Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

и вычеркнуть В ней Соответствующие столбцы (строки) нулей. Отме­ тим общность этой вычислительной процедуры: она может применяться и в том случае, когда число уравнений меньше числа неизвестных,

ив том случае, когда оно больше числа неизвестных.

6.ПРИЛОЖЕНИЕ

а) УРАВНЕНИЯ, ИМЕЮЩИЕ РЕШЕНИЯ

В параграфе 2 данной главы было показано, что совместные урав­ нения имеют решения. Докажем теперь обратное утверждение: урав­ нения, которые имеют решения, должны быть совместными.

В разделе б параграфа 2, выводя соотношение (3), мы исходили из предположения, что исходные уравнения совместны. В противном случае уравнение (3) имело бы следующий вид:

СА*

Предположим, что вектор х образует решение этого уравнения. Тогда

Умножив обе части уравнения (23) слева на С и подставив полученное выражение в (24), мы получим у 2 = Сух. Следовательно, уравнения (22) можно привести к виду:

отсюда следует, что исходные уравнения совместны.

6) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3

Теорема 3. Пусть А представляет собой матрицу ранга г, содер­

и Н = GA, получим решения уравнений Ах — у в виде х — Gy + (Н —

— I) г. Поскольку ранг матрицы (Я — I) равен q — г, вектор (Я — I) z при любых значениях z содержит только q — г произволь­ ных элементов. Остальные г элементов представляют собой линейные комбинации, составленные из этих q —■г элементов. Следовательно, существуют только q — г линейно-независимых векторов (Я — I) г.

Подставляя их в х, мы получим q — г линейно-независимых решений. Пусть эти решения имеют следующий вид: xt = Gy + (Я — I) zu где i = 1, 2, ..., q — г. Кроме того, х = Gy также образует решение

7 *

195

уравнений Ах — у. Предположим, что это решение линейно-зависимо от переменных хг. Тогда существуют такие скалярные величины kt (i принимает значения 1, 2, q — г), которые удовлетворяют (при условии, что не все kt одновременно равны нулю) следующему соот­ ношению:

Левая часть уравнения (26) не содержит г. Поэтому в правой части второе слагаемое должно быть равно нулю, откуда следует, что = 0. Поскольку же гг представляют собой независимые ре­ шения, их линейная комбинация может быть равна нулю лишь в том случае, если каждое число к 1 равно нулю. Но это противоречит пред­ положению о том, что соотношение (25) содержит отличные от нуля

kt. Поэтому вектор Gy не может быть линейно-зависим от хг, и, следо­

вательно, набор Xi (г = 1,2, ..., q — г) и Gy образуют систему, содер­ жащую q — г -|- 1 линейно-независимых решений.

в) ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ, СОСТАВЛЕННАЯ ИЗ ЭЛЕМЕНТОВ РЕШЕНИЯ

Линейные комбинации элементов решения, которые инвариантны относительно выбранных решений, находят широкое применение в некоторых методах статистического анализа (регрессия на условную переменную (0; 1) и ее эквивалентные формы, линейные статистические модели; см. главу XI). Поэтому приведем еще одну теорему, касаю­ щуюся линейных комбинаций элементов решения. Она принадлежит

будет инвариантна относительно выбранных решений тогда и только тогда, когда k'Я = k!.

Доказательство. Воспользуемся формулой решения системы, пре­ дусматриваемой теоремой 2, и умножим обе части формулы на k':

висит от выбора произвольного вектора г; поскольку же любое решение

может быть представлено в виде х = Gy + (Я — I) г, если подобрать соответствующие значения г, в тех случаях, когда k'H -^k' , произведе­

ние k'x при любом х равно k'Gy. Кроме того, если удовлетворяется

условие k'H — k ', произведение k'x = k'Gy будет иметь единственное значение, не зависящее от того, какую из обобщенных обратных мат­ риц мы выбираем в качестве G. Докажем это утверждение. Во-первых, в соответствии с теоремой 3 существует q — г + 1 линейно-независи­

196

мых решений, имеющих вид: х = Gy + (Я — I) z. Обозначим эти

решения через хг при i — 1, 2, q — r + 1. Далее предположим, что, воспользовавшись какой-то другой обобщенной обратной матри­ цей, скажем G*, мы получим решение:

х* = G*y + (Я* — I) z.

В таком случае, поскольку х* представляет систему, состоящую из

? —г-н ~

=£ l iXi,

7 = 1

причем не все множители Яг одновременно равны нулю. Кроме того, в соответствии с теоремой 4 = 1. Далее, так как k'Н = k! , равенст­

во k'xi = k'Gy справедливо при всех значениях i\ поэтому, умножив

Следовательно, какое бы решение х* мы ни выбрали, произведение k'x* равно k'Gy при условии, что k'H = k!. Теорема доказана.

то k'H = k' . Подставим теперь в произведение k'x значения решений

хх и х2, полученные из соотношения (18) при z2 = 1, z4 = 0 и г2 = О, z4 = 1:

k'xi = [1 2 1 3]

11

6'х2 = [1 2 1 3]

— 1..

Следовательно, при данном значении вектора k' произведение &'х4 всегда равно 6 независимо от того, какое решение х мы выбираем;

197

можно убедиться в этом, подставив в произведение k'x общий вид решения х, предусматриваемый соотношением (18):

—^4

какие бы величины z2 и z4 мы ни выбирали.

Значение к', при котором произведение k'x инвариантно относи­

тельно любых решений х, задается уравнением k'H = k '. В силу того, что матрица Я обладает свойством идемпотентности (Я2 = Я), можно записать решение уравнения к'Я = к' в следующей форме: k' — w'H, причем элементы вектора w' в этом решении могут принимать любые значения. Следовательно, положив к' — до'Я, мы получим равенство

k'x — w'Hx — w'HGy + w'H (Я — I) z = w’HGy —

= w'GAGy,

которое будет оставаться справедливым при любых значениях вектора w’. Поскольку Gy — решение уравнений Ах = у, то AGy = у. Сле­ довательно,

k'x = w'Gy.

Таким образом, при любых значениях вектора w и при к' = w'H произведение k'x = w'Gy будет представлять одну и ту же величину

независимо от выбора решений х. Так как г (Я) = г, уравнение k' — w'H позволяет получить систему линейно-независимых векторов k \ обладающих этим свойством. Выберем, например, два вектора,

скажем, к[ и k'2, в таком случае произведения к[х и k'2x различаются по величине, однако каждое из этих произведений будет сохранять

Подставим в формулу также значение вектора Gy, указанное в соот­ ношении (17):

198

Таким образом, мы видим, что при любых значениях wx и w3 вектор k', имеющий вид

k’ — \w3 2Wi w3 (6щ — Зш3)]

будет удовлетворять условию k' ~ k'H. Следовательно, произведе­

ние k'x инвариантно по отношению к различным решениям х. Какие бы значения ни принимали эти решения, произведение будет равно

чае из равенства (28) следует, что k'x, как и предполагалось ранее, равно 6.

г) ДРУГОЙ СПОСОБ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ

Изложенный метод вычисления матрицы G требовал предвари­ тельного дописывания в матрице А строк или столбцов, состоящих из нулей. Можно предложить также способ, предполагающий не­ сколько иное определение А- ; тогда отпадает необходимость в по­ вторном определении матриц А и G. Такая вычислительная процедура основана на том, что прямоугольные матрицы можно столь же легко привести к канонической форме с помощью эквивалентного преобра­ зования, как и квадратные матрицы. Однако в этом случае матрицы Р и Q имеют различный порядок. Поясним с помощью примера по­ рядок вычисления матрицы G.

Все последующие действия почти полностью совпадают с рассмотрен­ ной вычислительной процедурой.

199