Из |
последнего |
следует, |
что весовая |
функция |
g t (t , т) по |
ошибке |
связана с |
|
весовой |
функцией |
g(t, z) системы соотно |
шением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£.(*, x) a |
g(*l т) - o ( t |
— х) |
|
и, таким образом, является |
полностью известной, если извест |
на весовая функция |
g((, т). |
|
|
|
Если на систему воздействует помеха f(t), то ошибка си |
стемы £ (t) представляется в виде: |
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
е (0 = |
j |
g* У-х) X Ы dz + |
I* gf (t, z)f(z) |
dz, |
|
|
to |
|
t0 |
|
|
где g f ( t , t )— весовая функция системы от точки приложения возмущения до выхода системы.
§ 6.3. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕСОВЫХ ФУНКЦИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
Пусть нестационарная система задается дифференциальны ми уравнениями
|
+ ai2{t)y2{t)+ . . .+a,ay n[t)+ |
i |
1 , fi. |
Рассмотрим решения |
|
|
|
|
|
(6.13) |
|
.Ун (Л т) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уі(*. |
|
УпѴ, х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Упі (*. Т)- |
|
|
|
|
Уи(*. х) |
|
|
|
' Ут (*> т) |
|
|
y 2(t, z) = |
У22 (*. Х) |
>• • |
• |
Упі^і х) |
У*я(*. т) |
|
|
|
-Уп2 У’ х)- |
|
|
-Упп У, х)~ |
|
однородной системы уравнений |
|
|
|
|
|
yi{t)*=an ( t) y l ( t ) + a a (t)ya(t)+ |
. . .+ аіп(()уп, |
(6.15) |
отвечающие начальным условиям |
|
|
|
|
~ 1 |
" |
|
" |
0 " |
|
" 0 - |
0 |
— > |
|
|
1 |
* —> |
0 |
|
УіК т) |
. зМ и |
т) = |
|
........ |
Уп(^‘с)= |
|
|
_ о |
|
|
_ Ö _ |
|
_ І - |
Составим из этих решений матрицу
Уи(*> “О |
Ѵ і2(Л т) •• |
|
*} |
|
Y( t, ,) = Уі» ( Л т ) |
ѴИ ( Л х) . . |
. -J/an (*, |
т) |
(6.16) |
_3'„l(*> "О З'лг (*, *0 • • |
• |
*)_ |
|
Ясно, что эта матрица, называемая в математике нормирован ной фундаментальной матрицей решений, совпадает с матри цей G(t,x) весовых функций системы (6.13)
УіЛі, *) = g M |
х), |
V(t, х) = G(t, т). |
(6.17) |
Действительно, приложение |
к |
А-тому входу сигнала |
S(t — т) |
равносильно тому, что yft(x, х)= |
1 , а все остальные координаты |
уI (х, X) = 0 , і Ф к. |
|
|
|
Отсюда и следует способ для вычисления весовых функций, основанный на решении однородной системы дифференциаль
ных уравнений с указанными начальными условиями. |
|
П р и м е р . Вычислим весовую |
функцию |
нестационарной си |
стемы первого порядка |
|
|
|
|
a i (i )y ( t ) |
+ Gol . t ) y V) =b( t ) x ( t ), |
а,(і ) Ф 0. |
(6.18) |
Запишем (6.18) |
в виде (6.13): |
|
|
|
|
|
y ( t ) = ~ |
aQ' y ( t ) -М '(*), |
|
(6.19) |
где a0’{t)= — |
, |
x'[t)= |
^ ^ |
x{t). |
|
|
а, (t) |
|
a, (t) |
|
|
|
Определим решение y{t, т) однородного уравнения y(t) =
=— а0' (t)y(t) при начальном условии _у(х, т) = 1 . Разделяя переменные, получаем
dy[t) = — а0' (t) dt.
у{і)
Далее имеем, интегрируя в пределах от х до і,
|
y(t) |
“ |
Р Qo’Vt)dl\ |
|
е |
* |
|
_у М |
|
|
|
|
Положив у(х) = 1 , находим |
|
|
y[t,x) = e z |
|
=g(t, x). |
В таком случае, применяя интеграл Дюамеля (6.12), полу чаем связь выходного сигнала y(t) системы (6.19) с входным сигналом х'(і)
!- I' а Д І ,) й ,
|
|
y [ t ) = |
\ |
е |
І |
|
x'(x)dx |
|
|
|
|
|
|
Возвращаясь к системе (6.18), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у it) = |
п |
.. |
i asHdti |
b(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
^ - x ( x ) d x , |
|
|
|
|
|
|
J/n |
|
|
|
a \ |
со |
|
|
|
|
|
|
так что весовая функция системы (6.18) |
имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г ° n W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ы т) |
|
|
|
|
|
|
|
( 6.20) |
|
|
|
|
|
|
е ‘ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я] (О |
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае, если коэффициенты |
а ^ х ) , |
а 0 ( х ) |
и |
b |
(т) постоян |
ны |
(система является стационарной), весовая функция равна: |
|
|
Sit. т ) = — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а.I |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь |
Вводя стандартные |
для |
|
инерционного |
звена |
|
обозначения |
, а, |
„ |
известную из теории стационарных си |
— = д, —1=/,получаем |
стем формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g { t ^ ) = Y |
& |
т |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
Принимая во внимание |
линейность |
системы |
(6.13) |
и тот |
факт, что фундаментальная матрица |
решений |
Y(t, |
х) |
совпада |
ет с весовой |
матрицей |
G{t, т ), |
получаем |
вид выходного |
сигна |
ла |
системы |
(6.13), соответствующий |
ненулевым |
начальным ус |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X , |
it) |
ловиям и произвольному входному сигналу |
|
|
|
x 2it) |
X |
(t ) = У |
|
|
Уlit) = £ gik(t, i0) y k (f0) + |
5] |
j Sik I*» 0 * ft(T) dx, |
(6.21) |
к=1 |
0 |
ft = l |
|
І — 1 , rt.
Последний результат |
весьма компактно |
может быть |
записан |
в матричном виде: |
|
|
|
- > |
,f |
- > |
(6.22) |
У(() = G [t, |
tQ) y(t0) + j G(t, |
т) л (т) dx. |
|
о |
|
|
§6.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕСОВЫХ ФУНКЦИЙ
ИВЫХОДНЫХ СИГНАЛОВ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
МЕТОДОМ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Вычисление весовых функций и выходных сигналов неста ционарных систем аналитическими методами, описанными выше, в общем 'случае либо весьма затруднительно, либо вообще не возможно в квадратурах. По этой причине для исследования нестационарных систем широко применяется метод моделиро вания.
Сущность этого метода мы поясним на примере системы вто рого порядка:
У\ (*) = аи (ОУі [t)+an [t)_y2(t) + b n {t)xl (t) + |
bl2{t) x 2 (t), |
'yAt) |
= ci2x{t)yx(t) + ai2{t)y2[t) + b2l [t) x x (i) + |
b22 (t) x 2[t). |
Требуется определить весовые функции glk |
(t, т) |
(6.23^ |
и выходной |
сигнал |
y{t) = Гуі( 0 1 |
соответствующий |
входному сигналу |
|
Уі(і) |
|
|
|
x.(t)= 'Xi (t)
*2 (О
Схема моделирования этой системы на аналоговой вычис лительной машине, производящей операции сложения, умноже ния на фиксированные функции времени и интегрирования, приведена на рис. 6.4.
Подавая на входы этой модели входные сигналы X\(t) и x2(t), на выходах ее будем получать выходные сигналы yi{t) и уг(0 -
Рассмотрим теперь метод вычисления весовых функций
'gii (*.■=) ë n i t , ' ) ' '
.ftl (*. Т) §22^, Х) . *
В § 6.3 было доказано, что если входными сигналами системы считать сигналы
*\ (*) = |
Ьи (t) x t [t) + |
bl2(0 * 2 (*); |
2A) |
Хц (f) = |
bn (t) x t (() + |
b22 (/) x 2 (t), |
|
то для вычисления весовых функций £Гц(Лт) и |
g2\ (t,t) следу |
ет на выходы интеграторов ввести начальные условия у\ (0 ) = 1 ,
г/г(0) = 0, |
а для вычисления весовых |
функций gm(t,i), |
g2u (t> х), — |
начальные условия у і(0 ) — 0, |
у2 (0 ) = 1 . |
