Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

так как, если из второго столбца вычесть элементы первого столбца, умноженные на 1,5, в результате получится столбец нулей. Однако векторы иъ иг, и 3, фигурировавшие .в соотношении (6), независимы и, следовательно, образованный из них определитель не равен нулю:

0 1 0

1 0 0 — 1 .

0 0 1

Мы пришли здесь к самому важному выводу: в тех случаях, когда строки (или столбцы) квадратной матрицы зависимы, ее определитель равен нулю и обратной матрицы не существует; и напротив, если строки (или столбцы) квадратной матрицы независимы, определитель не равен нулю и обратная матрица существует.

Для того чтобы существовала линейная зависимость строк (или столбцов) матрицы, достаточно, чтобы по крайней мере одна строка (или столбец) представляла собой линейную комбинацию остальных. Иногда бывает очень трудно непосредственно проверить это, особенно

втех случаях, когда имеешь дело с матрицами большого порядка.

Ксчастью, существуют и другие способы выявления линейной зави­

симости.

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНО-НЕЗАВИСИМЫХ ВЕКТОРОВ

Попытаемся ответить на следующий вопрос: сколько независимы х векторов может содержаться в системе векторов? Следующая теорема показывает, что эта величина ограничена.

Теорема 1. Система линейно-независимых векторов порядка п не может содержать более п таких векторов1.

Следствие. Система из г векторов n-го порядка может быть ли­ нейно-независимой только в том случае, если г. <1 п.

Нулевые векторы (векторы, все элементы которых равны нулю) при этом автоматически исключаются, потому что любая система векторов оказывается зависимой, если только она содержит нулевой вектор. Допустим, например, что иг и и2 — ненулевые векторы, а и 3 — нуле­ вой вектор; тогда

О (%) + О (и2) -f- k 3u3 = О

при любых значениях k3. Поэтому, когда речь идет о линейно-неза­ висимых векторах, излишне упоминать о том, что все эти векторы нену­ левые: они должны'быть ненулевыми для того, чтобы быть линейно­ независимыми.

Заметим, что приведенная теорема носит общий характер. В ней не говорится о том, что существует некая единственная система из п независимых /г-мерных векторов, а лишь о том,'что любая система

Доказательство теоремы приведено в приложении к данной главе (см. раз­ дел а параграфа 12).

14 0

я-мерных векторов не может содержать более я векторов, если при этом предполагается, что они линейно-независимы. В действительности су­ ществует бесконечное множество таких систем, но ни одна из них не может состоять более чем из я векторов, оставаясь при этом системой независимых векторов.

висимых двумерных векторов, однако если мы включим в систему любой

гя другой двумерный вектор, например вектор ° , это сделает новую си-

о

стему векторов зависимой. Третий вектор можно будет представить в виде линейной комбинации первых двух, например,

стему; то же самое можно сказать и о системе трех трехмерных векторов. Во всех этих случаях векторы, образующие независимую систему, дол­ жны удовлетворять ранее приведенному определению. Но если три трехмерных вектора действительно независимы, тогда любой другой трехмерный вектор можно представить цак линейную комбинацию этих

Это выражение остается справедливым независимо от того, какие зна­ чения принимают а, b и с; другими словами, каждый трехмерный век­ тор может быть выражен в виде линейной комбинации независимых векторов, образующих эту систему. Вообще говоря, каждый я-мерный вектор можно представить в виде линейной комбинации из я любых я-мерных векторов, образующих независимую систему. Таким обра­ зом, максимальное число векторов, образующих независимую систе­ му, равно я, т. е. равно размеру векторов; это следует из теоремы 1 .

141

а

Пример. Вектор b можно выразить в виде линейной комбинации

где Я,х и Я2 представляют собой скалярные величины. Данную систему можно представить в следующем виде:

Поскольку же столбцы матрицы представляют собой независимые векторы, ее определитель не равен нулю, и, следовательно, имеют место следующие соотношения:

4. РАНГ МАТРИЦЫ

а) НЕЗАВИСИМЫЕ СТРОКИ И СТОЛБЦЫ МАТРИЦЫ

Теперь понятно, что определитель равен нулю в тех случаях, когда любая строка (столбец) матрицы представляет собой линейную комби­ нацию других строк (столбцов). Другими словами, определитель тогда равен нулю, когда строки (или столбцы) не образуют системы незави­ симых векторов. .Отсюда следует, что в тех случаях, когда строки зави­ симы между собой, столбцы не могут образовать систему независимых векторов. Теперь следует установить (для любой матрицы) соотноше­ ние между количеством независимых строк и независимых столбцов.

Теорема 2. Число независимых строк в матрице равно числу неза­ висимых столбцов, и наоборот1.

1Доказательство теоремы приведено в приложении к данной главе (см. раз­ дел а параграфа 12).

142

ставляют собой линейные комбинации первых двух:

Таким образом, в матрице А только два столбца независимы между собой, и, следовательно, в соответствии с приведенной теоремой мат­ рица имеет лишь две независимые строки. Действительно,

А равен г, т. е. что число независимых строк (столбцов) в матрице рав­ но г. Отметим некоторые следствия, проистекающие из данного опре­ деления ранга матрицы.

1.Ранг матрицы равен нулю только тогда, когда рассматривается нулевая матрица; во всех остальных случаях ранг матрицы представля­ ет собой положительное число.

2.Ранг прямоугольной матрицы Apxq не превосходит меньшее из двух чисел — р и q.

3.Ранг квадратной матрицы равен ее порядку или меньше его.

4.Если г (Л) == г, тогда матрица А содержит по крайней мере один

ненулевой минор порядка г, а все миноры более высокого порядка, чем г, равны нулю.

5. Если г (Л„) < п, то не существует A -1, a j А | равен нулю. Первые три вывода вытекают из определения ранга как числа не­

зависимых строк (столбцов) матрицы. Утверждение 4 также справедли­ во: действительно, из г (А) = г следует, что А содержит г независимых строк и г независимых столбцов; поэтому, вычеркивая все остальные строки и столбцы, мы получаем матрицу, определитель которой не равен нулю, а все миноры более высокого порядка, чем г, равны нулю, потому что по меньшей мере одну из строк минора можно представить в виде линейной комбинации г других строк. Утверждение 5 верно, по­ тому что из вывода 4 следует: при г<Сп \ А ]—0, а Л -1 не существует.

143