Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

Векторы, образующие такую совокупность, называются линейно­ независимыми решениями.

Вместе с тем между решениями, полученными с помощью теоремы 2 (применяется обобщенная обратная матрица) и с помощью формулы

(9) (применяется расчленение матриц), существует важное различие, связанное с объемом требующихся вычислений. В одном случае (ре­ шение по формуле (9)) приходится выбирать строки и столбцы А, из которых удастся составить невырожденную подматрицу Alt тогда как в другом случае (по теореме 2) требуется только рассчитать обоб­ щенную обратную матрицу. Вторая задача предполагает несколько меньший объем вычислительных операций, потому что, если число

грамму вычисления обобщенной обратной матрицы, чем п р о гр а м м у отбора строк и столбцов, образующих Лх.

6) НЕЗАВИСИМЫЕ РЕШЕНИЯ

Мы отыскали способ решения системы линейных уравнений и по­ казали, что при этом может возникать ситуация, когда уравнения имеют бесконечное множество решений. В связи с этим встают следующие вопросы:

1. В какой мере полученные решения можно считать линейно­ независимыми?

2. Как эти решения соотносятся между собой?

Поскольку каждое из решений представляет собой вектор р'-го порядка, то, конечно, в принципе может существовать не более q ли­ нейно-независимых решений. На самом деле число решений оказы­ вается меньше, об этом говорит следующая теорема.

Теорема 3. Пусть Л представляет собой матрицу ранга г, содер­ жащую q столбцов, а у — ненулевой вектор; в таком случае совмест­ ная система уравнений Ах — у имеет q — г + 1 линейно-независимых решений.

В ходе доказательства этой теоремы1 будет показано, что из общего

решения х = Gy + (Я — I) z можно получить q — г линейно-неза­ висимых решений с помощью q—г линейно-независимых векторов г; еще одно линейно-независимое решение получается, если положить г — 0, т. е. если предположить, что х = Gy. Все остальные решения могут быть представлены в виде линейных комбинаций, составленных из указанных независимых решений. Заметим, что эта теорема непри­ менима в случае, если у представляет собой нулевой вектор, этот слу­ чай рассматривается особо (раздел в параграфа 4).

1 См. приложение к данной главе, раздел б параграфа 6 .

1 8 6

Пример (продолжение). Векторы хъ х2 и х 3, имеющие следующий

представляют собой решения уравнений (1). Поскольку в этой системе уравнений q = 3 и г = 2, она содержит 3 — 2 -|- 1 = 2 линейно­ независимых решения. Можно показать, что любые два из трех при­ веденных решений линейно-независимы и, следовательно, третий вектор представляет собой линейную комбинацию двух других, на­

пример, х 3 = Зхх — 2х2. Следующая теорема указывает способ, с по­ мощью которого часть решений можно представить в виде линейной комбинации других решений.

Теорема 4. Пусть хъ х2, •••, xs представляют собой любые s ре­ шений совместных уравнений Ах — у, причем у Ф 0; в таком случае

Допустим, что х* представляет решение Ах = у, так что Ах* = у , тогда, сравнивая это выражение с равенством (15), мы можем сделать

довательно, сколько бы решений (линейно-зависимых или независи­ мых) мы ни рассматривали, любая их линейная комбинация также будет решением, если только выполняется условие, требующее, чтобы

187

сумма коэффициентов, необходимых для этой комбинации, была равна единице.

Пример (продолжение). Ранее отмечалось, что вектор х 3 = =--; Зхг — 2х2 также образует решение уравнений (1) и что сумма коэф­ фициентов при вычислении х 3равна 3 — 2 = 1. То же самое относится к векторам х4 и х5, имеющим следующий вид:

хА= 0,73х2 -j- 0,27хх;

х5 - 0,23л'! -f 0,45х2 -|- 0,32х3.

Читатель может полностью выписать эти векторы и непосредственно убедиться в том, что они также образуют решения уравнений (1).

Пример. Предположим, что заданы следующие уравнения:

В таком случае можно привести матрицу А к диагональному виду с по­ мощью следующих произведений элементарных операторов:

В результате преобразований получаем матрицу Д:

"1 0 0 0 "

PAQ —Л=

0 5 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Следовательно, ранг матрицы А равен 2; и поскольку

4 А

0

исходные уравнения совместны (последние q—г элеменов втектора Ру равны нулю). Обобщенная обратная матрица будет иметь следующий вид:

188

Решения уравнений можно представить теперь в следующем виде:

х=- (л/-|-(Я—I)z =

Все остальные решения представляют собой линейные комбинации

хи х2, х 3.

в) УРАВНЕНИЯ Лх—О

Две приведенные теоремы применимы лишь в тех случаях, когда у не является нулевым вектором. Рассмотрим теперь систему Ах = О, т. е. частный случай уравнений Ах = у, когда все элементы вектора у равны нулю.

189