Если многочлен Q(p) имеет к0 нулевых корней, kx положи тельных действительных корней и /г2 пар комплексных корней с положительной действительной частью, то на основании (4.46) — (4.49) находим
А arg Q O ) = ка-0 +
0^ü)< со |
- ч |
(т — k2) 2 |
------ кг-2 — |
22
=Äq• 0 -)----- [/ —(—2 /и. —2 Ä[ —4А2] ==
= ~ [(Л0 + L+ 2т) — k0— 2 (/jj + 2 &2)] =
|
= |
— k0 — k). |
|
|
где n=ko-\-l-{-2m — порядок полинома Q(p); |
|
|
k—k\-\-2k2 — число корней Q(p) с положительной дейст |
|
k0 |
вительной частью; |
с нулевой действительной |
|
—число корней Q(p) |
|
|
частью. |
|
|
|
Очевидно, что соотношение (4.42) справедливо и для годо |
графов А (/со) и |
N(j<a), поэтому с учетом (4.42) из |
(4.41) на |
ходим |
|
|
|
|
Aarg/?C/m) = -J-(/i— 27 — -г,,)— - £ - ( л - 2Х — >.„)=- |
|
0<ш<со |
2 |
2 |
|
|
|
= -^-(2Х + Х0- 2т - Т о). |
(4.50) |
где |
f и X— число корней соответственно А( р) —0 и N(p)=0 |
|
|
с положительной действительной частью; |
|
Tf0 и Х0 — число корней соответственно А(р) =0 и N(p) —0 |
снулевой действительной частью.
В§ 1 настоящей главы было показано, что для устойчивости
системы с Ф(р) = —^ необходимым и достаточным условием
А(р)
является отрицательность действительных частей корней ее ха рактеристического уравнения А ( р ) —0, что соответствует усло вию
( 4 = 0;
(4.51)
I То = 0.
Поэтому из соотношения (4.50) находим условие устойчиво сти замкнутой системы в виде (4.38)
|
Д arg/7 (У«о) = |
-^-(2Х + Х0). |
|
0<йи<!оо |
2 |
П р и м е ч а н и е . |
Полезно заметить, |
что фаза радиуса-вектора годографа |
F (У ш) = 1 + W U ш) |
графически определяется фазой вектора, проведенного |
из точки комплексной плоскости с координатами U — — 1, Ѵ=0 в соответствую
щую точку годографа разомкнутой системы UH/“) (рис. 4.8).
Р и с. 4.8. К определению фазы годографа
F(/u>)=)+ir(/ü>)
2.Критерий Найквиста для систем, устойчивых
вразомкнутом состоянии
Линейная стационарная система, если она устойчива в ра зомкнутом состоянии, устойчива в замкнутом состоянии, если приращение аргумента функции F(ju>) = 1 + W (у'ш) при измене нии to от нуля до бесконечности равно нулю, т. е. если
А arg Л(у'(о) = 0. |
(4.52) |
0• ш < со
Действительно, если система вида рис. 4.6 устойчива в разомкну том состоянии, то число полюсов W (р) е положительной и нуле вой действительными частями равно нулю, т. е.
Х = 0,
(4.53)
>о = 0 .
Поэтому общее условие устойчивости критерия Найквиста (4.38) для этого случая принимает вид (4.52):
А arg F ( » |
= — (2 • 0 + 0) = 0. |
о • =о |
2 |
Следует заметить, что аналитическому условию критерия Найк виста (4.52) для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии, соответствует следующее графическое правило:
— линейная стационарная система, устойчивая в разомкну том состоянии, устойчива в замкнутом состоянии, если годограф
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W (у’ш) |
|
разомкнутой системы при изменении |
от нуля до бес |
конечности |
не |
|
охватывает на |
|
|
|
комплексной плоскости U, j V |
|
|
|
точку с |
|
координатами |
U= —1, |
|
|
|
Ѵ = 0. |
|
Система |
|
неустойчива, |
|
|
|
если годограф |
|
F(ju>) |
|
охва |
|
|
|
тывает |
точку U= —1, V--= 0. Си |
|
|
|
стема |
находится |
на |
границе |
|
|
|
устойчивости, |
если |
годограф |
|
|
|
W (у со) |
|
проходит через точки |
|
|
|
U= —1 , Г = 0 . Это графическое |
|
|
|
правило поясняется рис. 4.9,а, |
O^CÜHeo |
б, в. |
свою |
очередь из |
рис. |
В |
|
a) |
|
4.9,й, б, в видно, |
что |
годограф |
|
|
|
W (/«) |
|
не охватывает |
точку |
|
|
|
U= —1 , |
Ѵ = 0, |
|
|
если |
модуль |
|
|
|
W (/Чо) |
|
|
при |
пересечении |
|
|
|
годографом |
|
|
отрицательной |
|
|
|
действительной |
полуоси |
мень |
|
|
|
ше единицы. Годограф |
W (у«>) |
|
|
|
охватывает точіку U= —1, Ѵ— 0, |
|
|
|
если модуль |
W (у'ш) |
при пе |
|
|
|
ресечении годографом |
отрица |
|
|
|
тельной |
действительной |
полу |
|
|
|
оси |
больше единицы. Годограф |
A a r g F ( j i o ) = - 2 . 7 c |
W (/со) |
|
проходит через точку |
|
|
|
U= —1, |
Г=0, |
|
если |
модуль |
5) |
|
W (у'ш) |
|
при пересечении |
годо |
|
графом |
|
отрицательной |
|
дейст |
|
|
|
вительной полуоси равен еди |
(V - |
|
нице. |
|
|
|
если |
|
обозна |
|
Поэтому, |
|
|
|
|
чить |
через |
|
|
|
частоту, |
при |
|
__f (/ о) |
которой |
arg W (у ш) |
равен — я |
|
|
а)-0 и. |
и в дальнейшем при |
|
ш |
|
|
W(foj) |
arg UT(y'cu) |
< |
— я, |
а |
через |
|
|
|
юс |
(частота |
среза) |
частоту, |
âargF(fii))0 |
О |
при |
которой |
I |
W (у ш) I |
равен |
единице и в- |
дальнейшем при |
|
4) |
|
то: |
|й^(У<о)|<1 |
(рис. 4.10), |
Рис. 4.9. Годографы устойчивых ра |
|
|
|
|
|
неохвата годо |
зомкнутых |
систем: |
— условию |
|
а — для устойчивой замкнутой си |
графом |
|
W (j *а) точки U= —1 , |
стемы; б — для неустойчивой замк |
Г = 0 |
|
|
соответствует |
условие |
нутой системы; в — для системы, на |
|
|
ходящейся в замкнутом состоянии на |
< шж[ ^ i |
(/«о) |
|
(рис. |
4.10); |
границе |
устойчивости |
— условию прохождения |
годографа |
W (J а ) |
через точку |
U = — 1, Ѵ = 0 соответствует условие <ос=ш , |
[ W 2 { j a ) |
(рис. 4.10)]; |
— условию охвата годографом |
W [ j a ) |
точки U = —1, Ѵ = 0 со |
ответствует условие <öc> |
(ja) |
(рис. 4.10)]. |
|
Из данного вывода вытекает еще одно правило анализа ус тойчивости систем по критерию Найквиста:
Рис. 4.10. К определению частоты среза «с
ичастоты и»*
—линейная стационарная система вида рис. 4.6, устойчивая
вразомкнутом состоянии, в замкнутом состоянии:
а) |
устойчива, если |
шс < |
со.; |
(4.54) |
б) |
на границе устойчивости, если шс= шя; |
(4.55) |
в) |
неустойчива, если |
а с |
> ш_, |
(4.56) |
где частота ш_ и частота среза шс определяются из условий:
arg W ( j a j ) = — it, |
(4.57) |
I W О с ) | = 1 - |
(4.58) |
3.Критерий Найквиста для систем, находящихся
вразомкнутом состоянии на границе устойчивости
Линейная стационарная система вида рис. 4.6, находящаяся в разомкнутом состоянии на 'границе устойчивости, в замкнутом состоянии устойчива,если
Д arg F { j a ) = |
Х0, |
(4.59) |
0<Ш<СО |
2 |
|
где I-о — число полюсов W(p) с нулевой действительной частью. Условие (4.59) вытекает из общего условия устойчивости критерия Найквиста (4.38) для случая, когда X= 0 и >.0 F 0 , что соответствует состоянию на границе устойчивости разомкну
той системы.
Заметим, что разомкнутая система будет находиться на гра нице устойчивости, если:
1 ) W(p) имеет нулевые действительные полюсы:
|
Л = |
0; |
(4.60) |
2 ) W(p) имеет комплексно-сопряженные полюсы с нулевыми |
действительными частями: |
|
|
( |
Рі |
^ > 0 , |
(4.61) |
I |
Л + 1 = - Ж - |
|
При этом наличию в W(p) |
Х0 полюсов вида |
(4.60) соответ |
ствуют передаточные функции, |
содержащие Х0 |
интегрирующих |
звеньев, т. е. передаточные функции вида: |
|
|
Щ Р )= - Т ~ Wo(P). |
(4.62) |
|
p' |
“ |
|
где W q(p ) — передаточная функция, все полюсы которой име ют отрицательные действительные части.
Наличию в W (р) Х0 комплексных полюсов вида (4.61) со ответствуют передаточные функции, содержащие консерватив ные звенья, т. е. передаточные функции вида:
V2
W ( P ) - П - т 1-- г- W 0(p). |
(4.63) |
В свою очередь передаточным функциям вида |
(4.62)' и (4.63) |
соответствуют годографы частотных характеристик, имеющие разрывы при бесконечных амплитудах. При этом годографы ча стотных характеристик для передаточных функций с интегрирую щими звеньями имеют разрывы при <в = 0 (рис. 4.11,а), а годо-
Р и с. 4.11. Годографы \V(Jсо)оазомкнутых систем, находящихся на границе
устойчивости: |
|
|
а — для W(p) = — W0 (р); б — для 1V(p)= |
~ |
~ W 0 (p) |
р- |
р2+ |
р- |
