Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

Эта глава, рассматривающая ряд специальных проблем, имеет спра­ вочный характер. В ней те же обозначения, что и раньше; такая методи­ ка изложения рассчитана на читателей, желающих совершенствовать свои знания в области матричной алгебры. Изучение материала, при­ веденного в данной главе, поможет более глубоко разобраться в содер­ жании предшествующих разделов книги. Поэтому читатель, уже зна­ комый с основными положениями матричной алгебры, возможно, соч­ тет целесообразным затратить на изучение специальных вопросов боль­ ше времени, чем новичок, начавший осваивать этот курс.

1.НОРМИРОВАННЫЕ ВЕКТОРЫ И ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ

Впараграфе 5 главы V было приведено определение ортогональной матрицы: это квадратная матрица, которая при умножении на свою транспонированную дает единичную матрицу. Такая матрица облада­ ет рядом интересных свойств. Прежде чем перейти к их обсуждению, приведем некоторые определения, которые помогут подвести чита­ теля к понятию ортогональности.

Нормой вектора называется значение квадратного корня из суммы квадратов элементов этого вектора. Допустим, например, что дан век­ тор х' — {%г} (г — 1,2, ..., п), тогда норма вектора х записывается сле­

ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, иначе говоря, если х’у = у'х = 0, то х и у ортогональны. Если к тому же оба вектора нормированы, их называют ортонормированными. Таким об­ разом, если х х — 1, у ’у = 1 и х'у = 0, из этого следует, что х н у ортонормированы. Можно без труда распространить это определе­ ние на совокупность векторов zlt z2, z s... Если все эти векторы норми­ рованы, т. е. z'[ Zi = 1 при каждом значении г, и если они попарно ортогональны, т. е. г\ Zj = 0 при всех i Ф /, то они образуют ортонор-

мированную систему векторов.

349

В тех случаях когда, строки квадратной матрицы образуют ортонормированную систему векторов, матрица ортогональна. Рассмотрим матрицы

Vх[

*2

Ли А '= [Хг

нальна. Далее, если строки квадратной матрицы ортонормированы,

стве ортогональности применительно к матрицам, нельзя ограничивать­ ся условиями, относящимися к ортогональности любой пары векторов. Ортогональность матрицы требует не только попарной ортогонально­ сти строк (и столбцов), но и того, чтобы строки (и столбцы) матрицы представляли собой нормированные векторы. Далее перечисляются некоторые свойства ортогональных матриц:

1.Скалярное произведение любой строки (столбца) ортогональной матрицы на себя равно 1, а ее скалярное произведение на любую дру­ гую строку (столбец) равно нулю.

2.Произведение, полученное в результате умножения одной орто­ гональной матрицы на другую, тоже является ортогональной матрицей: из ортогональности матриц А и В следует, что А А' = ВВ' = /, и, преобразовав произведение (АВ) (АВ)', видим, что оно равно 1.

3.Определитель любой ортогональной матрицы равен либо +1, либо —1. В справедливости этого вывода можно убедиться, вычислив

матрицы, тогда и ^ также образует характеристический корень этой

матрицы. Докажем это утверждение. Характеристическое уравнение

следствие: все ортогональные матрицы нечетного порядка имеют по крайней мере один характеристический корень, равный +1 или —1; если при этом имеются другие корни, то они образуют попарные зна-

чения к и

350

Такая матрица имеет квадратную форму, а каждый из ее элементов, лежащих по одну сторону диагонали, равен соответствующему эле­ менту по другую сторону диагонали, взятому с обратным знаком, при этом диагональные элементы равны нулю. Если порядок кососимметри­ ческой матрицы равен нечетному числу, ее определитель равен нулю и для нее не существует обратной матрицы. Если же порядок кососим­ метрической матрицы равен четному числу, ее определитель представ­ ляет собой квадрат некоторого выражения, составленного из ее эле­ ментов*, а ее обратная матрица тоже кососимметрическая. Любую

Подробный разбор и доказательство этих утверждений предостав­ ляем в качестве упражнения самому читателю.

2. МАТРИЦЫ, ВСЕ ЭЛЕМЕНТЫ КОТОРЫХ РАВНЫ МЕЖДУ СОБОЙ

Во многих случаях матрицу можно расчленить на подматрицы, каж­ дая из которых содержит одинаковые элементы. Кроме того, иногда более сложную матрицу удается представить в виде линейной функции от таких матриц. В связи с этим полезно ознакомиться с некоторыми свойствами матриц, все элементы которых равны между собой.

Рассмотрим сначала вектор, все элементы которого равны единице. Допустим, что порядок такого вектора равен г. При этом часто исполь­ зуется обозначение 1г, причем всюду, где порядок вектора ясен из са­ мого контекста, индекс опускается. Например,

U = [l 1 1 1].

(Полужирный шрифт используется здесь для того, чтобы отличать единичный вектор от скалярной величины, равной 1.) Произведение, включающее 1, вычисляется путем суммирования соответствующих элементов векторов и матриц-сомножителей. Предположим, например,

^Читателю предлагается показать, например, что

351