ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 124
Скачиваний: 0
как функция верхнего предела интегрирования t изображен на том же рисунке.
Преобразование Лапласа от функции 5Д(г1) равно:
Д |
|
|
|
|
_1 |
е-Ар |
|
(1.31) |
|
= — f 1 - |
|
|||
Ьр |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
8-функцией называется предел |
|
|
|
|
8(7) = 1іш8д ((). |
|
|
|
(1.32) |
Д - + 0 |
|
|
|
|
Интеграл от о-функции и ее изображение |
|
L [о (^)] |
полу |
|
чаются как предельные соотношения для (1.30) и (1.31) |
при уст |
|||
ремлении в них Д-5-0: |
|
|
|
|
Г8(т)di — lim Уд (t) = 1(7) = |
1 |
t > |
О |
(1.33) |
д-о |
0 |
t < |
0. |
|
В дальнейшем 1(t) называется единичной ступенчатой функцией
L [8 (£)] = |
lim I [8Д(;)] = lim |
1 ~ |
= |
]. |
(1.34) |
|
Д - 0 |
Д - 0 bp |
|
|
|
Таким образом, |
8-функцией называется |
функция, |
отличная |
||
от нуля лишь в нулевой точке, где она |
равняется |
бесконечно |
|||
сти, причем определенный интеграл от этой функции, взятый по любому отрезку, включающему нулевую точку, равен 1. 8- функцию нельзя определить как преобразование, по которому определенному значению аргумента соответствует определенное значение функции, поэтому 8-функция не является функцией в понятии классического математического анализа. По этой при чине 8 -функцию относят к классу обобщенных функций; она мо жет быть определена лишь как предел классических функций.
Как известно, производная от интеграла по его верхнему пре делу равна значению подынтегральной функции от этого предела
d |
Г |
f { ^ ) d ’t = f { t ) . Это соотношение справедливо для всех |
---- |
I |
|
dt |
J |
|
—6
классических интегрируемых функций. Формально перенося его
на случай обобщенной |
8-функции, из (1.33) |
получаем |
- ~ |
7 ~ = |
(1-35) |
|
at |
|
Таким образом, вводя понятие 8 -функции, мы получаем воз можность «дифференцировать» функции с разрывами первого рода. Естественно, такое «дифференцирование» следует пони мать лишь в указанном выше формальном смысле.
43-
Докажем, что для любой непрерывной функции f(t) |
имеет |
|
место соотношение |
|
|
ь |
— t)dt = f(t), если a<t<Cb . |
(1.36) |
J |
||
ь Доказательство:
j /СОЧ* |
■с) dt = Пт |
|
д->о |
Последнее соотношение понятно из рис. 1.13.
Далее по теореме о среднем значении интеграла с учетом не
прерывности /(т) имеем
(+ Л
j* /(т) dt = f(t') |
Д, |
где t < t' < t + Д. |
'/ |
|
|
Отсюда получаем, что |
|
|
/+А |
|
|
lim |
Д |
dt = lim/(t'l =*f{t). |
i^o |
д~о |
Что и доказывает соотношение (1.36).
В дальнейшем нам понадобится понятие о производной от
8-функции. Эту |
производную принято называть |
8-функцией |
|
первого порядка и |
обозначать |
|
|
В1^). Естественно, |
«дифферен |
|
|
цирование» здесь носит условный, |
|
||
определяемый |
ниже |
характер. |
|
Р и с . 1.13. К доказательству |
Ри с. 1.14. К определению 8'-функ |
свойств о -функции |
ции |
Рассмотрим следующие допредельные функции:
|
0; |
t < 0 |
|
J |
0; |
* < 0 |
|
— ; 0 < і < — |
|
= |
д і ; 0 < 1 < |
||
** (0 = |
Л2 |
2 |
|
dt |
||
4 |
Д |
t < Д |
|
|
< t < Д |
|
|
---(Д - Л ;----< |
|
|
|||
|
д2 ^ |
>■’ 2 |
|
|
Д3 |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
0; |
t>. Д |
|
|
0; |
t > Д |
44
Графики этих функций изображены на рис. 1.14. |
8-функции |
||||
Ясно, |
что при |
Д->-00д(£) |
будет стремиться |
к |
|
Пт 8Д(() = |
8 (t). |
Производной от 8-функции, или |
8-функцией |
||
Д-*0 |
|
81[t), по определению, будем называть предел |
|||
первого порядка |
|||||
|
|
8Ч0 = |
П т8д1(0; |
|
(1.37) |
|
|
|
Л-*0 |
|
|
8 -функцию 8 (г?) и |
8-функцию первого порядка |
8> (t) условно |
|||
изображают в виде графиков рис. 1.15. |
|
|
|||
|
|
t |
|
|
№ |
Р и с . 1.15. |
Условное |
графическое |
изображение |
о-функций |
нулевого и |
первого порядков
Аналогичным образом могут быть введены и 8-функции бо лее высоких порядков.
Переходная функция h(t)
Переходной функцией h(t) называется реакция линейной стационарной системы на входной сигнал, равный единичной
ступенчатой функции х(і) = 1 (t) . Ц1 (t)] = — , следовательно,
Р
изображение h(p) переходной функции системы с передаточной функцией W(p) равно:
h (р) — W{p) L[ \ (/)} ~ W ( p ) — . |
(1.38) |
Р |
|
Переходная функция системы может быть определена с помо щью обратного преобразования Лапласа
h{t) = L -1[A(p)]=Z."1
(1.39)
П ри ме р . Определить переходные функции систем с переда точными функциями:
Г і(р ) = |
Тр |
и W 2(p) = |
k |
|
Тр + 1 |
Тр + 1 |
|||
|
|
45
|
На основании рассмотренного выше имеем |
|
||||
|
|
|
|
Тр |
|
t |
|
Kit) |
L~l |
|
т; |
||
|
|
|
То -f- 1 |
|
|
|
К |
/г |
1 |
Г-1 |
' k |
кТ ] |
=> А [1 ( t ) ~ е т ■ |
(0 = і _1 |
|
|||||
|
\Тр + 1)р_ |
|
. Р |
7 > + 1. |
(1.40) |
|
|
График функции |
ih(t) изображен |
на рис. |
|||
|
1.16,а, а график |
|||||
функции Iu(t) — на рис. 1.16,6. |
|
|
|
|||
Переходная функция системы с передаточной функцией, пред ставляющую собой рациональную функцию переменного р,
W ( p ) ^ W - |
bmp m+ К - і Р п~1+• • • + ь,р + ь0 ^ (14n |
МР) |
anPn + an-\Pn~l H------- h axp + a0 |
может быть также определена (1.41) путем перехода к операто ру этой системы и нахождения реакции y(t)=h(t) этого опера тора на входной сигнал в виде единичной ступенчатой функции x(t)=\(t) .
В данном случае оператор задается соотношениями
я„2 (п)(г?) 4-----+ a 12(1)(^ )-fa0z(/) = A-(0; |
|
z (0) = 0 ,___zi"-» (0) = 0; |
(1.42) |
y(t) = bmz W ( t ) + . . - + b0z(t). |
(1.43) |
Таким образом, выходной сигнал y(t) получается |
как ли |
нейная комбинация решения z(t) дифференциального уравнения
(1.42) и его производных |
(/), |
Решение z(f) опре |
деляется при нулевых начальных условиях. |
|
|
Для нахождения переходной функции h(t) этим методом сле |
||
дует найти решение дифференциального |
уравнения (1.42) при |
|
правой части x(t) = \(t) |
и нулевых начальных условиях, затем |
|
найти пг его первых производных и составить линейную комбина
цию с заданными коэффициентами b0, bь ..., |
bm. |
|
|||||
П р и м е р . Найдем указанным |
способом |
переходную функ |
|||||
цию h(t) |
системы |
с передаточной |
функцией |
W (р) = — —— . |
|||
|
|
|
|
|
|
Тр -f- 1 |
|
Оператор этой системы задается соотношениями |
|
||||||
|
1 |
Tz'{t)+z(t) = x(t), z (0) =0; |
|
||||
|
I |
у it) = Tz'(t). |
|
|
|
|
|
Решение |
дифференциального |
уравнения |
|
Tz'(t)+z(t) — \(t) |
|||
|
|
|
|
|
|
_ |
t_ |
при нулевых начальных условиях равняется |
г ( ^ ) = 1 — е |
7 ’ |
|||||
Далее получаем |
переходную |
функцию |
h(t) — Tz’(t) = е |
7 |
|||
46