Итак, |
К р = |
0,948; |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < |
клоп < 0,948. |
|
|
§ 4 .3 . |
КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА |
|
1. |
Формулировка критерия |
Найквиста |
|
Замкнутая |
линейная стационарная |
система |
вида рис. |
4.6 |
устойчива, если .приращение аргумента функции |
F (у <в) = |
1 + |
Р и с. 4.6. С труктурная схем а системы
сединичной обратной связью
+W (у'ш) при изменении частоты ш от нуля до бесконечности равно;
Д arg F (у'ш) = |
Д arg 11+ |
W (у’ш)] = — (2Х + \ ) , |
(4.38) |
0<tü><oo |
0 < w < c o |
2 |
|
где
W(j<ü)= W (р)р„^ — амплитудно-фазовая частотная ха
|
|
|
рактеристика |
разомкнутой |
систе |
|
ОТ |
|
мы; |
|
|
|
|
|
|
diPl |
|
|
|
|
|
|
W(p) = —— = |
2 |
|
|
|
|
|
|
—^-----------передаточная |
функция |
разомкну- |
N(p) |
А |
; |
той системы; |
|
|
|
|
|
2-1 |
сіР |
|
|
|
|
|
|
|
!=0 |
dp |
ct — постоянные |
действительные |
коэф |
|
|
|
|
|
фициенты; |
|
|
|
(число |
кор |
|
|
|
X— число полюсов W(p) |
|
|
|
ней N( p ) =0 ) |
с |
положительной |
|
|
|
действительной частью; |
|
|
|
Х0 — число полюсов W(p) |
с нулевой дей |
|
|
|
ствительной частью. |
F (у'ш) = 1 -f- |
Докажем условие устойчивости (4.38). Функция |
+ W(jm) может быть определена в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
F ( » — F (p)p^jm , |
|
|
|
|
(4.39) |
где |
|
|
|
N( p)+ M( p) |
|
F{p)= 1 + |
№(р ) = \ + ^ Л р) |
|
|
N{p) |
|
|
|
|
|
N(p) |
|
|
|
15. И зд. № 5312 |
|
|
|
|
|
|
|
225 |
Учитывая, что передаточная функция замкнутой системы вида рис. 4.6 связана с W(p) соотношением (3.4):
ф ( р , |
W ( p ) |
М[р) |
В ( р ) |
|
1 + w{p) |
N (р) + М(р) |
АІР) ’ |
для F(p) можно записать |
|
|
|
|
= N(p) |
(4 |
где А (р)=а0+ а ,р + . ..-\-апрп— характеристический полином зам
кнутой системы;
N (р)=с0+ С]Р+ . . ■+ спрп— характеристический полином ра зомкнутой системы.
Тогда на основании (4.39)
|
|
|
|
|
|
|
|
N(ju) |
|
|
и |
arg F ( » |
= |
arg А (у<о) — arg N (у ш); |
|
|
|
|
|
|
d arg F(jw) = |
Д arg А (/io) — Д arg IV(y'u>), |
(4.41) |
|
0< Ш <!оо |
|
0 < ш < о о |
|
0 < tu •: OO |
|
|
где |
|
|
|
— |
приращения |
аргументов |
соответ- |
Д arg А (_/'cu), Д arg N (j“>) |
< со |
0 < ш - ^ о о |
|
|
|
ственно |
|
А U ш) = |
А (р)р=;ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
N(ju>) = N{p)p-]m |
при из |
|
|
|
|
|
|
менении |
ш |
от нуля до бесконеч |
Приращение |
аргумента |
|
ности. |
Q (у ш) |
произвольного |
годографа |
многочлена |
Q{p) |
при изменении |
<и от нуля до |
'беаконечности |
равно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д argQ (у'ш) = |
|
— [п — 2 &— k0), |
|
(4.42) |
где |
|
0<Ш< СО |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
( у 'ш ) |
= |
Q |
lp)p=ju>\ |
|
|
|
|
|
Q (Р) = |
% + |
|
Я\Р + • • • + |
q„pn; |
|
|
п — число корней Q(p), |
равное его порядку; |
|
|
k — число корней Q'(p) с положительной действительной частью; ko — число корней Q(p) с нулевой действительной частью.
Действительно, если многочлен
Q(p) = q0 + <hP + ■■■+ ЯпРп
имеет постоянные действительные коэффициенты qt, то корни его могут быть нулевыми, действительными или комплексно-со пряженными, т. е. могут иметь вид:
|
Рі = |
0; |
|
|
|
p t = |
+ o-i\ |
at — действительное |
положитель |
{ |
Pi = ± |
a.t + y'ß,-; |
ное число; |
дейетвитель- |
ß, — положительное |
1 |
p i+l = |
+ al — yß,; |
ное число. |
|
Поскольку любой многочлен может быть представлен произведе нием сомножителей вида ( р - РіУ
Q(p) = qn( P - P i ) ( p - P 2 ) ■■■i p — Pi) ■• • ( P - P n l
где pi — корни многочлена, то, учитывая их возможный вид, Q(p) можно представить произведением сомножителей вида:
|
[ р— Рі)=Р, |
если |
а = |
0; |
( р — Рі) = (Р ± аі)< |
если |
р . = |
± а і\ |
<Р- Рі)(Р - |
Рі+1) = |
\Р2+ 2*tP + (®/2 + |
Р/2)Ь если pi “ ± a l +J^t, |
T. e. |
|
|
|
|
|
Pi+ 1 = ± a«-y'ßi, |
k0 |
l |
|
m |
|
|
Q (p) = |
ЯпХ \ р П(P =F ai) П [p2+ 2 я,/? +(«,*+ P,2)]. (4.43) |
|
І = 1 |
£ —1 |
1)=>l |
|
|
где |
k0 — число нулевых корней Q(p); |
|
I — число |
действительных |
корней Q(p); |
|
т — число пар комплексно-сопряженных корней |
Q(P);
n= k0-\-l-\-2m — общее число корней Q (р).
В соответствии с (4.43) годограф многочлена Q(p) будет опреде ляться выражением
*n |
I |
т |
|
Q ( » = ЧпП ( » |
П0 + |
*е) П 1 - “2+У 2»ч“ + («ч2+Рч2)]. (4-44) |
і- 1 |
Е- 1 |
ч -і |
|
т. е. Q (у'ш) с точностью до сомножителя |
дп является произве |
дением годографов вида: |
|
|
|
Qi(у'ш) = уЧ |
|
|
Ql (Уш) = |
Уш + |
(4.43) |
. |
Qi)(У10) = [« + Р ч 2 ) - <°3] + /2Ѵ°> |
которые показаны на рис. 4.7, а, б, в.
Тогда .приращение аргумента (фазы) годографа |
Q (У«>) при |
изменении ш |
от нуля до бесконечности будет равно сумме при |
ращений фаз годографов Qi (Уш), Qt (У<и) и Qr| (Jm)i |
т. е. |
|
|
ь. |
А arg Q, (уш) + |
' |
А а г8 Qe (У0) + |
А arg Q (/ <о)= 2 |
£ |
0 < ш < » |
|
;= 1 |
0<ш«;со |
5 = 1 |
0<ш<ео |
|
|
|
|
тп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ S |
, |
д arg Q4(/«), |
|
|
(4-46) |
|
|
|
•П- |
0<ш<0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
Ф |
\ ‘ |
|
|
—~jcü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 —(.jCü+oe^) |
|
0 |
сС |
|
со=0 |
|
cö=0. |
|
|
|
|
0 |
оСс |
ос |
|
4 |
|
|
|
|
|
5) |
* |
|
4»
Рис. 4.7. Сомножители годографа многочлена Q(р): а — годограф Q i(j^ )] б — годографы 0 £ (У “ ):
ѳ — годографы 0^(7“)
|
причем, как видно из рис. 4.7 и соотношений (4.45), |
|
|
А arg Qi (уш) = 0; |
|
|
(4.47) |
|
А arg Q£ (Уш) = |
— — , А = + ае; |
|
(4.48) |
|
|
|
|
|
|
|
|
а ті + |
У ßrj> |
|
А arg £?,,(/<•>) = |
jPi)+i = |
~ |
а п ~ |
(4 .4 9 ) |
|
Р ц = |
а і) + УРч* |
|
|
|
|
— 2 |
ач |
-ЛѴ |
|
|
/’ч+і “ |
