 |
В12 В22 .
9.Произведите любым способом расчленение следующих матриц, при ко тором можно получить указанные произведения матриц. Определите эти произ
ведения, используя расчленение матриц и не прибегая к их расчленению; сравните полученные результаты.
Л |
1 |
0" |
, в = |
2 |
Г |
0 |
1 |
1 |
1 3 |
||
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
6 9