Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

Прежде всего отметим, что скалярным аналогом векторного уравне­ ния Ах = 0 может служить уравнение ах = 0, где а и х — скалярные величины; ясно, что в этом случае либо а, либо х, либо оба эти числа должны быть равны нулю. Однако с уравнением Ах = 0 дело обстоит иначе, потому что, если А не является нулевой матрицей, часто суще­ ствуют ненулевые векторы х, удовлетворяющие условию Ах = 0.

Пример. Предположим, что в уравнениях (16) у = 0:

а — 8, 6 = —1, с = —3 и d — —1 — решение уравнений (19). Это же

общее решение можно получить в виде х = (Я — I) z, где z представ­ ляет собой произвольный вектор <7-го порядка. Ранг матрицы Я — I равен q — г, поэтому, когда г == q, матрица Я — / обращается в ну­

левую, следовательно, и решение — х==0, т. е. существует единственное решение х = 0. Если же г -< q, тогда решение имеет следующий вид:

х = (Я — 1) z, причем этот вектор может быть отличным от нулевого. Это означает, что уравнения Лх = 0 только тогда имеют ненулевые ре­ шения, когда ранг матрицы А меньше, чем число ее столбцов; в этом случае всегда будут существовать и ненулевые решения. Далее, поскольку ранг (Я — I) равен q — г, существует лишь q — г линейно­ независимых векторов (Я — I) z и, следовательно, только q — г линейно-независимых решений уравнений Ах = у\ напомним, что если у представляет собой ненулевой вектор, уравнения Ах — у имеют, в соответствии с теоремой 3, q — г ~|- 1 линейно-независимых решений.

Кроме того, принимая во внимание теорему 4, можно записать соотношение (14) в следующей форме: Ах* — 0 при у = 0. Отсюда

следует, что если даны решения xt, то и х* = 2 А.(х2будет решением исходных уравнений независимо от того, какие значения принимает Следовательно, любая линейная комбинация, составленная из ка­ ких угодно решений уравнений Ах = 0, также оказывается решением

этих уравнений.

Пример (продолжение). Уравнение (19) можно записать в следую­ щей форме:

1 9 0

Уравнение (19) имеет q — г — 4 — 2 = 2 линейно-независимых не­ нулевых решения. Подставив пары значений гг — 1; zi — 1 и г2 = 4, zi = —1, можно получить следующие решения уравнений (19):

И* 2 =

Любая линейная комбинация, составленная из этих решений, также образует решение. Например, вектор

—11, 64

—3, 88

представляет собой решение уравнений (19).

г) ОЕЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ (ПРИМЕР)

Теперь проиллюстрируем весь процесс решения линейных урав­ нений. Допустим, что уравнения Ах = у имеют следующий вид:

Преобразуем строки и столбцы матрицы А, воспользовавшись произведениями элементарных операторов:

191

В результате преобразований получаем

Вид А свидетельствует о том, что г (Л)=3, а последний элемент век­ тора Ру, как следует из наших вычислений, равен нулю. Таким обра­ зом, уравнения совместны, они могут быть решены.

Рассчитаем теперь матрицу Я:

где z представляет собой произвольный вектор; предположив, что z имеет следующую форму: z = [г2 г2 г3 ^4] (компоненты z — это ска­ лярные величины), можно получить такие решения:

153 — 9 zi

—15 z4

где z4 принимает произвольные значения.

0,4

4,6

0,2

0

192

если же z4 = —3, х2 =

Любое иное решение можно будет представить в виде линейной комби­ нации и х2, сумма необходимых для этих комбинаций коэффициентов будет равна 1, например, вектор

показаться, что такая процедура вычислений слишком длинна. Одна­ ко ее преимущества проявляются особенно отчетливо в тех случаях, когда число уравнений велико, скажем, когда приходится решать от 80 до 100 уравнений, каждый шаг в наших вычислениях предпола­ гает действия с матрицами, которые могут быть выполнены без затруд­ нений при любых размерах и при любом ранге матриц. Каждый из указанных шагов можно легко представить в виде программы для электронной вычислительной машины. Благодаря этому задача реше­ ния линейных уравнений сводится к простой вычислительной проце­ дуре, которая в.тех случаях, когда уравнения содержат сравнитель­ но малое число переменных, может быть выполнена с помощью на­ стольной вычислительной машины, а при большой задаче—с помощью более сложных электронных вычислительных машин.

5. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ

Поясним теперь, как решается такая система уравнений, у кото­ рой число уравнений не равно числу неизвестных (р Ф q).

Пример. Допустим, что система уравнений Ах — у имеет сле­ дующий вид:

■Дописав в матрице А нулевой столбец, перейдем к квадратной матри­ це. Тогда, проведя соответствующие преобразования с новой матрицей А, можно определить обобщенную обратную матрицу G. Действительно, если

то

Теперь переопределим матрицу G, вычеркнув из нее столько же нулевых строк, сколько в матрице А было дописано нулевых столбцов; в нашем примере для того, чтобы вернуться к первоначальной форме Л, следует вычеркнуть в G одну строку нулей. После этого матрица G, имеющая следующий вид:

будет представлять собой обобщенную обратную матрицу по отноше­

Перед, тем как решать уравнения, следует прежде всего проверить, совместны ли они. Переход к новому определению матрицы А не влия­

следовательно, уравнения совместны. Таким образом, эти уравнения можно решить. Отыскивая решение в той же форме, что и раньше, подставим в формулу числовые данные:

3

x = Gy-\-(H—I)z =

1

Исходные уравнения, которыми пользуются в этом примере, имеют только одно решение, поскольку Н — / = 0 и q — г-1- 1 = 2 —

— 2 + 1 = 1.

Суть этого метода можно изложить в нескольких, словах: если Л представляет собой прямоугольную матрицу, следует расширить ее до квадратной, приписав недостающие нулевые строки (столбцы). Затем, построив обычным способом обобщенную обратную матрицу, вычеркиваем из нее столько нулевых столбцов (строк), сколько строк (столбцов) было приписано в Л.

Если размер исходной матрицы Л был равен р X q, то размер обобщенной обратной матрицы G равен q х р; в последующих вычис­ лениях можно воспользоваться теми же свойствами G и той же про­ цедурой решений уравнений Ах = у, что и раньше. Таким образом, последовательность вычислений чрезвычайно проста: надо только дописать строки (столбцы) нулей в матрице Л, затем вычислить G

194