Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

д) ДОБАВЛЕНИЕ СТРОКИ К СТРОКЕ, УМНОЖЕННОЙ НА ЧИСЛО

мы показали, что | В \ — \ А \ . Заметим, однако, что добавление строки к другой строке, умноженной на число, не является тем же самым и приводит к иным результатам. Например, добавляя вторую строку к А раз взятой первой строке, получим определитель

Это происходит в связи с тем, что | С | получают из | А | путем умноже­ ния первой строки | А ] на А и добавления к ней второй строки. Первый из этих двух шагов, как было показано, изменяет | А | на А | А | , а вто­ рой не изменяет этой величины. Отсюда j С \ = А | А | .

Таким образом, в то время как строка, умноженная на число и до­ бавленная к строке, не оказывает влияния на определитель, добавле­ ние строки к строке, умноженной на число, имеет своим последствием то, что определитель оказывается умноженным на этот множитель.

4.СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Вобщем случае сумма двух определителей (или их разность) не мо­ жет быть записана в виде одного определителя:

- О.Ц а22—а12 а2г-Т Ьп 622—612 Ь21.

Эта сумма не может быть выражена через определители иначе, чем \А\ + | В \; например, она не может быть записана как | А + В | . То же самое можно сказать о разности | А \ — | В \ .

84

Так как определитель представляет собой скалярную величину, то оба выражения |Л| + | В | и | Л | — | Б | имеют смысл даже в том случае, когда Л и Б — квадратные матрицы разного порядка. Это свойство от­ лично от свойств матриц, для которых выражения Л + 8 и Л — Б имеют смысл только тогда, когда матрицы пригодны для суммирования (имеют один и тот же размер).

5. ПРОИЗВЕДЕНИЕ о п р е д е л и т е л е й

Можно показать, что, если Л и Б — квадратные матрицы одного порядка, то определители двух расчлененных матриц, включающих матрицы Л и Б, имеют следующий вид:

и

ЛО

где X — любая матрица того же порядка, что и Л, а О — нулевая мат­ рица (доказательство приведено в приложении к данной главе, см. раздел д).

|Л В |= |В Л |= |Л | |Б |.

Следовательно, мы приходим к важному выводу, согласно которому определитель произведения двух квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц.

85

6. ДИАГОНАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

Иногда расчет определителя может быть упрощен следующим обра­ зом: его матрицу представляют в виде суммы двух матриц, одна из ко­

нальная матрица есть квадратная матрица, у которой все недиагональ­ ные элементы равны нулю; см. параграф 6 главы I). Покажем, что определитель (А + D) может быть выражен в виде многочлена, состоя­ щего из элементов D.

Прежде всего введем сокращенные обозначения для миноров. Пусть

Обозначим теперь миноры с помощью только их диагональных ЭЛеМеН-

Аналогичным образом запишем минор третьего порядка:

86

Предположим теперь, что В есть сумма двух матриц 2X2:

Аналогичным путем этот результат может быть получен для определи­ теля 3x3:

Последнее выражение можно представить в сокращенной записи:

Рассматривая этот многочлен, заметим, что коэффициент при произ­ ведении всех х равен единице, коэффициенты у членов, содержащих про­ изведение двух х, являются диагональными элементами А, а коэффи­ циенты при х представляют собой миноры матрицы А второго поряд­ ка, у которых диагональные элементы совпадают с диагональными эле­ ментами | А |; наконец, независимый от х член равен самому определи­ телю | А | . Миноры А, играющие роль коэффициентов, а именно те ми­ норы, диагональные элементы которых совпадают с диагональными эле­ ментами | А | , называются главными минорами \ А \ .

Этот метод разложения известен как разложение по диагональным элементам или кратко — диагональное разложение. Он особенно эф­

87

фективен тогда, когда многие из главных миноров А равны нулю, по­ скольку в таком случае разложение | А + D | с помощью этого метода в значительной мере упрощается.

Пример. Если

Каждый элемент А равен 2, так что | А | и все миноры 2x2 равны нулю. Соответственно j В \, определяемое по формуле (11), состоит только из первых четырех членов:

| В | = 5 (6)7 + 5 (6)2 + 5 (7)2 + 6 (7)2 424.

Расчет определителя с помощью такого метода также эффективен

вслучае, когда все элементы диагональной матрицы/? равны друг дру­ гу, т. е. когда все величины х совпадают между собой. Разложение (11)

вэтом случае можно представить как

Пусть trx (Л) есть след матрицы А (напомним, что это — сумма диаго­ нальных элементов, см. параграф 6 главы I), а tr2 (Л) — сумма миноров второго порядка этой матрицы. Тогда выражение (12) может быть за­ писано в виде

Это выражение включает сумму всех возможных произведений г пе­

8 8