Файл: Основы авиационной автоматики учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 165

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где Ri(u) — так называемая трапецеидальная функция(см. рис. 5.22,6). Каждая трапецеидальная функция состоит из от­ резков прямых II имеет три характерных параметра: /;г — вы-

Р и с. 5.22. Схема моделирования

соту горизонтальной площадки, шаі — ширину горизонталь­ ной площадки, шог — значение частоты, начиная с которой тра­ пецеидальная функция становится равной нулю.

297

со

Введем параметр х,, равный —1— . Очевидно, значение ве-

">оі

личины X; характеризуется отрезком 0 < ^ < 1. При х(.= 0 тра­ пеция вырождается в треугольник, при х;. = 1 трапеция стано­ вится прямоугольником.

Из введенных

определений

следует, что

функция

Rt (со)

полностью характеризуется равенством вида:

 

 

 

 

Pi

 

О

Л £ Л . е

 

 

 

23

e

e

® <

“ о/.

 

(5.117)

 

1 о3

3

 

 

 

 

 

0

 

с о с о 0І.

 

 

 

Высота Рі трапеции может

быть положительной

или

отрица­

тельной; при Рі < 0 нижнее

основание

меньше

верхнего.

Вещественная

частотная

характеристика

(рис. 5.22,а) мо­

жет быть в общем случае аппроксимирована некоторой суммой

трапецеидальных функций типа (5.116). В примере рис.

5.22,а, б

можно

выделить три

наиболее характерные трапеции,

причем

Р і < 0 ,

р 2> 0, рз<С0.

Естественно, вид и число трапеций в об­

щем случае определяются характером изменения функции /?(<о).

Перейдем к вычислению

переходной функции H(t), пола­

гая, что R(v>) достаточно хорошо аппроксимирована

введен­

ными трапециями.

 

 

 

 

Пользуясь соотношениями (5.115), (5.116), получим следую­

щее выражение для переходной функции:

 

 

м о - Е

м а

 

(5.118)

где

і - і

 

 

 

 

 

 

hi (t) = —

Г Ri

гіш.

(5.119)

« •

J

щ

 

 

 

о

 

 

 

Таким образом, вычисление

переходной

функции

сводится

к нахождению «элементарной

переходной

функции»,

соответ­

ствующей трапецеидальной вещественной частотной ' характе­ ристике.

Подставив в формулу

(5.119)

значение

/?/(«) из (5.117),

получим

 

 

 

 

 

шdi

■

 

ы

 

 

 

 

 

— о>

s in c o ^

du

Г £

Е

^ Ш +

Г “ o c z ü .

 

 

 

J

ш

 

J “ о / — <°dl

 

 

 

 

 

“di

 

 

298

Заменяя

аргумент интегрирования

ю

величиной х =

ш t

н вводя

udl = 7Чш0,

запишем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Рі

 

sm X

 

 

1

■X

sin*

 

(5.120V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аі ( 0 ----

 

 

cix

 

 

 

 

------dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

где ^ =

<o0i t

—

безразмерное время.

Функция

h£{t)

может

быть вычислена с использованием таблиц интегрального си­

нуса:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Як

 

 

 

 

 

 

si

 

 

dy.

 

 

 

(5.121)

Таким образом, из (5.120), (5.121)

следует

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

Ä|(0 = M ( t >

*i),

 

 

 

 

 

 

2 f

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Si (t)— Si (x, T)-

 

 

 

 

т]/ (t, */) = —

si i'-i

T) + ------

 

 

 

 

 

It

 

 

 

1 — X,

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция

т)г (t,

xf)

затабулирована

и приведена в приложении.

С помощью

величины

у]£ формула (5.118)

для

переходной

функции /г(/)

принимает вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hit) = ЕР/Ѵі ^

оі*.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f = i

 

 

 

 

 

 

 

 

где, напомним,

х,=

 

шш.

 

 

 

 

 

 

 

1C

Отметим, что предел интегрального синуса

 

 

Iim si(x)= —

,

следовательно,

І іт А Д т ,

хг) = I.

 

 

 

 

д-»оо

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•с -*• со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(т,

у.£)

На рис. 5.22,6 иллюстрируются графики функции

для трех значений параметров

х:

0;

0,3;

I.

 

 

 

 

 

При решении практических задач полезно иметь в виду сле­

дующие обстоятельства:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я ( 0 ) = 2 ^ ( 0 ) ,

 

 

 

 

 

 

 

кроме того, поскольку Ri (0) =

p t

и R (0) =

W (0), то

 

 

 

 

 

 

 

щ о ) = £

Рг

 

 

 

 

 

 

 

 

1=і

299

§5.7. СВЯЗЬ МЕЖДУ ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

ИПАРАМЕТРАМИ КАЧЕСТВА СТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ САР

Аналитическую связь между частотными характеристиками и показателями качества системы можно представить следую­ щими интегралами:

оо

 

 

 

 

 

I eJwt сіи

 

 

 

 

 

 

 

(5.122)

 

 

 

 

Ф ( »

e'w dсо,

 

 

 

 

 

>

 

 

где g(t)

— весовая функция;

 

 

h(t)

— переходная функция;

 

ф(у'со)— частотная характеристика линейной стационарной

 

САР.

 

 

 

 

 

Определим частотную характеристику Ф(/а>) в виде:

 

 

Ф (/'“ ) = R (ш) + j l (<“).

 

Подставим выражение для

Ф(/и)) в формулу (5.122), получим

 

 

 

оо

 

 

 

 

h{t) =

—

[

R (а>) -S-— — flfu».

(5.123)

 

 

It

J

 

(U

 

 

 

 

о

 

 

 

Характер

изменения

функции

R (си) влияет на вид функции

h(t). Нетрудно заметить,

что в

формуле (5.123) R (ш)

игра­

ет роль некоторой функции веса. Это значит, что с изменени­ ем действительной частотной характеристики системы переход­ ный процесс в системе изменяется пропорционально величине R (ш). Из выражений (5.122), (5.123) следует однозначная связь между частотной характеристикой системы и переходной функцией.

Введем понятие минимально-фазовой системы. Минимально­ фазовой системой называется система, передаточная функция которой не имеет нулей и полюсов в правой части комплекс­ ной плоскости.

Для минимально-фазовых систем по известной логарифми­ ческой амплитудно-частотной характеристике (ЛАЧХ) и ее асимптотам можно определить вид передаточной функции и, следовательно, переходную функцию системы.

Рассмотрим связь между переходными функциями и ЛАЧХ разомкнутого контура простейших систем первого и второго порядка (рис. 5.23).

300

Обе системы в разомкнутом контуре содержат одно интег­ рирующее звено. Для системы первого порядка частота шс сре­

за

равна коэффициенту

усиления k

и, следовательно,

, где

Т = — — постоянная

времени

экспоненты

переходной

функ-

дни

/ѵ

 

того,

имеем

следующую

связь

замкнутой системы; кроме

Рис. 5.23. Структурная схема, ЛАЧХ и переходная функция:

а— система с передаточной функцией разомкнутого контура W (р)=

б— система с передаточной функцией разомкнутого контура

W(p) =

( Т\Р 1 )Р

k_

і-

Р

301

между временем tv регулирования и частотой шс среза:

 

 

 

гР = з г

=

 

(5.124)

Для

системы второго

порядка

при —

=

toj < u>c < к коэффи-

диент затухания колебаний

С

 

Ті

 

 

 

в замкнутой системе меньше 0,5.

При

ш,=»іі)с= А

коэффициент С равен

0,5, в случае ш; > шс =

k

коэффициент затухания С больше 0,5.

 

V 2

 

 

 

 

 

 

 

 

Для оптимального значения коэффициента затухания і, = —

 

отношение частот

Wj/шс

равно 2,0.

 

^

С

Чем больше отношение

u^/ш,.,

тем

выше коэффициент

затухания, тем ближе переходная функция к экспоненте с по­

стоянной времени Т = — . При

;> 2 время регулиро-

<і>с

 

вания в системе второго порядка достаточно точно определяет­

ся соотношением

(5.124),

при

этом

перерегулирование

практи­

чески отсутствует.

 

 

является

связь

между

наклоном

Практически важной

ЛАЧХ в окрестности точки шс

и переходным процессом, из ко­

торой следует: для того чтобы

переходная

составляющая

не

была колебательной

(затухание

ч > 0,5), частота среза

шс

должна

находиться

на участке

ЛАЧХ с наклоном

асимптоты

— 20 дБ/дек. Это

справедливо

и для более сложных систем, в

которых

ЛАЧХ

имеют

наклон в

области

средних

частот

— 20 дБ/дек, а в области низких и высоких частот — 20 дБ/дек,

— 40 дБ/дек, — 60 дБ/дек и менее.

Для получения необходимых показателей переходной функ­ ции частота среза должна находиться в интервале с наклоном ЛАЧХ — 20 дБ/дек, причем ширина интервала не должна быть меньше определенной величины.

Чем шире участок с наклоном — 20 дБ/дек, тем ближе пе­ реходная функция к экспоненте.

Связь между ЛАЧХ и параметрами качества используется для инженерных методов синтеза линейных стационарных систем автоматического регулирования. Рассмотрим более под­ робно методику построения САР с заданными параметрами ка­ чества методом типовых ЛАЧХ.

§ 5.8. ТИПОВАЯ (ЖЕЛАЕМАЯ) ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ. СИНТЕЗ САР МЕТОДОМ ТИПОВЫХ ЛАЧХ

Типовой (желаемой) логарифмической амплитудно-частот­ ной характеристикой (ЛАЧХ) линейной стационарной системы автоматического регулирования (САР) называется характери-

302

Смотрите также файлы