В .таком случае структурная исходная схема (см. рис. 7.11) может бытыпредставлена в.виде рис. 7.13, где W n{p) = We(p)W{p). Структурные схемы такого типа будем называть р-с-струк- турными схемами.
Р и с. 7.13. р—2-структурмая схема незамк
нутой дискретной системы
Рассмотрим работу схемы, изображенной на рис. 7.13, в дискретные моменты времени ik=kT. При этом выходной сиг нал y(t) можно рассматривать как дискретную последователь ность jyfe|, y k — y{kT). Наша задача состоит в том, чтобы оп
ределить дискретную передаточную |
функцию системы |
(см. |
рис. 7.13), считая входным сигналом |
последовательность |
, |
а выходным — последовательность {у/г{, т. е. нам требуется оп
ределить передаточную функцию от точки а к точке с. Ясно, что эта задача будет решена, если мы сумеем определить пере
даточную функцию от точки Ь к точке с. |
|
|
Очевидно, что реакция линейной |
непрерывной системы с |
передаточной функцией W K(p) на 3-импульс |
единичной |
интен |
сивности является ее весовой функцией g(t) = L~'i [WH(/?)]. |
Обозначим значения весовой функции g(t) |
в моменты |
време |
ни t — kT соответственно g0, g,, g2, ..., |
gk, . . . |
|
|
g h ^ g ( k T )
и будем называть их весовыми коэффициентами.
Тогда реакция непрерывной части системы с весовой функ цией g(t) на нулевую компоненту /08 {і) будет равна
{З7/,-}о = go Ал SiA>. sVo» • • -I S'*Ал • ■■ |
|
на первую компоненту |
/,8(^ |
— Т) равна |
|
{.Уа| і = 0> |
SoA’ |
SiA> |
giKi • • •> gk-ili, |
■• • |
на вторую компоненту 12Ці— 2Т) равна |
|
{У*)2 = |
о, g 0l2, g\^2> |
• ■•>gk- 2 |
, |
на ß-тую компоненту lkb[t—kT) равна |
|
{т*}* — 0. |
0, 0, |
0, |
,. . ., g 0 Ік. |
|
Суммируя полученные выражения по столбцам (для одинако вого времени), получаем выходную последовательность {уй} по
заданной (входной для точки b) последовательности {/А,}:
j'o = gV<>; |
= |
|
o + g V i + M ; |
• • ■ y ft= |
|
= £ /Л |
+<§■ *-1 A+ ■• • ~Ь So К- |
|
Итак, выходной сигнал |
]ѵЛ} системы на £-том шагу выражает |
ся через весовые |
коэффициенты |
jgy,} и элементы |
входной по |
следовательности |
j/A,j формулой |
|
|
|
|
У П - S |
gk-ili, |
(7.41) |
|
|
/-о |
|
|
которую принято называть сверткой для двух дискретных по
следовательностей {g-ft} и \lk). |
|
|
|
|
|
Вычислим 2 -преобразованпе выходной |
последовательности |
Z {у*} = ^ ( Z) = |
£Г(/о+ (^l^O+ |
^O^l) 2_1" Ь ^ 2^0+ |
5Г1^1 + |
і§’о^2)2:“ 2+ - • • + |
+ |
+ |
^1+ |
• • |
■+ gVft) Z~k + |
• • • |
= |
|
= t e o + S ri z ~ 4 - S r2z_s+ |
• . • + |
ëk z ~ k + |
■■-Wo + / , г - Ч / 22 - 5 + |
|
+ • ■• + /**-*)• |
|
|
|
|
|
Из последнего следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г(г) = |
W H(z)L(z), |
|
|
|
(7.42) |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
где W H(z) = Z {gk} = |
gk z~k— 2-преобразованне |
последова- |
|
*=o |
|
|
|
|
|
|
|
тельности весовых коэффициентов. |
|
|
|
|
|
В таком случае получаем, что искомая дискретная переда |
точная функция |
W n (2 ) |
непрерывной |
части |
|
системы равна: |
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
АP[WH(P)\. (7.43) |
|
ft-о |
|
|
|
|
|
|
|
|
А общая дискретная передаточная функция |
\Ѵ(z) |
системы от |
точки а к точке b выражается формулой |
|
|
|
|
|
|
W ( z ) = W e(z )W„(z). |
|
|
|
(7.44) |
Рассмотрим примеры.
1. Дана дискретная система с экстраполятором типа фикса тор, сигнал с которого поступает на инерционное звено с пере
даточной функцией \Ѵ (р) ~ — -— . Промежуток дискретности
хр + 1
равен ,Т. Требуется определить ее дискретную передаточную функцию и найти ее реакцию в моменты kT на входную после довательность {хк} = 1 , 1 , ] , . . . .
zeiL
Р и с. 7.14. Пример
Составим р—2 -структуриую схему системы (рис. 7.14) с уче том р—2 -структурной схемы фиксатора. Дискретная переда точная функция W a (z) непрерывной части системы в данном случае равна:
\iZ |
|
|
(‘«О |
-Дт\ |
ИЛ,(z) = Ц |
z —е-77т |
|
|
Р( *Р+ Л |
(z— l)(z— е~ т1-л |
Общая передаточная функция равна: |
|
|
|
W(z) = W e(z) W„(z)= ( 1 - г - 1) |
ixZ (1— р—77х\ |
|
|
1—р—27* |
’ |
|
= ң- - ? - Ц - - |
|
(z—\){z - e~T!z) |
|
z — e~rix |
На основании определения передаточной функции получаем
V(z) = W(z)X(z),
или в более подробной записи
y ( z ) = !*1— е-Г/т z z —e~T'x z —
По ^-преобразованию требуется определить порождающую его последовательность. С этой целью функцию Y(z) следует разложить в степенной ряд по отрицательным степеням z. Для этого с помощью подстановки z = s“1 перейдем от 2 -преобра зования к производящей функции F(s):
F(s) = р.(1— е~тіх) |
- |
=(j.(l—а) |
1— |
1— 2 |
(1 —sa) (1—5) |
|
|
а = e~7/-. |
Функцию F(s) можно было бы разложить в степенной ряд по формуле Тейлора, однако это потребовало бы вычисления /г-той производной, что довольно громоздко. Поэтому поступим ина-
че. Представим с помощью метода неопределенных коэффици ентов функции F(s) в виде:
/=■($) = ц(1 —а) |
|
1 |
1 |
^ Т1 |
= [X |
Н— |
1і------—SCI |
1—sa |
1 |
из которого легко следует разложение в степенной ряд по фор муле для геометрической прогрессии
I |
CO |
оо |
\ |
оо |
|
— £ a!i sk + |
D s* i = |
S [p (1 - aA)] s*. |
|
*=.0 |
k=0 |
I |
* = 0 |
Отсюда получаем
vft= p( l - ^ ) = lx ( l - e - Tft-).
|
График этой выходной |
последовательности |
изображен |
на |
|
рис. 7.15. |
|
2. Дана дискретная система с экстраполя |
|
|
|
|
|
|
|
|
тор, сигнал с которого подается на уси |
|
и. |
|
|
лительное звено с коэффициентом усиле |
|
l l |
I |
--------- 3 |
ния |
|j.. Следует определить дискретную |
|
передаточную функцию |
этой системы, а |
|
|
|
|
|
Р и с . 7.15. Выходная по также найти ее реакцию на входной сиг |
|
следовательность |
|
|
|
|
|
|
|
|
нал 1, 0, 0, |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
В данном случае имеем W H(p) — — ц = |
— , |
W e(z)= 1. |
Да- |
|
|
|
|
|
|
Р |
Р |
|
|
|
|
лее получаем W H(z) — Л-р / — \ = |
{х.—-— и W(z) = W e(z)WH(z) = |
|
liz |
"• |
|
\ р I |
z — 1 |
W(z)X{z) |
— |
W(z) |
|
= |
Раскладывая функцию |
Y (z) = |
|
Z |
I |
|
|
|
|
|
|
OQ |
|
|
в ряд по отрицательным степеням z, получим |
Y (z) = ц |
1z ~ k. |
|
Таким |
образом, выходной сигнал |
|
|
|
k-0 |
|
|
y(t) в моменты времени kT |
|
будет |
равен y k = |х. |
|
|
|
|
|
|
|
§ 7.8. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЗАМКНУТЫХ
ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим работу системы, схема которой изображена на рис. 7.16. Пусть дискретная передаточная функция разомкнутой системы (вычислять которую мы научились в предыдущем па раграфе) равняется W(z). В таком случае имеем
V ( z) = W ( z) E (z ), где E(z) = Z{ek}.
Учитывая, что E(z) = X(z) — Y(z), получаем
Y(z) |
W ( z ) |
(7.45) |
X(z) |
0 { Z ) . |
~ 1 + W(z) |
|
