Во = х0*=25,
В1= х,2= 25,
^0 |
|
0 |
|
|
25-11 ■1 = |
525, |
0 |
К |
^3 = V 8ß i+ 5 0^ 3 = ІО-1-25 + |
Во |
В 1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
D |
525 |
;0,2365. |
|
|
|
|
2-1-1110 |
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 5.5. ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ |
САР |
|
И ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ КАЧЕСТВА |
|
Переходная |
функция линейной |
стационарной |
САР харак |
теризует качество системы и является реакцией |
системы на |
единичную ступенчатую функцию. |
|
|
|
Рассмотрим основные параметры переходной функции, оп |
ределяющие вид переходного процесса. |
установления |
1. Время |
ір |
регулирования САР — время |
переходного процесса с точностью до 5% относительно его пре дельного значения//(оо). Исходя из этого, определим время ре
гулирования |
как максимум |
абсцисс точек |
пересечения пере |
ходной функции с прямыми_Уі(/) = 1,05//(оо), у 2(£) = |
|
0,95//(со). |
Пусть исходная система |
устойчива, |
тогда ее |
переходная |
функция будет иметь вид типа рис. 5.21. |
|
|
|
|
2. Перерегулирование САР. На рис. 5.21,а изображена ситу |
ация, когда при некоторых |
значениях |
аргумента |
t |
функция |
Hit) > / / ( с о ) . |
Обозначим |
Н(і)тах= Нт(0 < |
t < с ° ) . |
Назовем |
величину |
|
|
|
|
|
|
|
К = |
Н- ~ " (" ) |
|
|
|
(5.10В) |
|
|
/ / ( с о ) |
|
|
|
|
перерегулированием данной САР. Очень часто перерегулиро
вание |
измеряется |
в |
процентах, т. |
е. hm[%\=\00hm. |
Если |
// ( / ) < |
/ / ( с о ) (0 < |
/ < |
с о ) , то |
в этом |
случае принимают |
величи |
ну перерегулирования |
hm=0 |
(см. рис. 5.21,6). |
|
При проектировании и расчете САР задаются основные пе речисленные параметры переходного процесса, а также допусти мая установившаяся ошибка при воздействии на систему эта лонных сигналов.
Существует ряд способов построения переходной функции САР:
—вычисление переходной функции путем непосредственно го решения дифференциальных уравнений объекта;
—определение переходной функции методом трапецеидаль ных характеристик;
вычисление переходной функции путем решения диффе ренциальных уравнении, описывающих функционирование си-
лщшпіеІІ(ЦВМ)<ТР° НН0Й М°ДеЛИ ИЛИ ЦИФР0В0Й вычислительной
Пр и м е р .
Пусть функционирование линейной стационарной САР описы вается следующим уравнением:
а3/ 3) + a2yW+ ОіуМ -f а0у = V (1) + b0x,
иде ah bj — постоянные коэффициенты;
x (t)i y(t) соответственно входной и выходной сигналы;
И т. д.
Реальная система выполняет преобразование входного сиг нала в следующей последовательности:
а3м(3) + а,иР) + ахФ) + aQu = x (t);
y(t) = bіФ'і + b0u.
Схема моделирования представлена на рис. 5.21,в.
Подавая на вход единичную ступенчатую функцию, получим на выходе модели переходную функцию системы H(t) и опре делим ее параметры.
§ 5.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ ТРАПЕЦЕИДАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Рассмотрим один из приближенных методов вычисления пе реходной функции системы, основанный на знании частот ных характеристик. Для этого воспользуемся связью между ве совой g(t) и передаточной Ф(р) функциями линейной стацио нарной системы
|
|
|
Ф(р) = |
[ |
g ( Oe ptdt. |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
Для |
абсолютно |
интегрируемой |
функции |
g(t) |
комплексную пе |
ременную р можно |
заменить |
величиной / tu. |
Тогда получим |
|
|
|
Фи®)— [ g{t)e~ia,t dt, |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
откуда следует |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R (со) = |
Re [U7(y'iu)]= |
J g(t) cos wtdt; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.109). |
|
/ (10) = |
— |
j1 g (t) sin wtdt, |
|
|
|
где |
/?(“>)— вещественная |
частотная характеристика; |
|
/(ш) — мнимая частотная характеристика системы. |
Из выражений |
(5.109) видно, |
что вещественная |
частотная |
характеристика |
R(®) |
является |
четной |
функцией, |
а мнимая |
/(ш) — нечетной функцией аргумента ш, |
т. е. |
|
|
|
|
R ( — <») = R (<»), |
/ ( —ш) = /(ш). |
|
Для физически реализуемых систем значение весовой функции на отрицательной полуоси времени тождественно равно нулю, следовательно, можно представить выражение для 1І7(/со)в виде:
Если весовая функция в точке t имеет конечные правую и ле вую производные, то существует обратное преобразование Фурье и выражение для весовой функции определяется равен ством
со
g (0 = Г ф О ) еуи< du.
Так как имеют место соотношения типа
ФЦи) — R { u) - \ - jI(u) и е-'“' = cos ш t -f- j sin ut,
то выражение для весовой функции через частотные характе ристики может быть представлено в виде:
со
• g ( 0 = --- 1 [/?(<о) +у7(ш)] (cos |
Sin 0)0 |
du, |
2тг J |
|
|
— оо |
|
|
или |
|
|
оо |
|
|
g (£) = — Г [/? (и) COS ш t — /( ( о) sin ш*] d u |
-f |
2 тс J |
|
|
оо |
|
|
[R (оз) Sin ut -j- / (и) cos ü>/] du. |
(5.110) |
Весовая функция CAP принимает действительные значения, по скольку это реакция системы на действительный сигнал, по этому второе слагаемое выражение (5.110) равно нулю, следо вательно,
|
|
_ 1_ |
оо |
|
|
ff (0 = |
[R (со) COS ut — /(cu) Sin со/] du. |
(5.111) |
|
2іг |
|
|
|
оо
Пусть t^> 0, тогда в соответствии с условием физической реа лизуемости получим
f f ( - * ) |
= |
) cos ut —j- / |
(io) sin <ö£] du = |
0, |
т. е. при і > 0 имеет место равенство |
|
|
|
|
оо |
|
|
J |
/?(«) cos ut du — — J |
I (и) sin ut du. |
(5.112) |
— оо
Таким образом, из выражений (5.111) и (5.112) следует, что
со |
ео |
g (t) = — Г R (ш) cos шt dm= — — Г/ (ш) sin wtdu). |
Функции R (ш) COS mt и / ( ш ) sin CO t |
являются четными, по |
этому последнее равенство может быть представлено в виде:
со |
оо |
g[t) = —- Г R (ш) cos |
dm = ---- — Г/ (co)sln a>t dm. (5.1131 |
J |
* J |
Поскольку переходная и весовая функции систем связаны вы
ражением
t
h (i ) = §g(z)dx,
о
то, пользуясь соотношением (5.113), получим
Л(*) = |
R (со) COS wtdw dt. |
(5.114) |
Для R(m) — абсолютно |
интегрируемой функции |
— последо |
вательность интегрирования в выражении (5.114) может быть изменена, тогда
|
оо |
|
|
Ä(0== — |
[ R H |
^ ^ d m . |
(5.115) |
Заметим, так как (/? (со) | < |
W (ш), |
то абсолютная |
интегрируе |
мость вещественной характеристики имеет место, если степень числителя передаточной функции по меньшей мере на две еди ницы меньше степени знаменателя. Выражение (5.115) уста навливает аналитическую связь между действительной частот ной характеристикой и переходной функциями системы.
Метод трапецеидальных характеристик сводится к прибли женному •решению уравнения ' (5.15), основанному на аппрокси
мации в общем случае нелинейной известной функции |
R (ш) |
некоторой совокупностью линейных функций. |
Резуль |
Пусть задан вид функции |
R{ш) |
(см. рис. 5.22,а). |
тат аппроксимации зависимости |
R (ш) |
ломаной линией мож |
но представить в виде равенства: |
|
|
Ж “) = 2 Я і К |
|
(5.116) |
1-1 |
|
|