тогда, на основании (5.97), учитывая, что mx{t)=M[x (^)] —тХУ находим выражение (5.98):
тЕ (() = М j л (t - х) gE (х) fa = |
j' М [л- (t - x)J g E (x) fa = |
О |
6 |
со |
|
f тх g E(Я> d~= т, |
/7 1 |
6 |
|
Это выражение показывает, что математическое ожиданиесигнала ошибки в установившемся режиме определяется как сигнал ошибки в установившемся режиме, вызванный действи
ем сигнала, |
равного |
математическому ожиданию действующе |
го случайного сигнала. |
|
|
KE (t) |
сигнала |
ошибки E(t) в |
Корреляционная |
функция |
|
установившемся режиме по определению (5.81) есть |
|
|
|
|
tf£ ( x ) = /И [£(*)£(*+ X)], |
|
|
где на основании |
(5.79), (5.97) |
и (5.98) |
|
|
|
E(t) = E( t) — mE [t) = |
f x (t — x)££ (x)gx |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
= |
\ |
[х (t - |
т) — тх] |
gE (х) fa = |
J A' (t - |
х) g E (х) fa. |
Тогда, |
учитывая, |
что Кх (т) = |
|
о |
о |
х)], |
находим выра |
М [а (^) x{t + |
жение (5.99): |
” U |
|
|
|
|
|
|
|
КЕ{і) = М |
|
|
|
|
\ A(^+ x -x a)g-£(xâ)dx2 |
f |
|
— |
SE ix\)dx\ |
|
CO |
oo |
Q |
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
\ |
f M[ x(t - |
X j ) x ( * - | - X |
- x2)] g-£ (x,)â'£ (x2)rfx1dx2 = |
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CO |
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
J |
j* K x ( T |
Ti |
х г) § e ( t i ) S e |
d x i f a i - |
|
|
|
о 6 |
|
|
|
|
|
|
|
Выражение |
(5.100) |
для |
DE{t) |
получаем из (5.99) на основа |
нии свойства |
(5.83): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
с о |
|
|
|
|
DE(t) = |
D e = |
К е (0) — |
j" j" |
K x {i\ |
т 2) S e |
( т і ) |
S e (х2) d x i d x 2- |
оо
Вкачестве примера определим статистические характери стики сигнала ошибки в установившемся режиме для случая,
если действующий |
сигнал x(t) |
есть центрированный «белый |
шум», т. е. если |
тх = |
О, |
|
Для этого случая из выражений |
(5.98) — (5.100) находим |
|
’ПЕ = 0, |
^ ( 0 = j j |
S , 0 l0* + h |
х г §) Е ( т і ) §Е ( т 2 ) ^ х 1 ^ х 2 — |
о 0 |
|
|
Х2ІёЕ (хг) ^ х2 (h1 -
|
De = Ke (0) = Sm |
f |
^ 1 = ^ , 0Л |
(5.101) |
|
|
6 |
|
|
где J = \ g \ { ^ ) d x — интегральная |
квадратичная оценка |
систе- |
о ' |
мы, если |
7(£) = &я<У). |
|
Заметим, что свойство (5.101) для дисперсии сигнала ошиб ки в установившемся режиме при действии случайного сигнала «белый шум» лежит в основе удобного метода вычисления DË в случае действия произвольных стационарных случайных сиг налов, который будет рассмотрен ниже.
3. Определение статистических характеристик сигнала ошибок с помощью частотных характеристик
Статистические характеристики сигнала ошибки в устано вившемся режиме для случая, иллюстрированного на рис. 5.17, могут быть определены с помощью частотных характеристик по выражениям:
5 £ Н = 5 , Н | 5 ( > ) I2; |
(5.102) |
J s * H I s (“У) |
(5.103) |
0
00
(5.104)
2 it.
о
где 5 Л. (ш) — спектральная плотность |
действующего сигнала |
х{і); |
|
S(Ja>)— частотная характеристика передаточной функции |
для ошибки, т. е. S (/ю) = |
5 (p)p- j u>. |
Покажем справедливость выражений (5.102) — (5.104). По оп ределению (5.84)
S E(u>) = J KE(t) e - j^ ä r .
Это, с учетом выражения (5.99), дает:
ОООО CXJ
$ е И = J е- -7'“' j J /С ,(т+хі—с2) g E (t,)^ (x 2) rfxjdxj dt
о о
|
w |
|
I |
txj |
|
|
со |
|
|
rfx,l fi?X. |
= |
J |
e~;“’ |
j |
(”l) |
j |
Kx lX+ 'l |
“ Тз) g E W |
*2 |
|
— oo |
|
( о |
|
|
Ü |
|
|
|
|
Изменим |
в |
данном |
выражении |
порядок |
интегрирования |
с2 |
Хі “*■т |
на |
X |
х2 |
X,: |
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
( |
ОО |
|
|
|
|
|
^£-(ш)= |
J |
^ ( х ^ і I |
gE (~ |
Kx{*+*,-*a)e-JmdT |
d ^21 ' |
|
|
|
|
\ » |
|
|
|
|
|
оо(ОС
= J V f K ) K f f £ (x,) |
j |
^ |
( x + Xj - X j ) e - M x + x , - x , ) e yo,x1e - > - . flfx dxAx |
о |
(o |
L—== |
|
|
|
|
оо |
|
/ с о |
|
|
|
oo |
|
X^x, = j “^ £ (xi) e-/o>TJ |
|
|
(t2)e~Ja~> j /^(x+x,—x,)e-W'+,--,>Wx X |
0 |
1 0 |
|
|
—cc |
|
|
} |
|
CO |
|
oo |
|
Xrfx2jd x j= |
J |
gE{t2) |
dtr j1g-£ (xj) e^-rfxjX |
|
|
oo |
|
|
|
|
|
|
X |
J |
|
( x -(-Xj— |
x2) e ~ J°> (* + и --,) ^ |
|
Учитывая,что |
— oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
|
|
|
J |
S e ^ 2) ^ |
d t 2— S { p ) p —jui— S |
(/to) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
— частотная характеристика для ошибки; |
|
|
j |
е;Ц П :‘ |
|
[P)p= —ja>= 5 ( |
/ ч і ) |
о
— комплексно-сопряженная частотная характеристика;
причем |
S(j<ß)S(- ju>) = |
15 ( » I2; |
|
|
|
|
00 |
|
' |
|
оо |
|
j |
Кх (-с + тгі—т2) е_“,ш1‘+т'_Тз) d i= |
j |
Кх {і') |
dx'= Sx (ш) — |
— оо |
|
|
— оо |
|
— спектральная плотность x(t)\ |
|
|
для |
5 £(ш) находим выражение вида (5.102): |
|
|
s EИ = 5 (jw) s ( - » |
|
п ~ s x П I О ) 1 2. |
Справедливость выражений (5.103), (5.104) вытекает из вы |
ражения (5.102) |
из связи КЕ(р) |
и DE с SE (ш), |
определяемой |
соотношениями (5.86) и (5.87): |
|
|
|
|
|
оо |
|
оо |
|
|
^ ( ' г) = ^ |
do) = ^ |
( 5 Л.(и))|5(у'й))|2е^йГш, |
|
|
оо |
|
ОО |
|
|
|
Г SE{u>) іУш= — |
|
Sx (ш) I 61(у’ш) |5 öfo). |
|
|
7Г |
о |
|
|
|
о |
|
|
4. Определение дисперсии сигнала ошибки |
|
методом формирующего фильтра |
|
Метод формирующего фильтра является удобным расчет ным методом вычисления дисперсии сигнала ошибки линейной стационарной системы в установившемся режиме, если на си стему воздействует стационарный случайный сигнал. В основе этого метода лежит возможность вычисления дисперсии стаци онарного сигнала ошибки линейной системы при действии слу чайных сигналов типа «белый шум» с помощью интегральных квадратичных оценок. Идея этого метода состоит в следующем.
Линейная стационарная система (рис. 5.18,а), |
подвержен |
ная |
действию стационарного |
случайного сигнала x(t) с задан |
ной |
спектральной плотностью |
Sx (ш), |
дополняется |
некоторым |
линейным стационарным звеном с |
передаточной |
функцией |
ѴРфХ (р), называемым формирующим фильтром, в результате чего образуется некоторая эквивалентная система с передаточ ной функцией Фэ х(р) (рис. 5.18,6). Формирующий фильтр выбирается из условия, чтобы при действии на эквивалентную систему случайного сигнала х э (t), представляющего собой «бе лый шум» с единичной интенсивностью, спектральная плотность
ее сигнала ошибки |
Еэ (t) была равна |
спектральной плотности |
сигнала ошибки E(t) |
исходной системы, т. е. из условия |
|
S e3 Іш) = S E (<u), |
(5.105) |
что, очевидно, обеспечит и равенство дисперсий:
Условие (5.105) на основании (5.102) принимает вид:
S x э(“)I Фэ Л- О) I2= S x (ш) I ^ (Уш) Р>
б)
Р и с. 5.18. К определению дисперсии сигнала ошибки методом формирующе го фильтра:
а — исходная структурная схема систе мы для ошибки; б — эквивалентные структурные схемы
что с учетом Фэх(Р)= х(Р) ^(Р) н ^ э ( ш) = 1 дает условие определения передаточной функции формирующего фильтра
I Ф э X О) Іа= I |
X О) г-15 ( » г- = S x (ш) 1S (уш) I» - |
И ^ Ф . ѵ ( > ) 1 2 |
= = • $ > ) , ѴГфги») ~ѴГфх(р)р^ ш. ( 5 . 1 0 7 ) |
Итак, выражение (5.107) определяет передаточную функцию эквивалентной системы
Ф эх ( Р ) = Ж фх(Р)3(Р).
Поскольку эквивалентная система подвержена действию «белого шума» с единичной интенсивностью, то дисперсия ошибки и, следовательно, равная ей дисперсия сигнала ошибки исходной схемы определяются на основании (5.101) с помощью интегральной квадратичной оценки:
|
|
оо |
где |
|
с |
|
|
Тэ * (0 = |
gs X (() = |
ь~ Чфэ X ‘.р)\; |
T»x(P) — |
g s x ( P ) = |
ф в Л Р ) - |
