ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 149
Скачиваний: 1
2. Выделив ряд миноров \ М\ , умножим каждый из них на допол нительные миноры и на знаковый множитель. Примем, что: а) дополни тельный минор минора | М | имеет порядок я — яг; этот минор получен вычеркиванием из j А \ т строк и столбцов, в которых стоит минор \М\, и б) знаковый множитель равен (—1)и, где р. — сумма подписных индексов диагональных элементов М; матрица А определена как А =
= {аи)> i, / = 1, 2, |
я. |
|
|
|
|
|
3. Сумма всех произведений равна | А [. |
|
|||||
Пример. Разложим |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
0 |
0 |
|
— 1 ' 2 — 1 |
0 |
0 |
|||
|
\А |
2 |
0 |
1 |
4 |
5 |
|
|
1 |
0 |
4 |
2 |
3 |
|
|
0 |
2 |
1 |
2 |
3 |
методом Лапласа, |
базируясь |
на первых |
двух строках (т = 2). Эти |
строки содержат десять миноров второго порядка. Однако семь из них равны нулю, поскольку они связаны со столбцами, состоящими из ну
лей. |
Отсюда | А | может быть представлен в виде суммы, содержащей |
|||||||||||||
три |
произведения, |
включающих |
три |
ненулевых |
минора размером |
|||||||||
2x2 |
первых двух |
строк, |
а именно: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 + 1 + 2+ 2 |
1 |
|
4 |
5 |
||||
|
|
|
|Л |= .( - 1 ) |
|
2 |
3 |
||||||||
|
|
|
- 1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
■ м-1) ц- 1 + 2 + 3 |
|
|
|
4 |
5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
1 + 2 + 2 + 3 |
3 |
2 |
4 |
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
■ (-1) |
1 |
2 3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 0 2 3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Знаковые множители слагаемых определены при условии, что Л = |
||||||||||||||
{аи }. |
Первый минор размером 2x2, |
т. е. |
1 |
2 |
||||||||||
|
соответствует |
|||||||||||||
а 11 |
а 12 |
, что |
дает знаковый множитель, |
равный |
(—i)w + 2+2_ д на. |
|||||||||
а, |
Я, |
|||||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После упрощения вы |
||
логично поступаем и с другими членами суммы. |
||||||||||||||
ражение в целом имеет следующий вид: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
4 |
5 |
|
Л |
к |
|
|
2 |
4 |
5 |
|
|
Л | =- 4 |
3 |
0 |
0 |
- 2 ( 2 ) |
4 |
О |
+ ( - 8 ) |
1 |
0 |
0 |
= —24 —8+ 1 6 |
|||
2 |
3 |
|||||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
0 |
2 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
93
Следовательно, |Л | = —16. Разложение другим методом приводит к такому же результату.
Общепринято применять разложение Лапласа тогда, когда А может быть разбита на подматрицы, одна из которых является нулевой. При мер такого разложения показан в следующем разделе.
Ряд других методов нахождения определителя базируется на обоб щении разложения Лапласа. При этом последнее применяется не толь ко для разложения определителя на миноры и их дополнительные ми норы, но и для разложения самих этих миноров методом Лапласа. Мно гие из этих обобщенных методов разложения носят имена их создате лей, например, Коши, Вине—Коши, Якоби. Описание данных методов можно найти у Эйткена Ш и Феррара [2].
д) УМНОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Здесь приводятся доказательства результатов (7) и (8), приведенных в параграфе 5 данной главы. Оба они основываются на разложении Лапласа, которое только что было рассмотрено.
Пусть А и В — квадратные матрицы я-го порядка. Тогда разложе ние Лапласа дает
D I |
О |
А |
-I |
Л | | - / | ( - 1 ) г |
|
|
В |
где р — сумма подписных индексов диагональных элементов при усло вии, что D — {du }, i, j = 1,2, ..., 2я. Тогда
р — (1 + л + 1) + (2 + л + 2) + ... -f (л + n Т л) =
= 2(1 + 2 + ... + я) + л (я),
и поскольку |
1 + 2 + --- + |
л = |
я (я + |
1)/2, |
|
мы получим |
|
|
|
|
|
|
р = 2п (я + |
1)/2 + |
л2 = |
я (2л + |
1). |
Подматрица I |
имеет порядок я, поэтому | —/ | = |
(—1)". |
|||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
| а 11 —1 1(— 1 ) р — | А | (— !)«+« (2/г+1) ^ | А | (— i)2«(n+D — | А |. |
|||||
Следовательно, (7) доказано. |
Подобно этому |
|
поскольку при разложении Лапласа первые я строк левой части этого выражения равны его правой части. Следовательно, доказано и (8).
9 4
У п р а ж н е н и я
1. |
Покажите, что |
оба определителя |
|
|
|
|
|||||||||||||
а) |
1 |
5 — 5 |
|
|
— 3 2 — 6 |
равны —5; |
|
|
|||||||||||
|
|
3 |
2 — 5 |
И |
— 3 |
5 — 7 |
|
|
|||||||||||
|
|
6 — 2 — 5 |
|
|
— 2 3 — 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) |
2 |
|
6 |
5 |
|
|
|
2 |
—1 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
-2 |
|
7 —5 |
и |
|
—1 |
|
7 2 |
равны |
104; |
|
|||||||
|
|
2 —7 |
9 |
|
|
|
3 —21 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) 1 6 4 3 |
|
|
1 —1 —1 —1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 8 |
5 4 |
|
—1 |
|
1 —1 —1 |
|
равны — 16; |
|
|||||||||
|
|
3 8 7 5 |
|
—1 —1 1 —1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 9 7 7 |
|
—1 —1 —1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
г) |
|
21 |
6 |
3 9 |
|
|
|
4 |
6 8 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
12 |
16 36 |
4 |
|
|
|
1 —7 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
13 |
10 |
19 5 |
|
|
|
2 — 8 |
12 |
7 |
|
равны |
нулю. |
||||||
|
|
1 93 |
81 |
6 |
|
|
|
7 |
9 |
17 27 |
- 5 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
3 |
6 |
2 |
37 |
|
|
|
|
||
2. |
|
Покажите |
и объясните почему |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 0 |
= |
18, |
однако |
0 |
3 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4 5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
5 4 |
|
|||
тогда |
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 0 |
0 |
|
|
0 0 3 2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 5 6 |
0 |
|
|
0 6 |
5 4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 8 |
9 |
10 |
|
|
10 9 |
8 |
7 |
|
|
||
3. |
|
Покажите, |
что |
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 —1 |
|
5 |
= 432. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
9 |
|
1 |
25' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
27 —1 125 |
|
|
|
|
||||
4. |
|
Представьте |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) |
|
6 —А |
3 |
|
1 |
|
в следующем виде: —А3 + 17А2—77А+ 78; |
||||||||||||
|
|
2 |
|
4 —А, |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
5 |
|
7—А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
2 — А —2 |
|
3 |
|
в следующем виде: —(X— I)2 (А, —2); |
||||||||||||||
|
|
10 |
|
—4—А |
|
5 |
|
||||||||||||
|
|
5 |
|
—4 |
|
6 —X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) |
|
■1—А -2 |
|
|
|
1 |
|
в следующем виде: |
—A3 -J-10А-f-12. |
||||||||||
|
|
—2 |
2 —А |
—2 |
|
—1 - 2 — 1 - А
. Найдите значение следующих определителей с |
помощью |
разложения |
на миноры и /или разложения. Лапласа, либо других |
методов |
разложения |
рассмотренных в данной главе. Всюду, где возможно, используйте найденный результат для получения следующих выводов (например, матрица г есть транс понированная матрица б). Когда не требуется разлагать определитель на миноры (а в большинстве случаев дело обстоит именно так), объясните, с чем это связано-
найдите значение определителя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
||||||||
а) |
1 4 1 8 |
|
|
б) 2 3 7 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
8 |
2 |
16 |
|
|
|
4 |
1 |
8 |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
0 |
0 |
12 |
|
|
|
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
7 |
8 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
1 |
|
4 |
1 |
|
|
Г) |
2 |
4 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
6 |
3 |
; |
|
|
3 |
1 0 |
|
|
|
|
|||
|
—1 — |
7 |
|
|
|
7 8 |
2 |
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
о |
7 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
8 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
2 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
— 1 — 3 |
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
6 |
|
2 |
|
1 |
2 |
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
8 |
|
12 |
— 1 __2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) |
|
2 |
|
8 |
2 |
|
|
ж) |
|
1 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
6 |
3 |
|
|
|
|
3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
—1 |
- 2 |
7 |
|
|
|
|
1 |
7 |
0 |
|
|
|
|
|||
з) |
1 |
0 |
7 |
’ |
|
|
|
и) |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
' |
2 |
8 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
8 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
7 |
--1 |
|
|
|
||
к) |
5 |
5 |
1 |
|
|
|
|
л) |
1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
0 |
; |
|
|
|
|
1 |
7 |
2 |
* |
|
|
|
|
|
|
7 |
8 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
м) |
1 |
0 |
|
0 |
|
|
») |
|
0 |
|
0 - -1 |
|
|
|
|||
|
0 |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
- -1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
о) |
3 20 62 |
|
2 3 7" |
2 |
|
8 2 ' |
|
|
|
|
|||||||
|
2 22 67 |
— |
4 |
1 8 |
2 |
|
6 |
|
3 |
|
|
|
|
||||
|
0 4 16 |
|
1 0 2 ^ . —1 —2 7 |
|
|
|
|
||||||||||
п) |
7 |
1 3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 7 8 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
14 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 . Покажите, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
а + 6 + с |
|
а + 6 |
а |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
||||
|
а + 6 |
|
а + 6 + с |
a |
|
|
|
|
ci |
|
с2 |
(4а+ 2 6 + с) (26 + |
с). |
||||
|
|
а |
|
|
a |
a + 6 + с |
|
|
а + |
6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
а |
|
|
|
а |
|
а-)- 6 |
|
а + 6 + с |
|
|
|
96
7. В ы ч и с л и т е
7 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
7 |
6 |
6 |
6 |
6 |
|
3 2 1 |
18 |
9 |
||
6 |
6 |
7 |
6 |
6 |
6 |
и |
2 |
13 |
13 |
5 |
|
6 |
6 |
6 |
7 |
6 |
6 |
4 |
29 |
31 |
17 |
||
|
|||||||||||
6 |
6 |
6 |
6 7 |
6 |
|
—2 —8 2 6 |
|||||
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
8 . Объясните, почему определитель диагональной матрицы равен произ ведению ее диагональных элементов. Справедливо ли это утверждение для тре угольной матрицы? Приведите примеры.
9. Не прибегая к разложению определителей, подберите значения х, которые удовлетворяли бы следующим уравнениям:
a) |
X |
|
X |
X |
|
6) |
1 |
X |
X 2 |
|
2 |
— 1 |
0 |
-=0; |
|
1 |
2 |
4 = 0 ; |
|
|
7 |
|
4 |
5 |
|
|
1 |
— 1 |
1 |
в) |
4 |
x |
x |
|
|
r) |
x |
4 |
4 |
|
x |
4 |
* |
= |
0; |
|
4 x 4 |
|
|
|
x |
x |
4 |
|
|
|
4 |
4 x |
10. Типичная транспортная задача заключается в определении схемы от грузки товаров с заводов-изготовителей на склады, причем каждый склад снаб жается более чем одним заводом. Предположим, что два завода, имеющие соот ветственно 10 и 25 единиц продукции, снабжают три склада, на которые следует отправить соответственно 15, 15 и 5 единиц. Обозначим через х;у число единиц продукции, отправляемой с предприятия i на склад /, тогда сумма отгружаемой
скаждого завода продукции описывается уравнениями:
+*12 + *1з = Ю;
*21 "1 *22 *23 — 25.
Кроме того, условия поставок на склады требуют, чтобы были удовлетворены следующие уравнения:
* и + |
*21 = |
15; |
*12 |
*22 — |
15; |
*13 “Ь *23 = |
5. |
|
Обозначим |
|
|
*' = 1*11 *)2 *13 *21 *22 *2.?1 |
И у ' = [10 25 15 15 5]. |
Тогда приведенные пять уравнений могут быть записаны как Ах -- у. При такой формулировке задачи:
а) напишите в развернутом виде матрицу А; |
имеющих порядок 5, 4, 3, |
|
б) возьмите любые пять подматриц матрицы А, |
||
2 , 1, и покажите, что определитель каждой подматрицы равен либо + 1 |
или —1, |
|
либо нулю. (В этом и заключается общее свойство транспортной задачи, |
которое |
|
обеспечивает целочисленные решения относительно |
переменных х.) |
|
ЛИ Т Е Р А Т У Р А
1.A i t k е п А. С. (1948). Determinants and Matrices. Fifth Edition; Oliver and Boyd, Edinburgh.
2. |
F e г г a r |
W. |
L. (1941). Algebra, a Text-Book of; Determinants, |
Matrices |
and Algebraic Forms. First Edition; Oxford University Press. |
Wiley, |
|||
3. |
S e a r 1 e |
S. |
R. (1966). Matrix Algebra for the Biological Sciences. |
|
New York. |
|
|
|
4 Зак 425