Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

Разложение по диагонали дает

| А + D | = £Л + ЬЧгг (Л) + ЬНг2 (Л) + btr3 (Л) + | Л | ,

где Л есть матрица размером 4x4, элементы которой равны а. Таким образом; | Л j и все миноры порядка 2 и выше равны нулю.

Отсюда

\ A + D \ = bi + b3 (4а) = (4а + b)b3.

7. ПРИЛОЖЕНИЕ

а) ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРАНСПОНИРОВАННОЙ МАТРИЦЫ

Л ' — транспонированная матрица Л, представляет собой такую матрицу, у которой столбцы являются строками исходной матрицы Л. Поэтому в разложении |Л' j по элементам первого столбца в соответствии с уравнением (2) берутся те же элементы, что и в первой строке Л, а зна­

должны быть транспонированными минорами по отношению к минорам, записываемым при разложении |Л j по, элементам первой строки. В этом и заключается единственная разница между | Л' | и | Л | . Эта раз­

*Вообще дополнительным минором для минора М в определителе | А | яв­ ляется минор, полученный из | А | вычеркиванием тех г строк и столбцов, в ко­ торых стоит минор М. — Прим, перев.

89

миноры второго порядка в [ А' | и А имеют одну и ту же величину. По­ скольку все знаки и все элементы, которые определяют коэффициенты

где | M Pj | есть минор элемента apj определителя | А \ . Рассмотрим те­ перь перестановку р-й строки со строкой р + 1. Обозначим новую мат­ рицу В.

Элементы строки р + 1 определителя | В | есть apj, где / — 1, ..., п. Однако они входят в (р + 1)-ю строку \В\, поэтому в разложении мы должны получить знаки (—1)<р+и+/. Кроме того, можно показать, что если строка и столбец, содержащие apj, удаляются из \ В\, то тем самым

i= i

Таким образом, перестановка двух смежных строк определителя изме­ няет его знак.

Мы должны теперь рассмотреть перестановку двух несмежных строк, чьи номера, допустим, равны р и р + q. Перенос строки р на место р + q может быть достигнут путем перестановки смежных строк. То, что было строкой р + q, станет строкой p-\-q — Т, сдвиг к месту стро­ ки р может быть достигнут за q — 1 перестановок смежных строк. Об­ щее число таких перестановок составляет 2q—1 и, следовательно, опре­ делитель умножается на (—1)2<?- 1 = —1 , т. е. знак определителя из­ меняется. Таким образом, перестановка двух любых (смежных или иных) строк определителя изменяет его знак.

а) ФОРМАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Как было отмечено в конце параграфа 2, определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов матрицы с соответствую­ щим знаком, причем каждое произведение содержит один и только один элемент из каждой строки и столбца матрицы. Кроме того, разложение по минорам, подобное (1) и (2), дает произведения с правильно простав­ ленными знаками тогда, когда миноры на каждом шаге последователь-

90

но получены с помощью одной и той же процедуры. Теперь мы дадим формальное определение определителя, заимствованное у Феррара [2]. Оно эквивалентно разложению на миноры, доказательство которо­ му приведено у Сирла [3].

из каждой строки и столбца Л и б) знак произведения определяется как

П

(—1)р при р = 2|П;. Напишем это произведение так, что i получат зна-

ной значок j запишем с индексом: ]\ (i= 1,2, ..., п — первые п целых чисел). Тогда tit определяется как число значений /, меньших, чем jit среди следующих за ним чисел.

Пример. При разложении

ряд чисел /ъ /2, /з, относящийся к произведению а12а23а31, будет равен:

и, следовательно, знак произведения «12^23^31 в \А \ будет

( - I f = +1 .

г) РАЗЛОЖЕНИЕ ЛАПЛАСА

При разложении определителя | А |

минор элемента ап есть | а22 а33 аи | *. Обобщение, которое легко про­ верить, заключается в том, что коэффициентом при | ап а221является + зз й441, а именно: в разложении | А | коэффициент при

* Напомним, что это сокращенная запись минора, введенная автором на с. 86. — Прим, перев.

91

есть

Аналогично коэффициент при ] ап а24 | есть | а 32 а431; коэффициент при

«и

дополнительным минором в | А \ к данному минору; он получен путем вычеркивания из определителя всех строк и столбцов, которые отно­ сятся к этому минору. Эта процедура — простое обобщение рассмот­ ренной ранее процедуры определения коэффициента при отдельном эле­ менте | А | при разложении определителя по элементам строки или столбца. В этом случае данный минор является одним элементом и его коэффициент в | А | есть | А | , в котором вычеркнуты строка и столбец, содержащие этот элемент. Для коэффициента при элементе atj в | А \ имеется множитель, определяющий его знак, который равен (—1)!'+;'. При разложении определителя множитель, определяющий знак коэф­ фициентов минора, представляет собой —1 в степени, равной сумме подписных индексов диагональных элементов выбранного минора. На­ пример, знаковый множитель коэффициента при |а 32 a43j будет равен, как только что было сказано, (—1)3+2+4+3 = -f-1. Дополнительный минор, умноженный на знаковый множитель, может рассматриваться как коэффициент при данном миноре. Кроме того, поскольку значение определителя равно сумме произведений элементов строки (или столб­ ца ) на их коэффициенты, то оно также равно сумме произведений всех миноров порядка т, которые могут быть получены из любого набора, содержащего т строк, причем каждый минор умножен на его коэффи­ циент, как это только что было определено. Это развитие метода раз­ ложения определителя по элементам строки до разложения его по ми­ норам нескольких строк впервые было открыто математиком XVIII в. Лапласом и поэтому носит его имя. Эйткеном [1] и Ферраром [2] были написаны работы, где приводятся доказательства справедливости дан­ ной процедуры; мы же здесь удовлетворимся общим изложением ме­ тода и примером, иллюстрирующим его применение. Разложение Лап­ ласа, примененное к определителю j А | порядка п, может быть осу­ ществлено следующим путем.

1. Возьмем любые т строк | А ]. Они содержат п\Цт\(п — /п)П миноров порядка т.

92