Рассмотрим |
далее |
бесконечную числовую |
последовательность |
х 0 , x v |
x t, . . |
x k.. |
которую мы условимся обозначать сим |
волом |
{ а:л} . |
Производящей функцией F ( s ) |
бесконечной |
число |
вой последовательности {xk} |
называется |
функция, к |
которой |
сходится степенной ряд |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (S )= |
у; |
|
(7.4) |
fc= 0
Рассмотрим примеры. Производящая функция последователь ности О, I, 0, — 2, 3, 0, 0 раина F ( s ) = s — 2 s3; производя щая функция последовательности {1 } равняется
|
оо |
|
F(s) = 1 + s - f s 2+ . . |
= |
(7.5) |
|
1 |
— s |
как сумма бесконечной геометрической прогрессии с коэффици
ентом |
q |
= s. Аналогично получаем, |
что |
F ( s ) |
для |
|
последова |
тельности!,— 1 ,1 , — 1 ,... — ((— 1 )*} |
равняется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (s) = |
1 — s + s2 — s3 + |
... — —-— . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
S |
|
|
|
|
|
Исследуем область сходимости степенного ряда |
(7.4). Ряд |
(7.4) |
сходится, если его члены мажорируются членами |
qh сходящей |
ся геометрической последовательности |
I |
а:hsk |
I < |
qk, |
q<C 1 , |
т. е. удовлетворяют |
условию |
| s | < - п |
1 |
|
Из |
последнего сле- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
\х* 1 |
|
|
|
|
|
ряда: |
дует известный критерий Коши сходимости степенного |
ряд сходимости при тех значениях s, которые |
лежат |
в |
круге |
сходимости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| s | < 5 , |
5 = 1 і т * — |
|
|
|
|
|
|
(7.6) |
|
|
|
|
|
|
|
- |
к"°° ш \ х к\ |
|
|
|
|
|
|
|
число 5 |
называют радиусом сходимости степенного ряда. |
|
Радиус сходимости в первом из рассмотренных выше при |
меров |
равен оо, |
а во втором |
и третьем примерах равен |
1 , |
так |
как |
5 = |
lim нгчпгг=1- Радиус сходимости |
производящей |
функ- |
ции F ( s ) |
Ѵ\ 1 1 |
|
|
натуральных |
чисел |
{к) |
= |
0, 1 , |
последовательности |
2, 3 ,... |
также равен |
1. |
Действительно, |
5 |
= lim |
и |
|
|
= |
1, |
так |
как |
1 Ѵпгт |
|
ln к |
А |
|
|
|
|
|
|
|
y~\k\ |
|
|
ln - j/|£ |= |
-------5- 0. |
|
|
|
|
|
|
|
ѵ |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если радиус сходимости некоторой последовательности ра- |
вен |
0, |
т. |
е. limy |
\х\к=оэ,то |
про |
такие последовательности |
бу |
дем говорить, что они не имеют производящих функций. На пример, последовательность {ехр £2}производящей функции не имеет.
Производящая функция F(s) однозначно определяет поро дившую ее последовательность; для этого достаточно разложить F (s) з степенной ряд около точки s = 0:
|
|
|
|
|
|
—' |
k\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к =о |
|
|
|
|
|
Тогда |
коэффициент |
при |
s* |
определит А-тый |
член последова |
тельности |
|
|
|
|
|
FM (0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л:к |
|
|
|
|
(7.7) |
|
|
|
|
|
|
|
kl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пр и м е р . |
Пусть |
F(s) |
= е + |
Требуется |
определить после |
довательность, |
порождающую |
эту |
производящую |
функцию. |
|
|
|
|
|
(9s) |
(2 s)2 |
(2 s)3 |
|
|
|
что |
Учитывая, что e2j = 1 + — - + -—— + |
-— - + .. ..получаем, |
|
2 * |
Таким |
|
|
І! |
|
2 ! |
3! |
|
|
|
рав- |
х к = ---- . |
образом, искомая |
последовательность |
|
k\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сама |
по себе |
независимая |
переменная |
s |
производящей |
функции F(s) |
ничего не обозначает. Если положить s = |
— — z *, |
то функцию |
|
|
X ( z ) - |
F(s=* z ~l) |
|
|
2 |
(7.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
называют |
г-преобразованием |
дискретной последовательности |
{xk}. |
Из |
(7.4) |
и (7.8) |
следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X [ z ) = |
£ |
хкг |
к |
|
|
|
(7.9) |
|
|
|
|
|
|
|
k—Q |
|
|
|
|
|
Таким образом, 2 -преобразование может быть непосредст |
венно |
определено |
по |
формуле |
(7.9) |
и без |
введения |
понятия |
производящей функции.
Рассмотрим примеры. Определим z-преобразование последо
вательности 0, 1, |
0 ,— 2, 0, ... Исходя |
из |
(7.9), |
получаем, что |
X(z) = г - 1 |
— 2г_3 |
= |
2? |
_ 2 |
|
|
|
последователь- |
-------- ■г-преобразования |
ностей (1} |
и (— |
|
z 3 |
|
|
|
|
1 ), вычисляемые либо по формуле (7.8), либо |
іпо формуле (7.9), равны |
|
|
|
|
|
|
X(z) = Z { — |
|
1 + |
2 |
(7.10) |
|
|
|
|
1 + г - 1 |
|
|
|
X{z)--=Z |
1 |
г |
|
, |
|
|
1 —2 _1 |
2 - |
1 |
’ |
|
|
|
|
|
|
По известному z-преобразованию X(z) может быть опреде лена числовая последовательность {лй}, порождающая это пре образование. Для этого функцию X(z) следует разложить в функциональный ряд по отрицательным степеням г -1. Удоб нее всего это сделать так: от z-преобразования X(z) следует перейти к производящей функции F(s), положив в X(z) пере менную г = s—1
|
|
F(s) = X ( Z ' - s ~ 1), |
|
|
|
и разложить функцию F(s) в степенной ряд. |
|
|
|
Пр и м е р . |
Пусть задана X(z) = -------.Требуется |
определить |
|
|
|
г 2 —1 |
|
5~2 |
|
{хк}. Вычисляем производящую |
функцию |
F (s) |
|
= ------ = |
|
1 |
s2+ s4-(- sc + . . . |
|
|
s’— 1 |
|
= -j---- = * + |
Отсюда |
и следует, что |
искомая последовательность равна 1 , 0, 1 , 0, 1 ,...
Нетрудно понять, что область сходимости ряда (7.9) пред ставляет собой внешность круга
|
|
> 1 іт |
Ѵ \ Ч |
|
|
(7.11) |
|
|
|
k-+оо |
|
|
|
|
|
|
Действительно, ряд (7.4) сходится при |
15 1< 5 |
и, |
следователь- |
но, ряд (7.9) сходится при |
1 < 5 , |
или, что то же |
самое, |
при |
i*i > |
4 = ііт ѵ ш |
F(s) |
|
z-И'реобіразоівание X(z) |
|
Производящая |
функция |
и |
мо |
гут трактоваться как преобразование Лапласа |
функции x(t) = |
со |
— kT), |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
представляющей собой сумму |
8-функций, |
*-о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«действующих» в точках kT с интенсивностями хк: |
|
|
|
|
игд |
|
|
|
оо |
|
|
|
|
X ( р ) = L [х ( г * ) ] = |
fе~рі х (t) d t |
= '£ ix k Q~pkT ■ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Вводя обозначения ерГ= г и e~pT= s , получаем, что х(р) —
— X(z) и х(р) = F(s). Последние равенства могут быть за писаны в виде:
X (z) = X р = In Z и F (s) = xlp |
т )- |
(7.12) |
|
|
ß дальнейшем прямую и обратную операции ^-преобразования последовательности {xft} будем обозначать символами *
Z{*ft} = Z (z ); |
Z - 1 [X (г)] — {л'А}, |
|
|
а операцию перехода от последовательности |
к |
ее произ |
водящей функции II обратную операцию — символами |
|
F{x k}=F(s); |
F - ' {F(s)] = [xk). |
|
|
§ 7.3. СВОЙСТВА z-ПРЕОБРАЗОВАНИй |
|
|
1. ^-преобразование линейно. Это свойство |
означает, что |
z-преобразование линейной |
комбинации числовых |
последова |
тельностей равно той же линейной комбинации г-преобразова- ний отдельных последовательностей:
+ |
? W ] = |
aZ {**} + $ z [ y k) - а * (г) -fpK(z). (7.13) |
Доказательство: |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
z [ а { ^ f t } + |
Р { Л } ] = |
Z |
I = |
S |
[ * * * |
Ь к \ z ~ k — |
|
|
|
|
А=0 |
|
|
= « S ** |
+ |
ß £ у к z~k = |
«z |
Ы |
+ |
ßz Ы - |
|
к-0 |
|
к-0 |
|
|
|
|
2. Правило сдвига. Рассмотрим последовательности |
{•**} = х 0, x lt х 2, х 3, . . ., x k = |
0 |
при |
k < 0 ; |
= 0, х 0> х и х„, . . .
Про последовательность {л:й_,} говорят, что она сдвинута от носительно последовательности (л-А} на один шаг вправо. Не трудно понять, что 2 -преобразования этих последовательностей
Z {**} = *о+ |
+ х 3г~* + . . . |
|
Z { x fr_ i } = O + X q Z |
- 1+ X , 2 - 2 + J C 2 2 - 3 + . . . |
|
связаны соотношениями |
|
|
Z { x k_,} = z - ' Z [ x k). |
(7.14) |
Итак, 2 -преобразование сдвинутой на один шаг вправо по следовательности равно 2 -преобразованию исходной последо вательности, умноженному на 2-1.
Нетрудно понять,‘что если исходную последовательность сдвинуть на г шагов вправо, то будем иметь соотношения
Z { x ^ r \ = x - rZ \ x h). |
(7.15) |
Формулы (7.14) и (7.15) называют правилом сдвига.
3. Правило разности. Пусть дана последовательность |
= |
= х0, х\, х2, Х з , . . |
. , хк = 0 при |
&<0 . Первой разностью |
этой |
последовательности |
называется |
новаяпоследовательность, |
А-тый элемент которой равен разности /г-того и предыдущего элемента исходной последовательности:
|
hxk — x k |
х Іг_1. |
|
(7.16) |
Первая разность {Дд:й} |
имеет вид: |
|
|
{А-**} = х о‘, |
х і ~ |
х о'<х 2 - |
х ѵ *з — х 2; ^ 4— л3; . . . |
(7.17) |
На основании линейности и правила сдвига получаем |
|
|
Z {Дх/г}= Z |
- Z |
{**_,} = Z \ x k\ — z - \ Z \ x k} = |
|
|
= |
(1 - z ~ ' ) Z \ x k\ . |
|
(7.18) |
Итак, z-преобразование |
первой разности {Д J |
равняется |
^-преобразованию исходной |
последовательности, |
умноженно |
му на (1 — г-1) . |
|
|
|
|
|
|
Первая разность |
от |
первой |
разности называется |
второй |
разностью последовательности. Члены второй разности, как это следует из (7.17), имеют вид:
{Д2 -л:*} = ^ о . х \—2*о? х 2— 2 х 1+ х 0, х 3 — 2 х 2 + х и . . |
(7.19) |
—** - 2Хк~1 + Хк-2-
Аналогично можно определить и разность r-того порядка как первую разность от (г— 1)-той разности. Ясно, что г-преобра- зование r-той разности связано с ^-преобразованием исходной последовательности соотношением
|
Z\bS Xk]--=(\~z ~x)rZ \ x k\. |
(7.20) |
Формулы (7.18) |
и (7.20) называют правилом разности. |
|
4. Правило |
суммы. Пусть дана последовательность |
|
Суммой этой последовательности называется новая последова тельность, й-тый член которой равен сумме первых k членов исходной последовательности
| S xl j = Л‘о> + Л'о + Л:1 + Х2’ ■• •
Естественно, что исходная последовательность является для суммы первой разностью, так что
z \x k\ = (і - z - ]) z ( S * /| • x-0
