Файл: Основы авиационной автоматики учеб. пособие.pdf

Соответствующие этим логарифмическим частотным характе­ ристикам значения логарифмических амплитудной І 3(ш) и фа­ зовой ®з(ш) частотных характеристик замкнутой системы, опре­ деленные по номограмме ри-с. 3.19, и значения вещественной Р («) частотной характеристики замкнутой системы, определен­ ные по номограмме рис. 3.20, представлены в таблице 3.1.

Логарифмические частотные характеристики замкнутой си­ стемы І 3И и <Рз(ч)), построенные по данным таблицы 3.1, по­ казаны на рис. 3.22 (пунктирные линии),. Вещественная частот­ ная характеристика замкнутой системы Р(<о), построенная по данным таблицы 3.1, показана на рис. 3.23.

Рис. 3.23. Вещественная частотная характеристика P(w) замк­ нутой системы рис. 3.19

Г Л А В А I V

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

§4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ. НЕОБХОДИМЫЕ

ИДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

1. Определение устойчивости линейных стационарных систем

Устойчивость является основным требованием, определяю­ щим работоспособность системы.

Линейная стационарная система называется устойчивой, если любому ограниченному входному сигналу х({) соответствует ог­ раниченный выходной сигнал у(Ь). Иными словами, линейная стационарная система называется устойчивой, если для любого

2. Необходимое и достаточное условие устойчивости линейных стационарных систем

Линейная стационарная система устойчива тогда и только тогда, когда ее весовая функция g(t) абсолютно интегрируема, т. е. если

о

где С — положительное конечное число.

Докажем достаточность условия (4.2). Выходной сигнал y(t) линейной стационарной системы при нулевых начальных услови-

ях определяется входным сигналом x(t) и весовой функцией си­ стемы g(t) через интеграл Дюамеля:

Условие (4.6) соответствует определению (4.1) устойчивой ли­ нейной стационарной системы, если

оо

с = j’ |£ ( т) | аД < оо,

О

■и потому условие (4.2) является достаточным для устойчивости линейной стационарной системы.

Докажем необходимость условия устойчивости (4.2) методом от противного. Для этого рассмотрим систему, которая не удов­ летворяет условию (4.2), т. е. систему, весовая функция которой g(t) отвечает условию

со

J Ig (t) \d t= ’ oo.

о

Эта система будет устойчивой, согласно определению (4.1), если любому произвольному ограниченному по модулю входному сигналу будет соответствовать ограниченный по модулю выход-

212

ной сигнал. И, напротив, эта система будет неустойчива, если найдется хотя бы один ограниченный по модулю входной сиг­ нал, которому будет соответствовать возрастающий до беско­ нечности выходной сигнал.

Рассмотрим реакцию этой системы на входной сигнал x(t),

Заметим, что этот сигнал является ограниченным по модулю при

Очевидно, что при t-+ со, y(t) будет определяться выражением

У ( 0 = f

О

ной сигнал, который вызывает возрастающий до бесконечности при t оо выходной сигнал. Это, согласно определению, являет­ ся признаком неустойчивости системы и потому условие (4.2) яв­ ляется необходимым для устойчивой системы.

3. Необходимое и достаточное условие устойчивости линейных стационарных систем с рациональными

Л(Р)

характеристического уравнения (все полюсы передаточной функ­

2 1 3

Докажем необходимость и достаточность данного условия устой­

чивости для линейных систем с дробно-рациональными переда­ точными функциями.

Рис. 4.1. Расположение полюсов передаточной функции Ф(р): а — устойчивой системы [Rе(д,•)]<()/; б — неустойчивой си­

Ф(Р)

Р и с. 4.2. Структурная схема линей­ ной стационарной системы

где

где Рх, Ръ, ..., Pi, .--tPn— полюсы Ф(р), равные корням характе­

214

Тогда весовая функция системы как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции будет определяться выраже­ нием:

Учитывая, что p t в общем случае — комплексные числа, т. е. что

и потому

2 1 5