Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

= [а а 0,8а], где а — произвольная скалярная величина. Другими словами,

Из сказанного можно сделать следующий вывод. Если вектор имеет вида/ = [а а 0,8 а], то прнлюбых значениях а вектор распределения машин по срокам службы не будет меняться в зависимости от времени, ибо ut+1 = щ и ut+n = щ при любых положительных п. Это озна­ чает, что всякий парк автомобилей, внутри которого число машин, служащих первый год, совпадает с числом машин, служащих второй год, а количество машин, служащих третий год, составляет 80% этой величины, будет все время сохранять стабильную структуру.

Ранее уже отмечалось, что принятые в модели предположения ис­ ключают возможность какого-либо увеличения общего количества ав­ томобилей. Перейдем теперь к модели, предусматривающей такую возможность. Допустим, что численность населения и средний размер национального дохода, рассчитанный на душу населения, с течением времени увеличиваются, причем темпы роста этих величин более или менее постоянны. Допустим далее, что в такой ситуации производство «дополнительных» новых автомобилей (разность между общими раз­ мерами годового производства и числом машин, вышедших из строя на протяжении года) будет пропорционально наличному запасу автомо­ билей. В предшествующей модели размеры производства, которые позволяли заменить все автомобили, выбывшие из строя в t-м году, определялись следующим образом: элементы первой строки в матрице

рост численности автомобилей пропорционален всему их наличному

нальности б (скалярная величина) характеризует темп прироста общего числа автомобилей. В таком случае совокупное производство

В соответствии с предположениями новой модели общая числен­ ность автомашин должна из года в год увеличиваться, поэтому теперь мы уже не можем исходить из того, что ut в любой момент времени окажется равным и Но можно так сформулировать вопрос: всегда ли щ равен Xut? Другими словами, может ли значение вектора рас­ пределения машин по срокам службы в любом году равняться значе­

311

нию этого вектора в предшествовавшем году, умноженному на один и тот же постоянный множитель. Положительный ответ на этот воп­ рос означал бы, что существуют вектор и и множитель X, удовлетво­ ряющие соотношению щ — Ащ_г — Xut- x. Тогда возникает следую­ щий вопрос: как найти вектор и, удовлетворяющий условию Аи — = Хи, и каково может быть значение множителя № Характеристи­ ческое уравнение, как и в предыдущем случае, имеет вид | А —XI | = 0; подставив в него соответствующие значения, приходим к следующему выражению:

аможет принимать любые значения. Предположим, например, что

б= 0,2. В таком случае матрица А принимает вид:

0,2 0,4 1,2 А 1 0 0

00,8 0

ахарактеристическое уравнение выглядит следующим образом:

X3— 0,2 X2 — 0,4 X — 0,96 = 0.

Характеристический корень приведенного уравнения X = 1,2, а со-

ответствующии характеристический вектор равен |-g- a -g-J . Из сказан­

ного можно сделать вывод: если вектор распределения машин по срокам

службы в начальный момент имеет вид | а -д-|, то в последующие годы

структура автомобильного парка при любых значениях а будет оста­ ваться неизменной, соотношения между машинами с годовым, двух­ летним и трехлетним сроками службы все время будут соответст­

венно равны g : 1 : |, а прирост общей численности машин составит

20% в год.

2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ВЕКТОРЫ

Рассматривая в предшествующем примере структуру автомо­ бильного парка, мы предполагали, что щ = Aut-X= Л2а ^ 2 — ... =

— А*и0, где и0 — начальное значение вектора распределения машин по срокам службы. Тогда, если предположить, что вектор и0 нам дан, можно вычислить значение вектора ut, возведя матрицу А в степень t и затем умножив ее на м0; однако при больших t последовательное умножение матрицы Л может потребовать немалого труда. Предполо­ жим, что существуют некая матрица U и диагональная матрица D, удовлетворяющие соотношению Л = UDL/-1. В таком случае

Л2 = ЛЛ = UDU~l UDU-1 = UDW-1

3 1 2

и, вообще говоря, для любого целого положительного числа t спра­ ведливо следующее равенство:

= (UDU-1)1= UD‘ U-1.

Таким образом, вектор щ в выражении

ut = А1и0== UD* U_1 «о

может быть вычислен более простым путем: если удастся построить U и f/-1 с помощью характеристических векторов матрицы А , тогда по­ требуется лишь возвести в степень диагональную матрицу D. Перейдем теперь к вопросу о том, как построить матрицу U.

Для того чтобы отыскать характеристические векторы матрицы, нужно прежде всего решить характеристическое уравнение и полу­ чить характеристические корни. В зависимости от того, что представ­ ляют собой характеристические корни, мы выбираем способ построе­ ния характеристических векторов. На этой стадии можно столкнуться с двумя случаями: когда все характеристические корни различаются между собой и когда существуют кратные корни.

а) СЛУЧАИ, КОГДА ВСЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОРНИ РАЗЛИЧНЫ

Когда все характеристические корни матрицы различны, соответ­ ствующие характеристические векторы образуют линейно-независи­ мую систему векторов1. Записав характеристические векторы в каче­ стве столбцов матрицы U:

U = [иг и 2 ... ип),

мы получим квадратную матрицу n-го порядка. Поскольку столбцы в ней линейно-независимы, г (U) = п, и, следовательно, U — невырож­ денная матрица и существует t/-1. Тогда, переписав систему урав­ нений

Доказательство этого утверждения см. в работе Сирла [9, с. 167]. (В нашей литературе доказательство данной теоремы приводится, например, в кн.: Г а н т * м а х е р Ф. Р. Теория матриц. М., «Наука», 1967. — Прим, иерее.)

313

где D — диагональная матрица п-го порядка, ненулевые элементы которой образованы характеристическими корнями %2, ..., %п. Следовательно,

Соотношения (7), как указывалось, позволяют (если удалось опре­ делить U и U-1) упростить технику возведения в степень матрицы

= UD-*U-1.

Пример. Пусть состояние машины в начальный период описывается вектором Хо= [х01 х02], где х01 означает вероятность того, что машина удовлетворительно работает в начальный период, а х 02— вероятность того, что в указанный период потребуется наладка машины. В ходе предшествующего изложения уже было показано (раздел г параграфа 5 главы II и параграф 1 главы VIII), что состояние машины спустя п периодов описывается произведением вектора начального состояния на п-ю степень матрицы вероятностей перехода Р:

х'п = х'0 Рп.

*В нашей литературе квадратная матрица А называется подобной матрице В в том случае, если существует невырожденная матрица Т, удовлетворяющая условию В = Т ~1АТ. Если при этом В представляет собой диагональную матри­ цу, то ее часто называют канонической формой матрицы А. — Прим, перге.

Характеристические корни могут быть как комплексными, так и действи­ тельными числами (см. раздел в параграфа 7).

314

Если матрица Р приводится к канонической форме, полученной на основе подобия (Р — UDU'1), тогда эта матрица в п-й степени будет равна:

Рп = и п п и - 1,

где

Х4 О

Dn

О ь».

Такой метод вычислений часто оказывается проще, чем возведение в п-ю степень путем последовательного умножения матрицы.

б) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ВЕКТОРОВ В ТОМ СЛУЧАЕ, КОГДА ВСЕ КОРНИ РАЗЛИЧНЫ

Ранее мы показали, что для каждого Xit являющегося решением ха­ рактеристического уравнения, должно выполняться соотношение (4) Alii — KiUi и, следовательно,

Таким образом, Xt могут быть определены в результате решения харак­ теристического уравнения | А — XI | =0. Поскольку | А — XJ | = 0, уравнение (9) будет иметь п — гг линейно-независимых решений от­

собой частный случай теоремы, приведенной в следующем параграфе). Поэтому уравнение (9) может иметь лишь одно независимое решение относительно « г. Для того чтобы отыскать это решение, придадим одно­ му из элементов вектора ut в уравнении (9) произвольное значение и ре­ шим новую систему уравнений относительно остальных п — 1 эле­ ментов. Последовательно отыскивая решения уравнений (9) при каждом из значений Xt, мы в результате получаем соответствующие векторы и*.

Пример. В нашем исходном примере матрица Л имела следующий

315