Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

тенденцию к росту). Чем больше абсолютное'значение коэффициента корреляции, тем сильнее взаимосвязь между переменными, причем экстремальные его значения —1,0 и 1,0 характеризуют полную линей­ ную зависимость между переменными.

Дарлинг и Ловел [3] в своем исследовании факторов, влияющих на инвестиции в запасы, определили коэффициенты корреляции между всеми парами следующих переменных: изменение общей величины хо­ зяйственных запасов (А/), степень использования производственных мощностей (С) и сумма совокупного оборота с поправкой на сезонность

(S). Коэффициенты корреляции представлены в табл. 3.

Коэффициент корреляции использования мощностей и изменения объема запасов (0,27) совпадает с коэффициентом корреляции объема запасов и использования мощностей; элементы матрицы расположены симметрично относительно диагонали. Так, коэффициент 0,27 выступает как элемент первой строки и второго столбца и как элемент второй строки и первого столбца. Свойствосимметричности относится ко всем элементам, не лежащим на диагонали. В результате этого эле­ менты любой строки совпадают с элементами соответствующего столб­ ца. Следовательно, транспонированная матрица равна самой матрице. Такая матрица называется симметрической; по определению она квад­ ратна.

Квадратная матрица определяется как симметрическая, когда она равна результату транспонирования, т. е. А симметрична, когда Л =

Всвязи с симметрией матриц мы можем сделать три вывода:

1.Произведение двух симметрических матриц существует только тогда, когда матрицы имеют один и тот же порядок; само произведение

не обязательно симметрично. Таким образом, если А — А ' и В = В ’, то А и В симметричны и, следовательно, квадратны. Для того чтобы существовало произведение АВ, они должны иметь один и тот же поря­

5 5

док. Транспонируем произведение матриц, предполагая, что они имеют одинаковый порядок:

(ЛВ)' = В'А ' = ВА.

Произведение АВ не обязательно симметрично. Пример. Пусть

Ясно, что ЛВ не симметрично.

2. Произведение матрицы и результата ее транспонирования сим метрично. Так,

(АА'У = (А')'А' = АА ',

(А'А)' = А' (А')' = А'А.

Хотя оба произведения АА ' и А ’А симметричны, они не обязательно равны друг другу.

Пример. Если

же порядка, дает скаляр и, следовательно, это произведение симметрич­ но, т. е. х'у = (х'у)' = у’х.

Пример. Если х' = [1 2 3] и у' = [4 3 7], то

х'у — 31 = у'х.

56

3. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Пусть имеются векторы

х' = [хх х2 х 3] и у' = [г/х у 2 г/3],

элементы которых суть скаляры. Рассмотрим произведение х'Ау, где Л — некоторая матрица третьего порядка. Например,

= г/i + 4х2 г/х + 2х3г/х + 2хх у2+ 7х2г/2—

—2х3у2+ Зхх //3+ 6х2г/3+ 5х3 г/3.

В результате получим функцию второй степени, в которой каждая из переменных х я у имеет первую степень, а каждый член содержит про­ изведение одного х и одного у. Такая функция называется билинейной формой.

Предположим, что у заменяется вектором х. Тогда

Мы получили квадратичную функцию переменных х, которая назы­ вается квадратичной формой. Приведенное разложение делает очевид­ ными два свойства. Во-первых, из уравнения (7) следует, что х'Ах — сумма произведений всех возможных пар хг, умноженных на элемент матрицы Л; например, второй член уравнения (7) 4х2хх есть произведе­ ние х2хХ) умноженное на элемент Л, находящийся во второй строке и первом столбце. Во-вторых, при упрощении выражения (7) видно (см. уравнение (8)), что, например, коэффициент при ххх2 есть сумма двух элементов матрицы Л — из первого столбца второй строки и вто­ рого столбца первой строки. Эти выводы имеют общий характер.

57

Если х — вектор порядка п с элементами хг (i = 1, 2, п) и если А представляет собой квадратную матрицу того же порядка, содержа­

Возвращаясь к нашему примеру, заметим, что подобно тому, как выражение (9) было получено из уравнения (8), оно так же может быть записано с помощью уравнения (10):

х'Ах = х\ -|- 7х2 5x1 -f- Х]Х2 (1 ~Ь 5) -f- Х]Х3 (1 -j- 4) -Ь х2х3 (0 -Ь 4).

При таком подходе мы видим, что произведение

где В отличается от Л. Заметим, что приведенные квадратичные формы идентичны, хотя соответствующие матрицы и не одинаковы. Действи­ тельно, матрица Л — не единственная матрица, с помощью которой можно представить некую конкретную квадратичную форму в виде х'Ах. Для этого могут быть использованы различные матрицы. Каждая из них должна иметь те же самые диагональные элементы и суммы каж­ дой пары симметричных относительно главной диагонали элементов atj и ад. Например, уравнение (9) может быть также выражено в виде

58

где А теперь симметрическая матрица и как таковая она единственная. Для любой квадратичной формы существует единственная симметри­ ческая матрица А, с помощью которой данная квадратичная форма мо­ жет быть выражена как х'Ах. В каждом частном случае она может быть найдена путем представления квадратичной формы х'Ах (где матрица

Ане является симметрической) в виде

х' Д м - М ') X,

где у {А + А') симметрична.

Например, если А — это матрица уравнения (11), то -^(Л + А') сим­

метрическая матрица уравнения (12).

Пусть А — симметрическая матрица, где ai} — ajt, тогда из урав­ нения (10) следует, что квадратичная форма х'Ах может быть выражена

Например, если А — симметрическая матрица, то

= вц x i -Ь а 22 х 2 + «зз *3 + 2 (а12 Xi х2+ %з хгх3+ а23х2х3).

Пример. Часто нам необходимо определить на основе данных эко­ номического обследования выборочную среднюю и дисперсию. Пред­ положим, вектор х' = [хх х2 х3 ...хп] характеризует п наблюдений. Тогда средняя арифметическая этих наблюдений равна:

П

2 *

х =

п

59