Система неустойчива, если |
|
|
|
а2>0, |
|
а2> 0, |
а2>0, |
(4.33) |
а ,< 0 , |
или |
Оі>0, |
или |
аі<0, |
ай> 0, |
|
a0< ° . |
а0<0- |
|
Система на границе устойчивости, если |
|
|
а2> 0, |
|
а2> 0, |
а2>0, |
(4.34) |
о, = 0, |
или |
а,>0, |
или |
а, = 0, |
о0=0, |
|
а0= 0, |
а0= 0. |
|
Действительно, для системы второго порядка |
|
|
|
ап — а21 |
|
|
|
|
а п - 1 = |
а ѵ |
|
|
поэтому |
|
ап-2 ~ аЪ1 |
|
|
|
|
|
|
|
д = ао 0 = |
anö i > 0 , |
если |
> 0, ап> |
0; |
а(Хл |
|
|
|
|
Aj — I |
I — О-i |
0. |
|
|
|
3. Для системы третьего порядка [А(р)= а3р3-\~а2р2-\-аір-\-а0].
Для системы третьего порядка условия (4.19) —(4.22) кри терия Гурвица принимают вид:
Система устойчива, если
а) а3 > 0,
а2> 0 , ах> 0, а0> 0;
б) аг а2> а0 аг. |
|
(4.35) |
Система неустойчива, если при а3>0: |
|
а, < 0, или |
ßjCO, или а 0< 0 , |
или |
аха2< а0а3 |
(4.36) |
Система на границе устойчивости, если при |
а; > 0: |
а 1а2 = |
а0а3. |
(4.37) |
Действительно, для системы третьего порядка
ап= аѵ ап- 1—а2->
ап-2 = аи
О-п—%==а0<
|
поэтому |
O.Q |
0 |
0 |
|
д= |
|
а2 |
|
“о :а 0Д2> 0 , если а 0> 0 , Д2>0'-г |
|
|
0 |
аг |
а2 |
|
Ді = |
|
= (%г |
> |
|
|
1+И = |
|
* 2 = |
= |
ajßj —а0а3 0, если + > 0 и аха2> а0а 3 |
3.Примеры анализа устойчивости систем
спомощью критерия Гурвица
П р и м е р 1.
С помощью критерия Гурвица исследовать устойчивость сис темы с заданной структурной схемой (рис. 4.3).
10 1 т
рp[Cl5pt1)
Р и с . 4.3. С труктурная схем а системы
Р е ше н и е .
1.Определение передаточной функции замкнутой системы и
еехарактеристического полинома:
а) определение передаточной функции разомкнутой системы:
W (p )- —1 |
20 |
|
р / 7 ( 0 , 5 / ? + ! ) р 2( 0 ,5 /7 + 1) |
б) определение передаточной функции замкнутой системы:
|
Ф(/?)= |
W(P) |
|
20 |
20 |
|
1 + \Ѵ(р) |
/?2(0,5/? + 1 ) + 20 |
0,5/?3+/?2+20 ’ |
|
|
|
в) определение характеристического полинома: |
|
А(р) = 0,5/734-/?2 + 20 = |
+/73 + a 2p 2 + aJp + aBl |
|
где |
|
а3 = 0,5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
а 2= і ; |
|
|
|
|
а, = |
0; |
|
|
|
|
а0= |
20. |
|
2.Проверка положительности коэффициентов:
а3= 0,5 > 0;
аг = 1 > 0 ;
а \ = 0 ;
а0 = 20 > 0 .
Система неустойчива, так как аіа2<Ройз.
П р и м е р 2 .
С помощью критерия Гурвица исследовать устойчивость си стемы с заданной структурной схемой (рис. 4.4).
Р и с. 4.4. Структурная схема системы
Ре ш е н и е .
1.Определение передаточной функции замкнутой системы и
еехарактеристического полинома:
а) определение передаточной функции разомкнутой системы:
|
|
|
4 |
|
|
W(p)--= |
2 |
|
2р -f- |
1_________ |
\ |
Р + 1 |
|
+ |
|
/>(/>+ 1 ) |
|
1 |
4 |
|
|
|
2р + 1 |
|
2_________ 4 |
|
________ 1ф5________. |
Р ( Р + I)2 2/7 + |
1 |
+ 4 |
р ( р |
+ 1 )* (0,4/7 + 1 ) ’ |
б) определение передаточной функции замкнутой системы:
Ф ( р )= — |
----------------- . |
1 + W (р) |
р (/7+ І)2(0,4/7 + 1)+ 1,6 |
в) определение характеристического полинома:
А(р) = р ( р + 1 )2 (0 ,4 р + 1 ) 4 - 1,6 =
= |
0,4/7* + |
1,8/?3 + 2,4/72 + р + |
1,6 = |
= |
а4р 4 + |
а3 /73 + я2р 2 + а ,/7+ |
а0. |
2. Проверка положительности коэффициентов at\
|
аА= |
0,4 > |
0; |
|
а3= 1,8 >0; |
|
а2 = |
2,4 > 0 ; |
|
Ö! = |
1 |
> |
0 ; |
|
а0 = |
1,6 + |
0 . |
3. |
Проверка положительности |
А, |
и А: |
|
а0 |
0 |
|
0 |
0 |
а) |
А = &2 ß, ß0 0 . а о д з> |
|
0 |
«3 |
|
ß2 |
<>i |
|
0 |
|
«4 |
|
|
I г<
|
сО
|
ОО ГН
|
|
I Q
|
|
ІДо — CLo |
а 3 |
|
а4 |
|
ßj |
ßg |
д з = |
|
ß4 |
|
0 |
|
Л
|
0 |
; |
|
|
|
|
|
— ß2ß3 —аА |
CN I
|
|
0 |
|
= ß 1A2- ß 0ßg2= |
3 ,9 2 -1 ,6 .1,82= |
|
|
ßg |
|
|
= —1,264<0. |
Система неустойчива, так как Д3 = — 1,264 + 0 .
П р и м е р 3.
С помощью критерия Гурвица определить критическое и до пустимые (с точки зрения устойчивости) значения общего коэф фициента усиления разомкнутой системы, заданной структурной схемой рис. 4.5.
|
|
Р и с. 4.5. |
Структурная |
схема |
системы |
|
Р е ш е н и е . |
|
|
|
|
|
|
1 . |
Определение передаточной функции замкнутой системы и |
ее характеристического полинома: |
|
|
|
а) |
определение передаточной функции разомкнутой системы: |
|
|
(0,5р + 1 ) |
|
|
|
|
/р\ _ £ . |
(2р + |
1)________ k3 |
_ |
/+0,5/7 + l)ft3 |
= |
|
1 і |
, (0,5/7 |
+ |
1) р ( р + |
1) |
р(р+\)[(2р + 1)+ |
|
|
|
(2/? + |
1) |
|
+ (0,5/7+ 1)] |
|
_ ki k3(0 ,5 /7 + 1 ) |
_ |
/Sj^2 (0,5jt? —f- 1 ) |
/e(0,5 / 7 + 1 ) |
/7(/7 + l)(2,5/7 + |
2) |
2p(p+\)( 1,25/7+1) |
/7(p+l)(1,25/7 + 1) ’ |
где k = 0,5kik3 — общий коэффициент усиления разомкнутой системы*;
б) определение передаточной функции замкнутой системы:
ф ( X |
W(P) |
|
|
^ (0,5/7 + |
1)_________ . |
|
\ + W[p) |
/?(/7 + 1 ) ( 1 , 2 5 / 7 |
+ 1) + |
А ( 0 ,5 /7 + 1 ) ’ |
в) определение характеристического полинома: |
А (Р) = Р (/7+1)(1,25/7 + |
1) + к (0,5/7 + |
1) = |
= |
1,25/73 + |
2,25/?2 + |
(1 + |
0,5А) р + |
k = |
|
= + /73 + «2 і» 2 + + Р + +• |
|
|
2. Определение условий положительности |
коэффициентов at |
и условия а1а2>а0а3 (так как система третьего порядка): |
|
|
а3= |
1,25 > |
0; |
|
|
|
|
|
а2 = |
2,25 > |
0; |
|
|
|
|
+ = 1 + 0,5/> > 0, |
если |
& > — 2; |
|
а0= k > 0 , |
|
если |
к > 0 ; |
|
a ja 2 > a 0a3, |
|
если |
(1 +0,5&)2,25> \,25k. |
3. Определение критического и допустимых значений к:
а) критическое значение k= ккр коэффициента усиления со ответствует условию состояния системы на границе устойчивос ти, что будет иметь место при:
к ::==кКрі == |
2 ( + 5=2 О), |
к = кКр2 = |
0 |
(я0 = 0); |
к ~ кКРз = |
0,948 (+ + = я0а3). |
Так как отрицательные и нулевые значения |
коэффициента |
усиления не имеют физического смысла, то |
|
|
|
|
&кр = |
^крз “ |
0,948; |
|
|
|
б) допустимые значения k= /глоп |
коэффициента усиления со |
ответствуют устойчивой |
системе, |
что |
будет иметь |
место |
при |
|
k > |
- |
2 |
\ |
, |
|
п. |
|
|
|
|
k > 0 |
|
} |
лоп> |
’ |
|
|
|
(1 + |
0,5А) 2,25 > |
1,25k |
/гдоп < |
/гкр = 0,948. |
|
|
* k — общ ий |
коэф ф ициент |
усиления |
разом кнутой системы есть общ ий ко |
эф ф ициент передаточной функции |
разом кнутой |
системы W(p), |
если |
п ер еда |
точные функции |
составляю щ их |
ее |
элем ентарны х |
динам ических |
звеньев зап и |
саны в стандартной ф орм е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
