Г Л А В А VI
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 6.1. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ КАК ОПЕРАТОР ОБЩЕГО ВИДА ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
В данной главе мы будем изучать теорию линейных неста ционарных систем, оператор которых задается системой линей ных дифференциальных уравнений с переменными коэффици ентами.
Уі (0 = в/і(О.Уі (*) + |
ЯпЩУг ( 0 + |
■■- + аіпУпѴ) + bn {t)xx[t) |
__ |
|
+ • • • + |
bim (() x m(t), |
i = l , n . |
|
|
(6.1) |
Системы вида (6.1) |
могут быть |
весьма |
компактно записаны |
в матричном виде:
y{t) = A{t)y(t) +
где
г у ,( * Г |
|
y 2(t) |
; |
y(t) = |
-Уп (0 - |
|
an (0 > |
|
A ( 0 = |
. •
|
|
. •
|
ап\ (0 . |
а «-к.
|
|
Ö
|
В {t) X (t),
"Xi (t ) '
хг{і)
=
- Хт(0 -
. ■•, öjn(t)
• •> апп ( 0 -
М *). М О , . ■■1b\m( 0
ß ( 0 =
bn, (t), . . bnm (t) _
Покажем, что к такому виду могут быть сведены операторы одномерных линейных стационарных систем, задаваемые
соотношениями вида: |
|
|
|
|
а) |
Ул)(^) + яп-і(^)У п_1) (0 |
+ |
• ■■+ a-i(t) y (X)(t) + a0(t) у { t) ~ |
|
= |
b0x i t ) + b xx ^ i t ) |
+ |
. . . + b m(t)xW(i); |
(6.2 ) |
б) |
2 ^ ( 0 |
+ an_1(t) zin-V(t)+ |
. . . + |
a0(t)z(t) = x(t); |
|
y{t) = |
b0{t)z{t) + bx{t)z^ |
(£) + |
. . . + bm(t)z№{t). |
(6.3 ) |
Методику сведения уравнений вида (6.2) к системе урав нений вида (6.1 ) мы продемонстрируем здесь для простоты для случая нестационарной системы второго порядка
yW(t)+ fli (0 У !)(0 + «о (t)yV) = b0(t) X it) + bx(/) *<»(*). (6.4)
Введем в рассмотрение систему дифференциальных уравнений вида:
J y(t) = |
V\{t) + qx{t)K[t)\ |
(65) |
I У № = |
— а, [і)Уі(і) — аоУ(і)+ q2{t)x{t) |
|
и подберем функции q\{t) и q2it) таким образом, чтобы систе ма (6.5) была эквивалентна уравнению (6.4).
Дифференцируя первое уравнение системы (6.5), получаем
У (9=.У і(0 + ?’і (t) * (*) + Яі Ѵ)*Ѵ) = |
~ |
аі (*)Уі (.t) - |
a0 (t) у (0 + |
+ Я2 ii)x it) + Я\ it)x it) + qx it) x(t) = |
- a , |
(t)\y (t) — qx{t) x(t )] - |
— «о it)У it) + lq2(t) + q1it)]x(t)+ql (t)x |
it). |
(6.6) |
Записывая последнее выражение в виде |
|
|
|
У it)+ax[t)y it) + а йЦ)у it)=\alit)qlit) + |
q2{t) + q1{t))x{t) + |
+ 9i{t)xit)t |
|
|
|
получаем соотношения для <71 it) и q2ii) : |
|
|
|
9iM = M 0 ; |
|
|
_ |
' |
(6 7) |
Яг it) = b0 it) - ax it) |
bx it) - |
bx (t), |
|
|
обеспечивающие эквивалентность |
системы уравнений |
(6.5) |
уравнению (6.4). Эквивалентность здесь следует понимать в том
смысле, что при подаче на входы систем |
(6.4) и (6.5) сигна |
ла x(t) выходной сигнал у it) системы (6.4) |
будет равен выход |
ному сигналу у it) системы (6.5).
Нетрудно понять, что примененная выше методика легко может быть распространена и на случай дифференциальных уравнений/2-го порядка (6.2 ).
Оператор вида (6.3) приводится к системе вида (6.1) еще более просто. Введем систему дифференциальных уравнений
z{ t) = z 1 (/?);
|
z, (t) = z2 (О, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 6.8) |
|
2 я- і ( * ) = - я „ - і ( 0 г „ -і(* )-. ■■— al(t)z1{t) - a 0(t)z(t)+ x(t). |
|
Совершенно очевидно, что система |
(6.8 ) |
эквивалентна |
|
диффе |
|
ренциальному уравнению (6.3). Выходной сигнал y(t) |
операто |
|
ра (6.3) |
получается в виде линейной комбинации |
фазовых ко |
|
ординат |
z(t) , ..., 2 „_, (t) |
системы |
дифференциальных |
уравне |
|
ний (6.8). |
|
|
|
|
|
|
|
(6.1) |
могут |
|
В виде системы дифференциальных уравнений |
|
быть записаны операторы систем, |
являющихся |
сложными сое |
|
|
|
|
|
динениями |
линейных |
|
неста |
|
|
|
|
|
ционарных |
подсистем. |
Мы не |
|
|
|
|
|
будем здесь доказывать это ут |
|
|
|
|
|
верждение .в виде общего поло |
|
|
|
|
|
жения, а ограничимся демон |
|
|
|
|
|
страцией |
его |
справедливости |
|
|
|
|
|
на конкретном примере. |
|
|
Р и с . 6.1. |
С оединение |
нестационар |
|
Рассмотрим |
соединение ви |
|
да |
рис. 6 |
.1 , |
где x(t) |
— вход |
|
|
ных звеньев |
|
|
|
|
|
|
ной сигнал, |
а |
f(t) |
— |
помеха. |
|
Будем предполагать, что передающие свойства всех четы |
|
рех подсистем описываются линейными |
дифференциальными |
|
уравнениями типа |
(6.2). |
В таком случае работа всего соедине |
|
ния описывается следующей системой линейных уравнений: |
|
|
л, |
|
гл, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ца)(^)У1')(0= S b}{t){xU{i)~y<‘ 4t)\\ |
|
|
|
|
|
і - О |
|
і = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і - О |
|
/- о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л3 |
|
т.{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е я?(%(0(0 = Е Щ (0[у</>(0 + уф (0 + /(,) (П); |
(6.9) |
|
|
і= 0 |
|
і-0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п, |
|
ті |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е * ) [ t ) y W ) = |
Е b*{t)>*4t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
і= 0 |
|
/-0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Система уравнений (6.9) может быть с помощью указанной выше методики записана в виде системы уравнений первого порядка (6.1 ).
Если передающие свойства всех или части подсистем опи сываются дифференциальными операторами вида (6.3), то ра бота всего соединения также будет описываться системой ли нейных уравнений первого порядка. В этом легко убедиться, учитывая, что на входы «последующих» элементов будут пода ваться линейные комбинации фазовых координат с «предыду щих» элементов.
У п р а ж н е н и е . Состаньте систему дифференциальных уравнений вида (6.1), исходя из структурной схемы устройства, представленного на рис. 6.2.
|
Р и с. 6.2. |
Соединение |
нестационарных звеньев |
|
|
§ 6.2. ВЕСОВЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ |
|
НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ. ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ |
|
|
ДЛЯ |
НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ |
|
Весовой |
функцией g { t , т) одномерной линейной нестацио |
нарной системы называется ее |
реакция на 8 -функцию, |
подан |
ную на вход в момент времени |
т |
|
|
|
g [ t t *) = |
A b { t - * ) . |
(6.10) |
Весовой |
функцией |
g /k(^ "О |
многомерной линейной |
неста |
ционарной системы называется сигнал і-того выхода при воз действии на &-тый вход 8 -функции в момент времени т. Сово
купность весовых функций g lk((л ) і = 1 , п; k — 1 , пг, запи санных в виде таблицы, называется матрицей весовых функ ций системы:
т)£іа(*. х) • ■glmit’
(6. 11)
-gnl (*. х) gniit' т) •
где п — число выходов, а т — число входов системы.
В случае линейных стационарных систем связь выходного сиг нала y{t) с входным сигналом x(t) при известной весовой функ ции системы g [і — т) задается (1.66) интегралом Дюамеля. Выясним связь входного x(t) и выходного y(t) сигналов при из вестной весовой функции g ^ , т) для нестационарных линейных систем.
Входной сигнал |
дг(^) |
может быть сколь |
угодно |
точно |
ап |
проксимирован ступенчатой функцией (рис. 6.3). Реакция |
на |
каждую |
г'-тую ступеньку входного сигнала будет приближен |
но равна |
реакции |
системы на 8 -функцию |
интенсивностью |
х (хг) Д-с, |
поступающую на |
вход в момент времени |
тг. В этом |
Р в с. 6.3. Аппроксимация входного сиг нала
случае реакция системы на каждую такую ступеньку в момент времени t будет приближенно равна g (/, xt)x (^) Дт. С учетом линейности системы ее выходной сигнал y(t) представим в виде:
N |
t |
|
y{t) = lim Yi g [t, х/)* К -)Лт = |
Г g(t, x)x(i)dx. |
(6.1 2 ) |
ir_0;-o |
І |
|
Выражение (6.1 2 ) является аналогом интеграла Дюамеля для стационарной системы. Таким образом, оператор любой неста ционарной системы может быть представлен как интегральный оператор с весовой функцией g (t , т).
Заметим, что для нестационарной системы можно, как это было сделано для стационарных систем, ввести понятие ошиб ки:
8 (0 = “ У ( 0 — Ут(0.
где ,ут(0 — требуемый выходной сигнал.
Для следящих систем, когда у т(t) = х (t), имеем
е(0 =.У (0 - * ( 0 -
Внекоторых случаях представляет интерес не столько вы
ходной |
сигнал |
y(t), |
сколько ошибка |
системы |
е(£). В силу |
(6.1 2 ) |
и известного свойства |
8-функции |
для случая |
следящей |
системы, |
на которую не воздействуют помехи, имеем |
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
s(t) |
= J |
g (t, т) X |
(x) öfx— I* 8 (t — t) X ( t ) di |
= |
|
|
t |
o |
t |
|
t |
|
|
|
= |
\ lff(0 t) —8(/f - |
i ) ] x { i ) d i = |
J g, (t, |
%)x(*)dx. |
|
|
( q |
|
|
|
to |
|
|
