Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

и п р о и з в е д е н и е А В .

■ 4

Г

1

0

0

4"

б) с = —1

1 , D =

0

2

3

—5.

3)

ковариация между х1 и х2 равна 3, между хх и х3 — 1, между х2 и х , — 0 ;

4)

три случайные величины, представляющие собой линейные комбинации

переменных х, можно выразить следующим образом:

Ух =

Ч +

Зх2 —- 2х3,

У 2 =

7 *1 —

4 * 2 +

* 3 >

Уз =

— 2 * 1 — *2 +

4 * 3 -

а)

Напишите вектор

средних

и ковариационную матрицу переменных х.

б)

Напишите матрицу

Т, которая позволяет с помощью линейного преобра­

п о с л е д у ю щ е й с т а д и е й п р о и з в о д с т в а ,

н а

п р о д у к ц и ю п р е д ы д у щ е й , т а к что

у — А г ,

х

- By, w = Сх,

б)

Пусть количество излишних запасов на каждом этапе производства пред­

ставлено векторами w°, х°, у0

и г°. Составьте матричное уравнение, характе­

ризующее потребности в сырье как функцию от объема готовой

продукции.

14.

Примечание.

В этом упражнении

обозначения не совпадают с обозна­

чениями, приводимыми в остальных частях книги; они частично основаны на обо­

значениях, принятых в работе Коэна и Пога [2].

Марковиц [6 ] исследовал

ожидаемый

доход

(в процентах) на протяжении

некоторого периода и дисперсию дохода,

приносимого хранением п ценных

бумаг.

Пусть R p

означает доход, тогда ожидаемый доход составит

п

E ( R P) = 2 X t A i t

i= 1

где Xi

и Л; представляют собой скалярные величины;

Ai — ожидаемый доход

от ценных бумаг вида i; Xi — удельный вес вложений в этот вид бумаг в общей

сумме инвестиций.*Далее, если

a i;-

представляет собой ковариацию между

до­

ходами от бумаг вида i и /', причем i =f=j

(когда i = j,

ковариация с р а в н а

дис­

персии о/),

то дисперсия дохода, приносимого хранением ценных бумаг, равна:

Var (Яр) =

2 ^ X i O t j X j .

i = 1 / = 1

Пусть

X

—

{X i },

А =

{ А ^

и

В — { Oi j )

для

г,

/ —

1, 2......... п.

Напишите

выражения для

Е

( R p )

и Var ( R p ) ,

использовав

X ,

А

и В .

15

(продолжение упражнения 14). Допустим, что ожидаемый доход и кова­

риационная

матрица для трех

видов ценных бумаг составят:

0 ,1 0

_

0,04

0

—0,005 '

А' =

0,06

и В =

0

0,01

0

0,05

—0,005

0

0,0025

Определите ожидаемый доход и дисперсию дохода,

Е (Rp) и Var (Rp) при

а)

X'

=

[I

0

0 ];

б)

V'

=

[0 0

1];

в)

X'

=

[0

1

0];

г)

V'

=

[0,1

0,5

0,4].

16

(продолжение упражнений 14 и 15). Эффективная структура портфеля

ценных

бумаг

определяется

Марковицем

следующим

образом. Набор ценных

Обозначения

Шарпа — XiRiAiBiCiIQiRp

N.

Приводимые обозначения—

х* г* о; b; Cj d

р

га.

е. доход

В своей модели Шарп полагает, что случайную переменную г;, т.

(в процентах) от обязательства

вида г через единицу времени, можно

предста­

вить таким образом:

П = о; + bi d +

ci, i =

1, 2 ,

.... га,

где с помощью d обозначается индекс рыночной

конъюнктуры в следующий пе­

риод; этот индекс исчисляется по формуле

d

Т C/z-1-i*

Причем

а'

= К

а2... ап+1]

И

b — [bi Ь2... Ьп]

представляют собой векторы, содержащие параметры, а

с

= [Cj

с2... cn +il-

следовательно,

представляет собой дисперсию с П о с к о л ь к у Е (cn -p]) = О,

то Е (d) = ип + 1

и Var (d) = Var (cn+1) = qn+1.

ценных бумаг,

соответству-

Обозначим теперь через х; долю всего портфеля

П

ющую вложениям в бумаги вида i, причем ^ x i

=

1. Тогда доход,

приносимый

всеми ценнымибумагами

г—1

на протяжении предстоящего периода, составит:

п

Р = 2 ^ X i r i .

i = 1

Кроме того, введем

п

х;1+ х=

V *г бг и х'=Н.хТ

х2 ...х „ х,1+ 11.

г= 1

гх = 50 -)- 0,8d |-

с,,

100;

гг = 40 + 0, Id +

с2,

?2 = 60;