ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 185
Скачиваний: 0
Учитывая, что
а.^ |
it |
1 |
|
[ |
1 |
я |
А |
|
1J = |
1 |
1 |
? |
|||||
е ' dt = |
— |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
а і |
|
|
|
из (4.15) находим |
|
|
|
( |
с о , |
jp |
V |
° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
g (t) I |
dt ■< I C01-f- V |
ІС/І |
— С |
<Г с о , |
|
а г< А ; |
||
|
|
- |
« , |
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
■ЕіСіі» = со . |
a t > 0 . |
|||||
i= l
( 4 . 1 6 )
(4 . 1 7 )
(4 . 1 8 )
Условие (4.17), соответствующее случаю полюсов c a ^ R e [/7(.]<0, является, как было показано выше (4.2), необходимым и до статочным условием устойчивости линейных стационарных си стем. Условие (4.18), соответствующее случаю существования хотя бы одного полюса Рі с a;=R e [/?,) >0, противоречит необхо димому и достаточному условию устойчивости (4.2). Следова тельно, линейная стационарная система устойчива тогда и толь ко тогда, когда все полюсы Ф(р) имеют отрицательные действи тельные части. Линейная стационарная система не является устойчивой, если хотя бы один полюс Ф(р) имеет нулевую или положительную действительную часть.
Таким образом, для анализа устойчивости линейной стацио
нарной системы |
необходимо проверить выполнение условия |
(4.2) или условия |
(4.8). |
Однако проверка этих условий для систем порядка выше вто |
|
рого является весьма затруднительной, так как она требует либо интегрирования модуля весовой функции, либо решения уравне ния А( р) —0 для отыскания полюсов р-г Поэтому для анализа устойчивости систем автоматического регулирования сформули рованные условия практически не применяются, а используются некоторые косвенные правила, позволяющие гарантировать вы полнение необходимых и достаточных условий устойчивости без прямого интегрирования | g(t) | и без вычисления корней ха рактеристического уравнения. Эти правила называются крите риями устойчивости. Следует отметить, что ценность критериев устойчивости заключается не только в упрощении задачи анали за устойчивости линейных систем, но также в возможности вы явления зависимости устойчивости системы от параметров ее элементов.
В настоящее время для решения практических задач исполь зуются следующие критерии устойчивости для систем с Ф(р) =
= ËJÈ. = |
ь<* Рт+ |
• • • + ьхР + Ь0 |
_ |
А(р) |
апр п |
+ d\P + а0 |
|
216
1) аналитический критерий устойчивости Гурвица, позволяю
щий судить об устойчивости системы по |
коэффициентам а,- |
ее |
|||||||||
характеристического многочлена А(р)\ |
Михайлова, |
позволяю |
|||||||||
. 2) частотный критерий устойчивости |
|||||||||||
щий судить об устойчивости системы по виду годографа А (у<и) = |
|||||||||||
= А {р)р=іш ее характеристического многочлена при |
0 < ш < |
<х>; |
|||||||||
3) |
частотный |
критерий |
Найквиста, позволяющий судить об |
||||||||
устойчивости замкнутой системы по виду годографа системы в |
|||||||||||
разомкнутом состоянии. |
|
|
|
устойчивости Гурвица |
и |
||||||
Ниже рассматриваются критерии |
|||||||||||
Найквиста, как наиболее удобные для практического использо |
|||||||||||
вания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 4.2. КРИТЕРИЙ |
УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА—ГУРВИЦА |
|
||||||||
|
1. Формулировка критерия Рауса—Гурвица |
|
|||||||||
Линейная |
стационарная система |
с передаточной |
функцией |
||||||||
|
_ В(р) |
_ Ътрт + Ьт_1рт~1+ ... + Ь1р + Ъ0 |
|
||||||||
|
Ф(р): |
А (р) |
апр'І ^ а п_ , р !‘- 1+ |
--. + |
а1р + |
а0 |
|
||||
|
|
|
|||||||||
устойчива, если при ап > 0 |
положительны: |
составленный из коэф- |
|||||||||
1) |
главный детерминант Гурвица |
Д, |
|||||||||
+ ап- 1р п~1+■• ■+аіР1Л~- ■• + а і/?+ ао по правилу: |
|
|
|||||||||
|
а0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
аг |
1öj |
сі0 . . . |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
||
|
а 4 |
1а 3 |
1а2 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
\ |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
д = |
|
1 |
1 |
|
\ |
|
|
|
|
> 0 ; |
|
|
0 |
1 ... |
1 ... |
|
1 |
ап—3 ап-і |
Яп-Ь |
(4.19) |
|||
|
0 |
1 0 1 0 . . |
1 |
ап-1 1ап-2 ап- 3 |
|
|
|||||
|
0 |
1 0 1о .. |
1 |
0 |
1 ая 1 |
ап-1 |
|
|
|||
|
|
1 |
і |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
V -1 ^п-Ч |
|
Аз |
|
Д2 |
Д4 |
|
|
||
2) |
все дгіагональные миноры |
Д; главного детерминанта, т. е. |
|||||||||
|
|
|
|
|
«я-1 1> 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д2 = ал-2 ап~ |
> 0 ; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
“п |
ап- |
|
|
|
|
|
217
а п - 3 ап-і а п - ь |
|
||
Я л - 1 |
а п — 1 |
a n - 3 > 0 . |
(4.20) |
0 |
an |
an-i |
|
Если хотя бы один из миноров |
|
|
|
Л , < 0 |
|
(4.21) |
|
— система неустойчива. |
|
|
|
Если хотя бы один из миноров |
|
|
|
Д, — 0 |
|
(4.22) |
|
— система на границе устойчивости.
Следует отметить, что необходимым условием положительно сти детерминантов Д и Д(. является положительность коэффи циентов at характеристического полинома, т. е. необходимым ус ловием критерия Гурвица является:
ап > 0, а„_, > 0, . . а, > 0.........аг > 0., а0> 0. (4.23)
Действительно, выполнение условий критерия Гурвица для си
стемы с передаточной функцией Ф (р) гарантирует отри-
А(р)
цательность действительных частей корней ее характеристиче ского уравнения:
А{р) = апрп+ а п_хр»-'+ . . . + а 1(о + а 0 =
= а„ір - p J i p —рз). . • (р — Рі) ■■■ІР-Рп).
Учитывая, что корни p t могут иметь вид
Р |
і = ± |
«;> |
аі > |
0, |
|
или |
= |
± *і |
± УР/. |
|
|
Р і |
|
||||
Рі+1 = |
і |
аі + УР,-> |
0, |
||
из (4.24) находим, что если все Re [рг] |
= ± а1 < 0, то |
||||
будет представляться произведением сомножителей вида:
(4.24)
(4.25)
(4.26)
А (р)
(Р ~Рі) = \Р - ( ~ а/)1 =(/» + |
«/). |
|
(4.27) |
или |
|
|
|
( р - Р і ) ( р — Р і + і ) - [ р - ( - « і + У Р , ) І ( р - ( - * / — y ? / )J = |
|||
== [ ( ^ + “ і) + У Р і][( p + * t ) — УРі I = [(/> + |
в/)2 + |
P/2] |
= |
= [p' + 2atp + ( a * + $*)}, |
|
|
(4.28) |
которые при перемножении дают полином |
А (р) |
= |
а„ р п + |
+ . . . -\-а[р-\-а0 с положительными коэффициентами.
218
Таким образом, для исследования устойчивости линейной стационарной системы с помощью критерия Гурвица необходимо:
а) определить передаточную функцию замкнутой системы
В(o')
Ф(р)= — — и ее характеристический полином в виде:
А(Р)
А(Р) = апРп |
ап_лрп~' + . |
агрг+ . . . 4- ах р + а 0; |
||||
б) проверить положительность коэффициентов характеристи |
||||||
ческого полинома: |
ап, а„_ ,,. . ah . . ., аи а0. Если хотя бы один |
|||||
из коэффициентов |
at < |
0, система не может быть устойчивой; |
||||
в) если |
все |
коэффициенты а1 > 0, |
составить главный детер |
|||
минант Гурвица |
Д |
и детерминанты |
и проверить их положи |
|||
тельность. |
J |
А>0, |
|
|
||
Если |
|
|
||||
I |
> 0 |
— система устойчива. Если хотя бы один |
||||
Д; < 0 |
||||||
— система неустойчива. Если хотя бы один Д4- =■ 0 — |
||||||
система на границе устойчивости. |
|
|||||
2.Частные случаи условий критерия Гурвииа
1.Для системы первого порядка [А(р) = аф + а0].
Для системы первого порядка условия |
(4.19) — (4.22) крите |
|
рия Гурвица принимают вид: |
|
|
Система устойчива, если |
|
|
ß i > 0 |
, |
|
а 0 > 0 |
. |
(4.29) |
Система неустойчива, если |
|
|
ß l > 0 |
, |
|
(4.30)
Й О < 0 .
Система на границе устойчивости, если
ß i > 0 ,
(4.31)
ß o = 0 ,
т. е. если А( р ) —а\р.
Действительно, для системы первого порядка
ап— аі>
а„—і — а0,
поэтому А = I в„1.
2.Для системы второго порядка [А(р) = а2р2-\~а\Р+ ао]-
Для системы второго порядка условия |
(4.19) —(4.22) крите |
рия Гурвица принимают вид: |
|
Система устойчива, если |
|
0, |
(4.32) |
аі>0. |
|
а0>0. |
|
219