Из последнего равенства получаем, что z-лреобразование суммы
|
|
|
|
|
z |
( и |
■*/} = |
7. |
* |
|
z Ы |
|
|
|
|
|
(7.21) |
|
|
|
|
|
|
W=0 |
J |
I 1 |
Л > |
|
|
|
|
|
|
|
|
равняется |
z-преобразованию |
исходной |
последовательности, ум- |
воженному на |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
------— • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
качестве |
примера |
применения правила |
суммы вычислим |
^-преобразование |
натурального |
ряда |
чисел |
0, |
|
1 , |
2,... Нату |
ральный ряд {£} |
можно |
рассматривать |
как |
сумму |
последова |
тельности |
0, 1 , |
1 , |
1 , .... |
г-преобразованне |
последовательности |
О, 1, |
1, |
1, ... на основании (7.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2~~* |
и правила сдвига равно---------. |
Применяя далее правило суммы, получаем |
|
|
|
|
|
1 |
— z~l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
- |
( 1 _ г -і)(1 _ |
г -і) |
(г2 - |
1)2 |
|
|
|
(7.22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
7.4. |
А ' и АР- ПРЕОБРАЗОВАНИЯ |
СИГНАЛОВ |
|
|
Пусть задана некоторая функция времени x(t) |
и промежу |
ток дискретности Т. Как и прежде, будем |
|
предполагать, что |
x(t) |
= |
0 |
при |
t<i 0. |
Образуем |
числовую |
последовательность |
ее значений (.v(Ä7’)| = {xftJ, |
где x(kT) — |
значение функции в |
|
|
|
|
|
|
точке |
t = kT. |
Возникает |
вопрос, |
какое |
X |
|
|
|
|
|
значение |
функции |
x(t) |
брать, |
если в |
|
|
|
|
|
точке t = kT |
имеет |
место |
разрыв |
первого |
|
|
|
|
|
|
рода (рис. 7.3). |
Договоримся |
брать |
зна |
|
|
|
|
|
|
чения |
функции |
по |
|
непрерывности |
спра |
|
|
|
|
|
|
ва*, т. е., |
точно говоря, последователь |
|
|
|
|
|
|
ность |
{xft} определяется |
соотношением |
|
|
ч |
' |
t |
|
|
|
|
|дг,| = |
{.*(*7' + |
0)|. |
(7.23) |
Р и с. 7.3. Разрыв пер- |
|
Л* -преобразованием |
функции |
x(t) |
|
|
вого рода |
|
|
|
z |
г |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будем называть ^-преобразование полу |
ченной из нее числовой последовательности {xÄ}. |
Рассмотрим |
Az-піреобразсшания основных сигналов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Единичный скачок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К [ 1(01 = Z V } = |
1 |
Ц |
|
= |
z — |
1 |
• |
|
(7.24) |
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
— z~l |
|
|
|
|
|
* Функцию, имеющую разрыв первого рода и непрерывную справа, бу дем изображать так, как показано на рис. 7.3. Жирной точкой обозначено значение функции в момент времени разрыва.
2. Линейная функция х(і) — х0 + at (рис. 7.4)
А' [х0+ at] = Z ] x 0 + akT] = x aZ {1 } + aTZ [k].
На основании формул (7.10) и (7.22) получаем
А[ [х 0+ at] |
= х 0 |
+ аТ |
x 0z (z — \)+aTz |
( г - 1 ) 2 |
(7.25) |
|
z — 1 |
|
( г - 1 ) 2 |
3. Показательная функция еа1 (рис. 7.5): |
|
|
|
A'z [e°']= Z { eaAr}. |
|
Учитывая, |
что Jeoft7') = 1 , е°7, еаГ2, еаТЗ..., |
получаем искомое |
Р и с. 7.4. Линейный сигнал Рис . 7.5. Экспонента
2 -преобразование как сумму бесконечной геометрической про
грессии |
|
|
1 -f- eaTz~l -)- (еаГ2 - 1 )2 + |
(еаГ2'_ І )3 + . . • |
|
Z {е°*7}= |
|
Окончательно получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К М |
= |
---- ■ |
|
|
|
(7-26) |
|
|
|
|
|
|
|
г - е“7 |
|
|
|
4. Тригонометрические функции |
sin со ^ и costot. |
|
Применяя |
известные |
представления |
тригонометрических |
функций через показательную функцию, |
получаем |
2 |
|
Л7 [sin I» t] |
= |
Л7г |
___ |
0 — j ( ü t |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2/ |
|
|
2/ |
2 — е7ш7 |
2 — е~7’шГ |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
g/toT _ 0 — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2/ |
|
|
|
|
|
2 Sin шГ |
(7.27) |
2 |
|
0 |
е7’шГ + |
e_/'ü>7' |
. |
, |
2 2 — 2 2 cos шТ + 1 ’ |
— |
|
2 2 |
2 2 |
------- 1------------Н 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
g— } ш і |
|
|
|
|
|
|
|
Л7 [cos О) t] |
= |
л 7 |
|
|
_ |
1 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
~ |
2 2 - |
е7“ 7 + |
2 — е- -'4"7' |
|
|
|
|
|
|
|
Z - — 2 C O S t u T 4
22 — 22 COS tü Т Г 1
5. Функция л- (£) = t“ eat. |
|
|
|
|
d“ |
|
Учитывая |
представимость |
функции |
|
t“е"/ = |
eat и |
|
|
линейность |
Л'-преобразования, получаем |
da“ |
|
|
|
|
Л' [t“е0'] = A z‘ |
d“ *at = |
ИП |
Л' [e°'| |
d“ |
|
(7.28) |
— |
|
|
da“ |
da“ |
г 1 |
1 |
da“ z —e°r |
|
Из полученной формулы следуют формулы |
|
|
|
А' [/ е"'] = |
- Z С"7 ' 7 |
; |
А' \ р \ |
-= Z Z il£ ± l] |
|
(7.29) |
г1 |
J |
(г - еаГ)2 |
гІ J |
( z - 1)» |
|
|
Введем теперь понятие -преобразования. Пусть задано изображение, по Лапласу, х(р) функции x(t). В таком случае А* -преобразованием функции х(р) называется Л' -преобразо вание от оригинала x(t) этой функции:
|
|
Ар [х (р)I = А '[*(/)]. |
(7.30) |
Рассмотрим примеры |
Ар -преобразований |
часто встречаю |
щихся изображений: |
|
|
1 . |
Ар |
|
] = z - 1 |
|
|
VP J = A« [1 (0 |
|
2. |
АР Р |
= А' f- г - . - т І |
|
|
УѴ+1 . |
т |
z — e |
|
|
|
|
|
|
3. |
Ap |
P2J |
A ' M = P ^ ( z - l)2 |
|
|
|
|
4. |
АР Г2 РІ = |
А'[р**] = ^ |
( г + 1 ) |
|
(г ~ |
I)3 |
|
5. |
АР |
.Р3J |
= АР |
|
Р |
’ Р |
|ХХ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ р ( г р + \) |
. Р |
^ + 1 . |
(7.31)
p Z |
Z |
|
z — 1 11 |
Z — Р |
- -т |
|
т |
|
6. A p |
= A‘ [p^ e_a'] = |
pz e—a T |
|
(z — е- а Г )2 |
|
(P + a f |
|
§ 7.5. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ЭКСТРАПОЛИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ
Проанализируем сначала работу простейшего экстраполи рующего устройства — фиксатора.
Как это было установлено ранее, при таком способе экстра поляции кривая X (і) (см. рис. 7.2) заменяется ступенчатой
функцией X (т). Покажем, |
что эта ступенчатая функция может |
быть представлена в виде: |
п |
|
|
t |
|
Х Ѵ) = |
\ 'L(xk ~ xk -1) 8(^— |
(7.32) |
|
>'о*-1 |
|
Для этого рассмотрим образование одной (&-той) |
ступеньки. |
Из рис. 7.6 ясно, что |
/г-тая ступенька x(t) Тк < |
t < Т{к -(- 1) |
представляется в виде: |
|
|
|
Л- (0 = |
хк 1 |
[ t - т/г] - X k \ [ t - Tft+1j. |
(7.33) |
То обстоятельство, что представление ступеньки в приведенном выше виде включает в ступеньку правый конец и исключает левый вопреки представлению сту
пенчатой функции л(т) на рис. 7.2,а, не играет существенной роли, так и<ак определенное выше z-прео’бра- зоівание попользует значения функ ции по непрерывности оправа.
Записывая |
единичные функции |
в виде интегралов от |
6-функций, из |
(7.33) |
получаем |
представление |
ft-той ступеньки в виде: |
_ |
і |
|
ХА-f-1) J • |
~ j* Х к |
( х ~~ к ) |
Учитывая далее, что ступенча
тая функция JC(t) (см. рис. 7.2) представляет собой сумму отдель ных ступенек, получаем
t n
х Ж - Ч )
■кн
-XУ кМі~Чн)
і |
------U . |
|
t |
P и c. 7.6. |
Образование ft-той |
|
ступеньки |
|
x (t) = j S |
ls(x—‘ |
|
— xA+i)] d* = |
|
t a k - 0 |
|
|
|
t |
n |
|
t |
n |
= J |
2] (^a—^a- i) s(x — |
= |
f |
(7.34) |
'o ft=0 |
|
\ |
fe=0 |
Из формулы (7.34) следует структурная схема экстраполятора типа фиксатор, представленная на рис. 7.7,а. Изображенный на этом рисунке 8-импульсный элемент представляет собой ге нератор 8-функций единичной интенсивности, которые образу_ются с промежутком дискретности Т. Не следует забывать, что реальные фиксирующие устройства в своей конструкции обык-
