Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

Выборочная дисперсия s2 определяется через сумму квадратов откло­

В матричном виде первый член правой части уравнения (13) можно записать следующим образом:

где (/ — Un) есть симметрическая матрица порядка п, каждый диаго­

нальный элемент которой равен (l — ~J, а все недиагональные эле-

1

менты равны ——.

Квадратичная форма х'Ах, принимающая положительные значения при любых х, отличных от х = 0 (нулевой вектор), называется поло­ жительно определенной квадратичной формой. Если х'Ах принимает

ложительно полуопределенная иногда применяют термин неотрицатель­ но определенная. Когда х'Ах является положительно определенной формой, соответствующая матрица А также называется положительно определенной; если х'Ах — это положительно полуопределенная квад­ ратичная форма, то А есть положительно полуопределенная матрица.

Аналогично сказанному употребляются термины отрицательно опре­ деленная и отрицательно полуопределенная.

В приведенном примере сумма квадратов S5 может служить при­ мером положительно полуопределенной квадратичной формы, по­

60

скольку она никогда не может быть отрицательной (если все xt имеют одно значение, то сумма квадратов равна 0). Следовательно, х' (/ —

— Un)x есть положительно полуопределенная квадратичная форма, а (/ — Un) — положительно полуопределенная матрица. Эти термины часто встречаются в расширенных курсах математической статистики, в математическом программировании и соответствующих приложениях

кэкономике.

4.РАСЧЛЕНЕНИЕ МАТРИЦ

Пример. Предположим, что для определения потенциального сбыта нового продукта проводятся исследования рынка, охватывающие три района. Продукт выпускается двух сортов (высшего и стандартного); задано четыре возможных набора цен. Пробная продажа предусматри­ вала сбыт продуктов двух сортов в четырех зонах сбыта в пределах рай­ она, по одному набору цен на каждую зону. Число единиц продукта, проданных в ходе эксперимента в первом районе при четырех наборах цен, можно записать следующим образом:

180 30 70 90

А =

150 190 190 70 ’

где строки соответствуют сорту, а столбцы относятся к различным набо­ рам цен. Показатели сбыта для двух других районов, в которых про­ водились испытания, характеризуются матрицами А /и А 3. Аналогично этому количество проданного продукта при другом исследовании пред­ ставлено матрицами Вг>В 2 и В 3. Полная запись данных о сбыте может быть сделана с помощью матриц Alt А 2, А 3 и Въ В 2, В 3в виде сводной матрицы

Таким образом, матрица С, содержащая подробные данные о сбыте, имеет четыре строки и двенадцать столбцов. Однако она представлена как матрица, состоящая из шести матриц меньших размеров, каждая из которых имеет две строки и четыре столбца. В такой записи матрица С называется расчлененной матрицей, а матрицы А и В называются подматрицами С.

Пример. Рассмотрим матрицу

61

Матрица В теперь может быть записана в расчлененном виде:

^21 В22

где 5 и , В12, 5 21 и б 22 являются подматрицами 5.

В этом примере Вп и В21 имеют одно и то же число столбцов. Ска­ занное относится к В12 и 5 22; кроме того, у 5 Х1 и 5 12 одинаковое число строк. Совпадает число строк и у В21 и 5 22. Нами рассмотрен обычный

где К, L, М и N — это подматрицы, индексы которых указывают на их размеры.

Процесс расчленения не ограничивается делением матрицы только

при заданных ранее В21 и В22, то 5 в расчлененном виде может быть за­ писана как

В общем матрица А размером pXq может быть разбита на г строк и с столбцов подматриц

~ А1г А12 • • А1е

62

где A i} представляет собой подматрицу, находящуюся в i-й строке и /-м столбце матрицы А. Если г-я строка подматрицы охватывает p t строк элементов и /-й столбец подматрицы содержит qi столбцов, то A имеет размеры pt X q}, причем

ГС

1 ]Р г = Р и V q} = qt г < р и

/=1 /=1

5. УМНОЖЕНИЕ РАСЧЛЕНЕННЫХ МАТРИЦ

Расчленение матриц находит наибольшее применение в матричном умножении. Если две матрицы А и В так разбиты, что их подматрицы пригодны для перемножения, то произведение АВ может быть пред­ ставлено в расчлененном виде, причем подматрицы этого произведения оказываются функциями подматриц Л и Б.

Например, если

При умножении двух надлежащим образом расчлененных матриц подматрицы каждой из них выступают в качестве элементов обычного произведения матриц. Отдельные элементы этого произведения опре­

разбита на подматрицы следующим образом:

63