Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

Таким образом, первый элемент произведения Ах представляет собой сумму произведений atj, взятых из первой строки А, на соответствую­ щие элементы вектора х; аналогичным путем рассчитываются осталь­ ные элементы Ах. В общем случае произведение Ах, получаемое при умножении матрицы А на вектор-столбец х, это вектор-столбец, i-й член которого представляет собой сумму произведений каждого из элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы векто­ ра-столбца х.

Пример.

Из этого примера и из приведенного определения следует, что про­ изведение Ах существует только в том случае, когда число элементов в строках матрицы А (другими словами, число столбцов) равно числу элементов, составляющих вектор-столбец х. Если же это равенство со­ блюдается, тогда произведение Ах образует вектор-столбец, содержа­ щий столько же элементов, сколько строк насчитывается в матрице А. Следовательно, если в матрице А содержится г строк и с столбцов и по­ рядок вектора-столбца х равен с, тогда произведение Ах представляет собой вектор-столбец порядка г, причем i-й элемент этого вектора равен

С

2 a-ihXh при i = 1, 2, ..., г.

Й=1

Аналогичным образом определяется произведение х'Р. Оно сущест­ вует лишь в том случае, если число элементов вектора-строки х' равно количеству элементов в столбцах матрицы Р (т. е. равно числу строк этой матрицы), в таком случае произведение х'Р образует вектор-стро­ ку, содержащую столько же элементов, сколько столбцов насчиты­ вается в матрице Р. При этом произведение х'Р не равно Рх, по сущест­ ву, произведение Рх может и не существовать, несмотря на то, что су­ ществует произведение х’Р, и наоборот.

Пример. Анализируя продолжительность подписки на различные газеты, Диминг и Глэссер [2] охарактеризовали вероятности перехода подписчика от одной газеты к другой в зависимости от продолжитель­ ности подписки с помощью соответствующей матрицы. Приведем здесь упрощенный вариант ее:

31

В этой матрице вероятностей перехода данные сгруппированы по стро­ кам и столбцам в соответствии с продолжительностью подписки: до одного года, от одного года до двух лет, более двух лет и, наконец, ан­ нулирование подписки.

Предположим, что известно распределение 1000 подписчиков по этим категориям: 500 принадлежит к категории 1, 200—■ к катего­ рии 2 и 300 — к категории 3. Тогда вся группа, состоящая из 1000 подписчиков, может быть описана вектором-строкой

х' = [500 200 300 0].

Для того чтобы определить вероятное количество подписчиков в каж­ дой из этих категорий через год, умножим вектор-строку х' на матрицу вероятностей перехода Р:

Вектор, полученный в результате умножения, показывает, что из пер­ воначальной тысячи подписчиков через год 350, вероятно, будут при­ надлежать к категории 2, 430— к категории 3 и 220 — к категории 4.

о) УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ

Операцию умножения двух матриц можно представить просто как многократное умножение матрицы на векторы. Если мы хотим пере­ множить между собой две матрицы А и В, будем рассматривать матри­ цу В как набор векторов-столбцов. Тогда произведение АВ предста­ вит матрицу, составленную следующим образом: мы последовательно записываем друг за другом произведения матрицы А на каждый век­ тор-столбец, образующий В.

Пример. Если

мы можем полагать, что матрица В состоит из двух векторов-столбцов

32

Тогда, умножив матрицу А на каждый из векторов-столбцов, образую­ щих В, мы можем записать

Располагая эти векторы один за другим, получим произведение матриц

АВ:

полностью вся операция запишется следующим образом:

Указанный результат можно получить также путем перемножения эле­ ментов матриц А и В, двигаясь при этом по горизонтали — вдоль i-й строки матрицы А и одновременно — вниз по /-му столбцу матрицы В, а затем сложив между собой все эти произведения. Сумма произве­ дений соответствующих элементов образует ij-й элемент матрицы-про­ изведения АВ. Допустим, например, что, продвигаясь таким образом, мы последовательно умножаем элементы второй строки матрицы А на элементы второго столбца В\ сумма этих произведений будет составлять

3 X 2 + 1 х 1 + 1 X (—1) = 6 + 1 — 1 = 6.

Тогда элемент, стоящий во второй строке и во втором столбце матрицы, образующей произведение АВ, равен 6. Следовательно, легко видеть, что i-я элемент первого столбца в произведении АВ равен сумме про­ изведений, полученных в результате умножения элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы первого столбца матрицы В, а i-й элемент второго столбца АВ равен сумме произведений элемен­ тов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы второго столб­ ца Б.

После всего сказанного можно дать в общем виде строгое описание операции умножения матрицы на матрицу: ij-й элемент (т. е. элемент, стоящий на пересечении г-й строки и /-го столбца) произведения А В двух матриц А и В равен сумме произведений, получаемых в резуль­ тате умножения каждого элемента i-й строки матрицы А на соответст­ вующий элемент /-го столбца матрицы В. Из этого следует, что если

Тогда элемент, стоящий в произведении АВ на пересечении первой строки и первого столбца, можно получить путем перемножения соот­ ветствующих элементов первой строки А и первого столбца В и сложе­ ния полученных величин:'

1 X 0 + О X 1 + 2 x 2 = 4;

элемент, стоящий на пересечении первой строки и второго столбца АВ, равен

1 X 6 + 0 X 1 + 2 X 4 = 1 4 ;

элемент, стоящий на пересечении второй строки и третьего столбца А В, составляет

—1 X 1 + 4 X 2 + 3 X 4 = 1 9 .

Определив таким образом каждый из элементов, находим матрицу АВ:

Г 4 14 9 111

Определение произведения матриц АВ может иметь смысл только в том случае, когда выполнены некоторые условия, в частности, когда /-й столбец матрицы В (а следовательно, и все остальные ее столбцы) насчитывает то же число элементов, что и i-я строка матрицы Л (а сле­ довательно, и все остальные ее строки). Поскольку количество элемен­

34

тов в столбце м атрицы равно числу строк в ней (а количество элементов в строке равно количеству столбцов), это означает, что в матрице В должно быть столько же строк, сколько столбцов содержит матрица Л. Таким образом, произведение матриц АВ определено только в том слу­ чае, когда число столбцов в А равно числу строк в В. Можно отметить также (это явствует и из ранее приведенного примера), что произведе­ ние АВ содержит то же количество строк, что и матрица Л, и то же ко­ личество столбцов, что и матрица В.

Если число столбцов в А равно числу строк в В, матрицы назы­ ваются согласованными для умножения А на В, и ЛБ содержит столько же строк, сколько их насчитывается в матрице Л, и такое же количест­

то произведение АВ представляет собой матрицу размером г X s, а ее

С

i/'-й элемент равен 2 aikbhj. Следовательно, мы можем записать k=\

Подобное выражение означает, что ij-й элемент АВ равен сумме про­ изведений элементов i-й строки матрицы Л на соответствующие эле­ менты /-го столбца матрицы В, ij-й элемент АВ называется также скалярным (внутренним) произведением i-й строки матрицы Л на /-й столбец матрицы В. Следовательно, произведение матриц АВ можно получить, вычислив скалярные произведения каждой строки матрицы Л на каждый столбец матрицы В, причем скалярное произведение i-й строки Л на /-й столбец В образует i/'-й элемент произведения АВ.

Пример. Если

существует произведение АВ, потому что Л содержит два столбца и В— две строки:

Порядок произведения АВ равен 2x3. Заметим, однако, что произве­ дения ВЛ не существует, так как В содержит три столбца, в то время как в Л — только две строки.