Файл: Основы авиационной автоматики учеб. пособие.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 164

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2.

Определение

 

S E(to) = SE■(w):

 

 

 

 

 

M =

Sf (<o) I Ф, ( »

I2------------ 25_[шЧ- 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

[ ( 1 —

to2) 2 -f-

to2 |

(co2+ 1 0 0 )

3. Определение

KE {t) =

KEf{t):

 

 

 

 

 

 

 

KEW-

 

 

 

2 5 (co 2 +

1)

 

 

 

 

 

 

 

to2) 2- j- to2]

( oj2—[— 1 0 0 )

 

 

 

 

=2 * I

[(1— 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■—oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Определение

DE— DE f :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) определение

передаточной

 

функции

формирующего

 

фильтра:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| ^ ф / ( У ® ) | 2= 5 / (а » )= -

 

-

(Ш 2 + 1 )

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

(1

со2) 2+

 

 

 

 

W t f [p)_

2/ >+1

 

 

 

 

 

 

 

1 ’

 

 

 

так как

 

 

 

 

р 2 + р +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/(О +

1

 

ѴУФ/( М =

ѴУф/(р)рЧш =

 

f

+

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---- (О2 -}—у"о) —(— 1

(1

----- CO2 )

-f- /со

 

 

И

 

У

ф

/

 

(

 

»

,

 

 

 

 

б) определение 0 3 f (p):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фэ/ ( Р ) ^ ' ^ ГФг(Р)Ф/ (Р)=

 

 

 

ІР

1)5

 

 

 

(,02-h/7+ l)(/?+10)

 

 

 

 

 

 

•/, Р +

х0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х3/о3 -[-■Х2р2-)- Р + ^о

 

 

 

где

 

 

хэ — б,

Х0 =

 

10,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* і

=

5 ,

 

=

П

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х2=11,

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

Ц =

1 >

 

 

 

в)

определение

 

 

=

DEf = — £-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Х3 Д

 

 

 

 

 

х2

0

=

Х0(Х1Х2-Х 0Х3)= Ю (1Ы 1-1О -1)=1110,

 

 

-X ,

 

~ ^0

 

X,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19*

291


Во = х0*=25,

В1= х,2= 25,

^0

 

0

 

 

25-11 ■1 =

525,

0

К

^3 = V 8ß i+ 5 0^ 3 = ІО-1-25 +

Во

В 1

0

 

 

 

 

 

 

D

525

;0,2365.

 

 

 

 

2-1-1110

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 5.5. ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ

САР

 

И ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ КАЧЕСТВА

 

Переходная

функция линейной

стационарной

САР харак­

теризует качество системы и является реакцией

системы на

единичную ступенчатую функцию.

 

 

 

Рассмотрим основные параметры переходной функции, оп­

ределяющие вид переходного процесса.

установления

1. Время

ір

регулирования САР — время

переходного процесса с точностью до 5% относительно его пре­ дельного значения//(оо). Исходя из этого, определим время ре­

гулирования

как максимум

абсцисс точек

пересечения пере­

ходной функции с прямыми_Уі(/) = 1,05//(оо), у 2(£) =

 

0,95//(со).

Пусть исходная система

устойчива,

тогда ее

переходная

функция будет иметь вид типа рис. 5.21.

 

 

 

 

2. Перерегулирование САР. На рис. 5.21,а изображена ситу­

ация, когда при некоторых

значениях

аргумента

t

функция

Hit) > / / ( с о ) .

Обозначим

Н(і)тах= Нт(0 <

t < с ° ) .

Назовем

величину

 

 

 

 

 

 

 

К =

Н- ~ " (" )

 

 

 

(5.10В)

 

 

/ / ( с о )

 

 

 

 

перерегулированием данной САР. Очень часто перерегулиро­

вание

измеряется

в

процентах, т.

е. hm[%\=\00hm.

Если

// ( / ) <

/ / ( с о ) (0 <

/ <

с о ) , то

в этом

случае принимают

величи­

ну перерегулирования

hm=0

(см. рис. 5.21,6).

 

При проектировании и расчете САР задаются основные пе­ речисленные параметры переходного процесса, а также допусти­ мая установившаяся ошибка при воздействии на систему эта­ лонных сигналов.

Существует ряд способов построения переходной функции САР:

вычисление переходной функции путем непосредственно­ го решения дифференциальных уравнений объекта;

определение переходной функции методом трапецеидаль­ ных характеристик;

2 Р 2


вычисление переходной функции путем решения диффе­ ренциальных уравнении, описывающих функционирование си-

лщшпіеІІ(ЦВМ)<ТР° НН0Й М°ДеЛИ ИЛИ ЦИФР0В0Й вычислительной

Пр и м е р .

Пусть функционирование линейной стационарной САР описы­ вается следующим уравнением:

а3/ 3) + a2yW+ ОіуМ -f а0у = V (1) + b0x,

иде ah bj — постоянные коэффициенты;

x (t)i y(t) соответственно входной и выходной сигналы;

jtU>=

,

dt

dt

'

И т. д.

Реальная система выполняет преобразование входного сиг­ нала в следующей последовательности:

а3м(3) + а,иР) + ахФ) + aQu = x (t);

293

y(t) = bіФ'і + b0u.

Схема моделирования представлена на рис. 5.21,в.

Подавая на вход единичную ступенчатую функцию, получим на выходе модели переходную функцию системы H(t) и опре­ делим ее параметры.

§ 5.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ ТРАПЕЦЕИДАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Рассмотрим один из приближенных методов вычисления пе­ реходной функции системы, основанный на знании частот­ ных характеристик. Для этого воспользуемся связью между ве­ совой g(t) и передаточной Ф(р) функциями линейной стацио­ нарной системы

 

 

 

Ф(р) =

[

g ( Oe ptdt.

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

Для

абсолютно

интегрируемой

функции

g(t)

комплексную пе­

ременную р можно

заменить

величиной / tu.

Тогда получим

 

 

 

Фи®)— [ g{t)e~ia,t dt,

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

откуда следует

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R (со) =

Re [U7(y'iu)]=

J g(t) cos wtdt;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.109).

 

/ (10) =

j1 g (t) sin wtdt,

 

 

 

где

/?(“>)— вещественная

частотная характеристика;

 

/(ш) — мнимая частотная характеристика системы.

Из выражений

(5.109) видно,

что вещественная

частотная

характеристика

R(®)

является

четной

функцией,

а мнимая

/(ш) — нечетной функцией аргумента ш,

т. е.

 

 

 

 

R ( — <») = R (<»),

/ ( —ш) = /(ш).

 

Для физически реализуемых систем значение весовой функции на отрицательной полуоси времени тождественно равно нулю, следовательно, можно представить выражение для 1І7(/со)в виде:

оо

dt.

ф (уш) = j g (t)

294


Если весовая функция в точке t имеет конечные правую и ле­ вую производные, то существует обратное преобразование Фурье и выражение для весовой функции определяется равен­ ством

со

g (0 = Г ф О ) еуи< du.

Так как имеют место соотношения типа

ФЦи) R { u) - \ - jI(u) и е-'“' = cos ш t -f- j sin ut,

то выражение для весовой функции через частотные характе­ ристики может быть представлено в виде:

со

g ( 0 = --- 1 [/?(<о) +у7(ш)] (cos

Sin 0)0

du,

2тг J

 

 

— оо

 

 

или

 

 

оо

 

 

g (£) = — Г [/? (и) COS ш t /( ( о) sin ш*] d u

-f

2 тс J

 

 

оо

 

 

[R (оз) Sin ut -j- / (и) cos ü>/] du.

(5.110)

Весовая функция CAP принимает действительные значения, по­ скольку это реакция системы на действительный сигнал, по­ этому второе слагаемое выражение (5.110) равно нулю, следо­ вательно,

 

_ 1_

оо

 

ff (0 =

[R (со) COS ut /(cu) Sin со/] du.

(5.111)

2іг

 

 

оо

Пусть t^> 0, тогда в соответствии с условием физической реа­ лизуемости получим

f f ( - * )

=

) cos ut —j- /

(io) sin <ö£] du =

0,

т. е. при і > 0 имеет место равенство

 

 

 

 

оо

 

 

J

/?(«) cos ut du — J

I (и) sin ut du.

(5.112)

— оо

295


Таким образом, из выражений (5.111) и (5.112) следует, что

со

ео

g (t) = Г R (ш) cos шt dm= — — Г/ (ш) sin wtdu).

Функции R (ш) COS mt и / ( ш ) sin CO t

являются четными, по­

этому последнее равенство может быть представлено в виде:

со

оо

g[t) = —- Г R (ш) cos

dm = ---- — Г/ (co)sln a>t dm. (5.1131

J

* J

Поскольку переходная и весовая функции систем связаны вы­

ражением

t

h (i ) = §g(z)dx,

о

то, пользуясь соотношением (5.113), получим

Л(*) =

R (со) COS wtdw dt.

(5.114)

Для R(m) — абсолютно

интегрируемой функции

— последо­

вательность интегрирования в выражении (5.114) может быть изменена, тогда

 

оо

 

 

Ä(0== —

[ R H

^ ^ d m .

(5.115)

Заметим, так как (/? (со) | <

W (ш),

то абсолютная

интегрируе­

мость вещественной характеристики имеет место, если степень числителя передаточной функции по меньшей мере на две еди­ ницы меньше степени знаменателя. Выражение (5.115) уста­ навливает аналитическую связь между действительной частот­ ной характеристикой и переходной функциями системы.

Метод трапецеидальных характеристик сводится к прибли­ женному •решению уравнения ' (5.15), основанному на аппрокси­

мации в общем случае нелинейной известной функции

R (ш)

некоторой совокупностью линейных функций.

Резуль­

Пусть задан вид функции

R{ш)

(см. рис. 5.22,а).

тат аппроксимации зависимости

R (ш)

ломаной линией мож­

но представить в виде равенства:

 

 

Ж “) = 2 Я і К

 

(5.116)

1-1

 

 

296