Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 149

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2. Выделив ряд миноров \ М\ , умножим каждый из них на допол­ нительные миноры и на знаковый множитель. Примем, что: а) дополни­ тельный минор минора | М | имеет порядок я — яг; этот минор получен вычеркиванием из j А \ т строк и столбцов, в которых стоит минор \М\, и б) знаковый множитель равен (—1)и, где р. — сумма подписных индексов диагональных элементов М; матрица А определена как А =

= {аи)> i, / = 1, 2,

я.

 

 

 

 

 

3. Сумма всех произведений равна | А [.

 

Пример. Разложим

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

0

0

 

— 1 ' 2 — 1

0

0

 

2

0

1

4

5

 

 

1

0

4

2

3

 

 

0

2

1

2

3

методом Лапласа,

базируясь

на первых

двух строках = 2). Эти

строки содержат десять миноров второго порядка. Однако семь из них равны нулю, поскольку они связаны со столбцами, состоящими из ну­

лей.

Отсюда | А | может быть представлен в виде суммы, содержащей

три

произведения,

включающих

три

ненулевых

минора размером

2x2

первых двух

строк,

а именно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + 1 + 2+ 2

1

 

4

5

 

 

 

|Л |= .( - 1 )

 

2

3

 

 

 

- 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м-1) ц- 1 + 2 + 3

 

 

 

4

5

 

 

 

 

 

 

 

2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

1 + 2 + 2 + 3

3

2

4

5

 

 

 

 

 

 

■ (-1)

1

2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1 0 2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знаковые множители слагаемых определены при условии, что Л =

{аи }.

Первый минор размером 2x2,

т. е.

1

2

 

соответствует

а 11

а 12

, что

дает знаковый множитель,

равный

(—i)w + 2+2_ д на.

а,

Я,

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После упрощения вы­

логично поступаем и с другими членами суммы.

ражение в целом имеет следующий вид:

 

 

 

 

 

 

1

4

5

 

Л

к

 

 

2

4

5

 

Л | =- 4

3

0

0

- 2 ( 2 )

4

О

+ ( - 8 )

1

0

0

= —24 —8+ 1 6

2

3

 

 

1

2

3

 

 

 

0

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

93


Следовательно, |Л | = —16. Разложение другим методом приводит к такому же результату.

Общепринято применять разложение Лапласа тогда, когда А может быть разбита на подматрицы, одна из которых является нулевой. При­ мер такого разложения показан в следующем разделе.

Ряд других методов нахождения определителя базируется на обоб­ щении разложения Лапласа. При этом последнее применяется не толь­ ко для разложения определителя на миноры и их дополнительные ми­ норы, но и для разложения самих этих миноров методом Лапласа. Мно­ гие из этих обобщенных методов разложения носят имена их создате­ лей, например, Коши, Вине—Коши, Якоби. Описание данных методов можно найти у Эйткена Ш и Феррара [2].

д) УМНОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Здесь приводятся доказательства результатов (7) и (8), приведенных в параграфе 5 данной главы. Оба они основываются на разложении Лапласа, которое только что было рассмотрено.

Пусть А и В — квадратные матрицы я-го порядка. Тогда разложе­ ние Лапласа дает

D I

О

А

-I

Л | | - / | ( - 1 ) г

 

В

где р — сумма подписных индексов диагональных элементов при усло­ вии, что D — {du }, i, j = 1,2, ..., 2я. Тогда

р — (1 + л + 1) + (2 + л + 2) + ... -f (л + n Т л) =

= 2(1 + 2 + ... + я) + л (я),

и поскольку

1 + 2 + --- +

л =

я (я +

1)/2,

 

мы получим

 

 

 

 

 

 

р = 2п (я +

1)/2 +

л2 =

я (2л +

1).

Подматрица I

имеет порядок я, поэтому | —/ | =

(—1)".

Таким образом,

 

 

 

 

| а 11 —1 1(— 1 ) р — | А | (— !)«+« (2/г+1) ^ | А | (— i)2«(n+D — | А |.

Следовательно, (7) доказано.

Подобно этому

 

поскольку при разложении Лапласа первые я строк левой части этого выражения равны его правой части. Следовательно, доказано и (8).

9 4


У п р а ж н е н и я

1.

Покажите, что

оба определителя

 

 

 

 

а)

1

5 — 5

 

 

— 3 2 — 6

равны —5;

 

 

 

 

3

2 — 5

И

— 3

5 — 7

 

 

 

 

6 — 2 — 5

 

 

— 2 3 — 4

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

2

 

6

5

 

 

 

2

—1

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2

 

7 —5

и

 

—1

 

7 2

равны

104;

 

 

 

2 —7

9

 

 

 

3 —21 2

 

 

 

 

 

 

 

в) 1 6 4 3

 

 

1 —1 —1 —1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 8

5 4

 

—1

 

1 —1 —1

 

равны — 16;

 

 

 

3 8 7 5

 

—1 —1 1 —1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 9 7 7

 

—1 —1 —1 1

 

 

 

 

 

 

 

г)

 

21

6

3 9

 

 

 

4

6 8

1

 

 

 

 

 

 

 

 

12

16 36

4

 

 

 

1 —7

2

3

 

4

 

 

 

 

 

 

13

10

19 5

 

 

 

2 — 8

12

7

 

равны

нулю.

 

 

1 93

81

6

 

 

 

7

9

17 27

- 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

3

6

2

37

 

 

 

 

2.

 

Покажите

и объясните почему

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

 

 

 

 

 

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

2 3 0

=

18,

однако

0

3 2

 

 

 

 

 

 

 

4 5

6

 

 

 

 

 

 

6

5 4

 

тогда

как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0

0

0

 

 

0

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3 0

0

 

 

0 0 3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 5 6

0

 

 

0 6

5 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 8

9

10

 

 

10 9

8

7

 

 

3.

 

Покажите,

что

 

 

 

1

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3 —1

 

5

= 432.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

9

 

1

25'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

27 —1 125

 

 

 

 

4.

 

Представьте

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

6 —А

3

 

1

 

в следующем виде: —А3 + 17А2—77А+ 78;

 

 

2

 

4 —А,

2

 

 

 

1

 

5

 

7—А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

2 — А —2

 

3

 

в следующем виде: —(X— I)2 (А, —2);

 

 

10

 

—4—А

 

5

 

 

 

5

 

—4

 

6 X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

■1—А -2

 

 

 

1

 

в следующем виде:

—A3 -J-10А-f-12.

 

 

—2

2 —А

—2

 

—1 - 2 — 1 - А


. Найдите значение следующих определителей с

помощью

разложения

на миноры и /или разложения. Лапласа, либо других

методов

разложения

рассмотренных в данной главе. Всюду, где возможно, используйте найденный результат для получения следующих выводов (например, матрица г есть транс­ понированная матрица б). Когда не требуется разлагать определитель на миноры (а в большинстве случаев дело обстоит именно так), объясните, с чем это связано-

найдите значение определителя.

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

1 4 1 8

 

 

б) 2 3 7

 

 

 

 

 

 

2

8

2

16

 

 

 

4

1

8

 

 

 

 

 

 

1

0

0

12

 

 

 

1

0

2

 

 

 

 

 

 

7

8

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

1

 

4

1

 

 

Г)

2

4

1

 

 

 

 

 

 

2

 

6

3

;

 

 

3

1 0

 

 

 

 

 

—1 —

7

 

 

 

7 8

2

 

 

 

 

 

2

 

о

7

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

1

8

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

2

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

— 1 — 3

1

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

2

 

1

2

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

8

 

12

— 1 __2

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е)

 

2

 

8

2

 

 

ж)

 

1

2

0

 

 

 

 

 

 

2

 

6

3

 

 

 

 

3

1

0

 

 

 

 

 

1

- 2

7

 

 

 

 

1

7

0

 

 

 

 

з)

1

0

7

 

 

 

и)

 

3

 

 

 

3

 

 

 

'

2

8

1

 

 

 

 

 

2

 

8

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

 

7

--1

 

 

 

к)

5

5

1

 

 

 

 

л)

1

3

2

 

 

 

 

 

 

3

1

0

;

 

 

 

 

1

7

2

*

 

 

 

 

 

7

8

2

 

 

 

 

 

1

4

2

 

 

 

 

 

м)

1

0

 

0

 

 

»)

 

0

 

0 - -1

 

 

 

 

0

2

 

0

 

 

 

 

0

 

2

 

0

 

 

 

 

0

0

- -1

 

 

 

 

 

1

 

0

 

0

 

 

 

о)

3 20 62

 

2 3 7"

2

 

8 2 '

 

 

 

 

 

2 22 67

4

1 8

2

 

6

 

3

 

 

 

 

 

0 4 16

 

1 0 2 ^ . —1 —2 7

 

 

 

 

п)

7

1 3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1 4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 7 8

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 . Покажите, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а + 6 + с

 

а + 6

а

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

а + 6

 

а + 6 + с

a

 

 

 

 

ci

 

с2

(4а+ 2 6 + с) (26 +

с).

 

 

а

 

 

a

a + 6 + с

 

 

а +

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

а

 

а-)- 6

 

а + 6 + с

 

 

 

96


7. В ы ч и с л и т е

7

6

6

6

6

6

 

 

 

 

 

6

7

6

6

6

6

 

3 2 1

18

9

6

6

7

6

6

6

и

2

13

13

5

6

6

6

7

6

6

4

29

31

17

 

6

6

6

6 7

6

 

2 —8 2 6

6

6

6

6

6

7

 

 

 

 

 

8 . Объясните, почему определитель диагональной матрицы равен произ­ ведению ее диагональных элементов. Справедливо ли это утверждение для тре­ угольной матрицы? Приведите примеры.

9. Не прибегая к разложению определителей, подберите значения х, которые удовлетворяли бы следующим уравнениям:

a)

X

 

X

X

 

6)

1

X

X 2

 

2

1

0

-=0;

 

1

2

4 = 0 ;

 

7

 

4

5

 

 

1

— 1

1

в)

4

x

x

 

 

r)

x

4

4

 

x

4

*

=

0;

 

4 x 4

 

 

x

x

4

 

 

 

4

4 x

10. Типичная транспортная задача заключается в определении схемы от­ грузки товаров с заводов-изготовителей на склады, причем каждый склад снаб­ жается более чем одним заводом. Предположим, что два завода, имеющие соот­ ветственно 10 и 25 единиц продукции, снабжают три склада, на которые следует отправить соответственно 15, 15 и 5 единиц. Обозначим через х;у число единиц продукции, отправляемой с предприятия i на склад /, тогда сумма отгружаемой

скаждого завода продукции описывается уравнениями:

+*12 + *1з = Ю;

*21 "1 *22 *23 — 25.

Кроме того, условия поставок на склады требуют, чтобы были удовлетворены следующие уравнения:

* и +

*21 =

15;

*12

*22

15;

*13 “Ь *23 =

5.

Обозначим

 

 

*' = 1*11 *)2 *13 *21 *22 *2.?1

И у ' = [10 25 15 15 5].

Тогда приведенные пять уравнений могут быть записаны как Ах -- у. При такой формулировке задачи:

а) напишите в развернутом виде матрицу А;

имеющих порядок 5, 4, 3,

б) возьмите любые пять подматриц матрицы А,

2 , 1, и покажите, что определитель каждой подматрицы равен либо + 1

или —1,

либо нулю. (В этом и заключается общее свойство транспортной задачи,

которое

обеспечивает целочисленные решения относительно

переменных х.)

 

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.A i t k е п А. С. (1948). Determinants and Matrices. Fifth Edition; Oliver and Boyd, Edinburgh.

2.

F e г г a r

W.

L. (1941). Algebra, a Text-Book of; Determinants,

Matrices

and Algebraic Forms. First Edition; Oxford University Press.

Wiley,

3.

S e a r 1 e

S.

R. (1966). Matrix Algebra for the Biological Sciences.

New York.

 

 

 

4 Зак 425