Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

П р и м ер .

Следствие. Если две строки определителя одинаковы, то определи­ тель равен нулю. Как только что было сказано, взаимная перестановка строк изменяет знак, но поскольку строки одинаковы, то величина оп­ ределителя не может быть изменена. Отсюда \А \ = — j А | , так что М I = 0.

в) ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ

Если скаляр Я есть общий множитель для строки (т. е. он входит в качестве сомножителя в каждый элемент, находящийся в строке), то он также является общим множителем определителя. Пусть Я — сомножитель /г-й строки. Тогда определитель может быть разложен по элементам этой строки и, таким образом, Я можно вынести как общий множитель из каждого члена разложения; иначе говоря, Я есть множи­ тель определителя. Вследствие этого определитель может быть записан с вынесенным из /г-й строки множителем, который записывается как множитель определителя.

Этот процесс может быть распространен на несколько строк одновре­ менно.

Из свойства вынесения общего множителя можно вывести три по­ лезных следствия.

Следствие 1. Если одна строка определителя кратна другой строке, то определитель равен нулю. Вынесение множителя приводит к тому, что определитель будет содержать две одинаковых строки. Отсюда он равен нулю.

80

П рим ер.

Следствие 2. Если определитель имеет строку, состоящую из нулей, то величина определителя равна нулю. Здесь нуль будет общим мно­ жителем одной строки и отсюда — общим множителем определителя, который также равен нулю.

Пример.

Следствие 3. Если А есть матрица размером пХ п и А, — скаляр, то определитель матрицы ХА есть Хп\ А | ; иначе говоря, \ХА | = Хп \ А |. В этом случае X является сомножителем каждой из п строк матрицы ХА. Если вынести X из каждой строки определителя, то остается | А |.

Пример.

г) ПРИБАВЛЕНИЕ КРАТНОЙ СТРОКИ

Прибавление к одной строке определителя другой строки, умножен­ ной на какой-либо множитель, не влияет на величину определителя. Например,

суммирование второй строки с четырехкратно увеличенной первой строкой не повлияет на величину | А | :

= 1 (29 —203)-3(12 —58)+ 2 (84 —58)= — 174+ 138 + 52 = 16.

Этот результат легко можно обобщить применительно к определите­ лю любого порядка, построив определитель | С | , где С есть матрица В, в которой к первой строке прибавлена вторая строка, умноженная на X. Таким образом, если

81

Этим свойством постоянно пользуются при разложении определи­ теля, при этом к одним строкам прибавляют другие, умноженные на положительный или отрицательный множитель. Так, в предыдущем

Если теперь мы добавим (—2) раза первую строку к третьей, то полу­ чим

Разложение по элементам первого столбца теперь весьма просто, так как два элемента этого столбца равны нулю:

Получен тот же результат, что и ранее. Путем повторного добавления одной строки, умноженной на какое-либо число, к другой мы можем преобразовать один столбец (не обязательно первый) так, что все его элементы, кроме одного, будут равны нулю. Тогда разложение по эле­ ментам этого столбца потребует определения только одного минора, который представляет собой определитель с порядком, меньшим на единицу, чем исходный определитель. В свою очередь найденный оп­ ределитель может быть также сокращен и так далее до тех пор, пока исходный определитель не станет кратным простому определителю 2x2. На каждом шаге добавление одной строки, умноженной на число,

82

к другим может быть сведено в одну операцию; например, в предыдущей иллюстрации шаги, представленные как (5) и (6), могут быть выполне­ ны одновременно, а форма (6) записана непосредственно на основе (4).

Этот процесс можно начать с любой строки. Например, рассмотрим в нашем примере процесс сокращения, базирующийся на третьей стро­ ке. Если третью строку (—21) раз добавить ко второй строке и (—2) раза к первой строке, то получим

В итоге разложение по элементам третьего столбца дает

что было получено и ранее. Выбор строки и столбца, необходимых для упрощения расчетов, зависит от результатов изучения определи­ теля. Например, при разложении

расчеты будут проще, если вторую строку с соответствующим множи­ телем прибавить к остальным строкам для того, чтобы свести к нулю первый и третий элементы второго столбца, чем проделывать то же самое с первой или третьей строкой.

Рассмотренные свойства могут быть полезны при вычислении опре­ делителей в бесконечном числе вариаций, причем эффективность этой процедуры, которая в любом конкретном случае сводит к минимуму объем затрачиваемых усилий, в значительной мере является делом практики. Этот метод может быть обобщен следующим образом. При добавлении строки с соответствующими множителями к другим стро­ кам определителя мы так преобразуем один из столбцов, что в нем ос­ тается только один ненулевой элемент. Тогда разложение по элементам этого столбца приводит только к одному ненулевому произведению эле­ мента на его минор, который является определителем, имеющим на еди­ ницу меньший порядок, чем исходный определитель. Последовательное применение этого метода сокращает определитель до величины, крат­ ной определителю порядка 2x2. Если на любом шаге эти сокращения приводят к тому, что у элементов строки появляется общий множитель, то его можно вывести в виде общего множителя определителя, а если они приводят к тому, что строка становится нулевой или две строки оказы­ ваются одинаковыми, то определитель равен нулю.

83